☉福建省廈門第一中學　王淼生

基于MPCK視角下的概念解讀*——以凸多邊形內角和為例

☉福建省廈門第一中學王淼生

一、MPCK理論

舒爾曼1986年提出PCK理論后，立即引起各國學者關注，從而使數(shù)學教師特有的學科教學知識從PCK泛學科的研究中獨立出來，形成MPCK（數(shù)學教學內容知識）理論.MPCK理論要求教師不僅要有豐富、厚實的學科知識，更要有扎實、靈活的教學法知識，實現(xiàn)“冰冷、枯燥”的數(shù)學學術知識轉化為“火熱、生動”的教學（教育）知識，這是MPCK理論核心所在.概念教學歷來是數(shù)學教學的重心與難點，尤其是跨越中小學多年段的數(shù)學概念更要引起高度重視.本文基于MPCK視角下的三角形內角和概念教學的點滴體會，敬請批評指正.

二、教材與解讀

吃透教科書，領悟主編意圖是MPCK理論視角下概念教學的具體體現(xiàn).

文1在第38頁“角的度量”一節(jié)中，通過射線給出了角的概念及直角、平角與周角等特殊角，同時介紹了測量角的工具——量角器.小學教科書主編這樣精心設計的目的就是為了在文2第59頁“三角形”一節(jié)中借助量角器來量出三角形三個內角的和等于180度（注：此時開始引入角度符號）.同時把三角形三個內角剪下來拼在一起發(fā)現(xiàn)是一個平角.依據(jù)小學生的認知水平，以及年齡、心理特點，文1與文2側重于小學生動手操作、直觀感知等感性認識.考慮到小學生的實際情況，故而將理性認識（邏輯論證）留給后續(xù)教學（初中教學即文3與文4）來進一步處理.為了體現(xiàn)小學與初中的銜接，更是為了提醒一線教師有效實施小學與初中的過渡，初中教科書主編特意在文3第七章“三角形”的章引言指出：在小學我們通過測量得知三角形三個內角的和等于180度（形成與小學呼應）.但三角形有無數(shù)多個，要說明任意一個三角形內角和都等于180度，不可能對所有三角形都進行測量，必須論證.章引言同時還指出三角形是最簡單的平面圖形，也是認識許多其他圖形（凸多邊形）的基礎.借助三角形內角和等于180度，探究多邊形內角和.不僅可以進一步認識三角形，而且還可以了解一些幾何中研究問題的基本思想方法.鑒于初中生的認識水平、知識結構等，初中階段應該逐步學會并順利完成由說理到基本推理轉變，即邏輯論證、度量計算，因為嚴謹是數(shù)學的生命所在.這正是初中教科書主編在文4中特意安排一章“幾何的回顧”的原因.其中第一節(jié)“幾何問題的處理方法”的目的就是為了說明有些幾何命題可以通過觀察、實驗得到，但也有些命題僅僅通過實驗、觀察是不夠的，還需要給予嚴謹?shù)淖C明，讓學生體會到邏輯論證的必要性與可行性.從小學到初中的過渡，教科書主編用心良苦，銜接十分到位又絲毫沒有越位，全力作為而沒有亂作為.文2在第67頁通過實驗發(fā)現(xiàn)“三角形三個內角的和等于180度”后，文2接著在第68頁繼續(xù)探究得到四邊形內角和等于360度，意猶未盡，但又考慮到小學生的承受能力，怎么辦？主編在第68頁最下方提出一個問題：你能想辦法求出六邊形的內角和嗎？為了徹底鞏固，更為了與初中無縫對接，小學教科書主編在文2第69頁的練習十六中特意設置了第4題：畫一畫，算一算，你發(fā)現(xiàn)了什么？原題如下：

可以說小學教科書主編有意開始滲透類比思想方法，通過上述這個練習，將小學階段的多邊形內角和“作為”到恰到好處，正所謂“增之一分太長，減之一分太短.”正如波利亞所言：“類比是一個了不起的向導”，“類比是一個偉大的引路人”.緊接著初中教科書主編在小學基礎上對多邊形進行分割，文3第81～82頁采取預留空白的形式進一步探究五邊形、六邊形、…、凸n邊形內角和，限于初中生的知識水平，但又滲透類比與歸納等數(shù)學思想方法得出凸n邊形內角和為（n-2）×180度.這就為高中深入研究并借助數(shù)學歸納法給予嚴謹證明留下伏筆.并在第82頁右邊的思考中提出“把一個多邊形分成幾個三角形，還有其他分法嗎？”這樣給師生又留下無限思考空間！作為呼應，初中教科書主編在文4第89頁利用邊空的形式再一次列出四邊形、五邊形、六邊形、…、n邊形的分法.至此，初中階段就圓滿完成既定的教學目標，高中將在初中基礎上，針對凸n邊形中的“n”屬于n≥3，且n∈N，即有關正整數(shù)命題，這樣與正整數(shù)相關的命題證明方法即高中數(shù)學歸納法呼之欲出，這正是主編在高中教科書即文6第二章“推理與證明”中安排第三節(jié)“數(shù)學歸納法”的原因所在.此外小學教科書主編在文2第61頁指出“三角形具有穩(wěn)定性”，這為高中立體幾何即文7第42頁展現(xiàn)公理2（過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面）提供了實際案例.

上述通過對小學、初中及高中教科書的回顧與解讀，不難看出從小學到初中再到高中可謂步步到位，承上啟下，循環(huán)上升，無縫對接.

三、回顧與創(chuàng)新

MPCK理論不是一成不變，而是在特定概念教學中不斷完善并創(chuàng)新.

1.三角形內角和

求任意凸多邊形內角和，不僅對小學生，其實對于初中生來說也是較為困難，怎么辦？我們可以先探究最簡單的凸多邊形，即三角形，正如著名的數(shù)學家華羅庚說：“要善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數(shù)學的訣竅.”那如何求三角形內角和呢？讓我們順著教科書主編的意圖一起來回顧吧.

（1）小學測量觀察法.

方法1：借助量角器直接測量三個內角的度數(shù)，并相加得到三個內角的和等于180度.

方法2：在紙上劃出一個三角形，把三角形的三個內角剪下來，然后拼在一起，通過觀察發(fā)現(xiàn)正好是一個平角，于是得到三角形內角和等于180度.

上述方法1與方法2正是小學生得到三角形內角和等于180度的思維方法與實施過程，其本質就是通過實驗與觀察，但數(shù)學是嚴謹?shù)?，對于?shù)學結論必須給予嚴格證明，這為初中繼續(xù)探究與論證指明了方向.

（2）初中初步論證法.

方法3：過點B作直線DE∥AC，則∠DBE為平角180度，如圖1所示，利用平行線基本性質可得∠A=∠DBA（兩條直線平行，內錯角相等），∠C=∠CBE（兩條直線平行，內錯角相等）?∠A+∠B+∠C=∠DBA+∠ABC+∠CBE=180度.

方法4：在邊AC上任取一點D（不含端點），則∠ADC為平角180度.過點D作DE∥AB，DF∥BC，分別交BC、AB于E、F，如圖2所示，利用平行線基本性質可得∠A=∠EDC（兩條直線平行，同位角相等），∠C=∠ADF（兩條直線平行，同位角相等），∠B=∠EDF?∠A+∠B+∠C=∠EDC+∠EDF+∠ADF=180度.

圖1

圖2

方法5：延長AC至點D，則∠ACD為平角180度.過點C作CE∥AB，如圖3所示，利用平行線基本性質可得∠ECD=∠A（兩條直線平行，同位角相等），∠BCE=∠B（兩條直線平行，內錯角相等）?∠A+∠B+∠C=∠ECD+∠BCE+∠BCA=180度.

方法6：在三角形ABC內任取一點D（不含邊界），過D分別作AB、BC、CA的平行線，分別相交于E、F；G、H；M、N，如圖4所示，利用平行線基本性質可得∠A=∠EFG=∠EDN（兩條直線平行，同位角相等），∠B=∠NED=∠FDG（兩條直線平行，同位角相等），∠C=∠FGD=∠GDN（兩條直線平行，同位角相等，內錯角相等）?∠A+∠B+∠C=∠EDN+∠NDG+∠GDF=180度.

圖3

圖4

2.三角形外角和

以上分析就事論事，都是從內角去考查，能否換一個角度呢？既然有內角，當然就會有對應的外角，那凸多邊形的外角和為多少呢？我們依然退回到最原始、最基本的三角形，那三角形的外角和等于多少呢？

陳省身教授在北京大學的一次學術講學中語驚四座：“人們常說，三角形內角和是180度，這是不對的！”大家愕然！怎么回事？三角形內角和等于180度，這不是數(shù)學常識嗎？接著這位老教授對大家的疑問作了精辟解答：“說三角形內角和等于180度不對，不是說這個事實不對，而是說這種看問題的方式不對，應當說三角形的外角和等于360度.”“倘若把眼睛盯住內角，我們只能看到：三角形的內角和等于180度；四邊形的內角和等于360度；五邊形的內角和等于540度；…；n邊形的內角和（n-2）×180度.這就找到了一個內角和公式.公式里出現(xiàn)了邊數(shù)n.如果看外角呢？三角形的外角和等于360度；四邊形的外角和等于360度；五邊形的外角和等于360度；…；任意n邊形的外角和等于360度.這就是把多種情形用一個十分簡單的簡論概括起來.用一個與n無關的常數(shù)代替了與n有關的公式，找到了更一般的規(guī)律.”

這個故事讓我們想起了數(shù)學家波萊爾的一段話：“數(shù)學家的目的往往是尋求一般的解，他喜歡用幾個一般的公式來解決許多特殊的問題.”因此，數(shù)學教學不是羅列更多的現(xiàn)象，也不是追求更妙的技巧，而是從更普遍的、更一般的角度尋求規(guī)律和答案.

方法7：三角形是一個靜止的圖形，我們從運動的觀點，將靜止轉化為運動.讓一個人沿著三角形周圍走一圈，會發(fā)現(xiàn)這個人正好轉了一圈，如圖5所示，即三角形的外角和等于360度，而每一個平角都是180度，因此三角形的內角和等于3×180度-360度= 180度.

3.凸多邊形內角和

上述方法7就是從運動與靜止的相對關系來構造模型.同理可得，對于四邊形也可以這樣讓一個人沿著四邊形周圍走一圈，會發(fā)現(xiàn)這個人也正好轉了一圈，即四邊形的外角和等于360度.事實上，讓人沿著凸n邊形周圍走一圈，最后還是轉了一圈回到原處，這就說明凸n邊形的外角和是一個定值，恒為360度.

事實上，我們還可以由以下方法得到凸n邊形的外角和恒為360度，如圖6所示.

圖5

圖6

有了這一新的發(fā)現(xiàn)，我們可以得到以下證法：

證法1：對于凸n邊形，我們將凸n邊形的每一條邊都向同一個時針方向延長（射線），如圖6中的第一個圖，此時發(fā)現(xiàn)有n個平角，但是要減去所有的外角，故n邊形的內角和等于n×180度-360度=（n-2）×180度.

對于上述得到的凸n邊形的內角和等于（n-2）×180度，還可以有其他方法嗎？我們觀察（n-2）×180度相當于n-2個三角形的內角和，為此得到下面的證法：

證法2：對于凸n（n≥3，n∈N）邊形A1A2A3…An，任取其中一個頂點，不妨取A1，將A1分別與A3、A4、…、An-1連接，這樣的連線將凸n邊形分割成n-2個三角形，如圖7所示，故凸n邊形的內角和為（n-2）×180度.

圖7

圖8

圖9

倘若我們展開將得到（n-2）×180度=n×180度-360度①.此處n×180度表示什么呢？360度又意味著什么呢？n×180度表示n個三角形的內角和，360度表示一個周角，那么上述①式表示n個三角形的內角和減去一個周角.弄清它們的含義就可以得到以下精彩的解答.

證法3：對于凸n（n≥3，n∈N）邊形A1A2A3…An，在其內部（不含邊界）任取一點O，連接OA1、OA2、OA3、…、OAn，如圖8所示，此時這樣的連線將凸n邊形分割成n個三角形，故其內角和為n×180度.同時應該減去頂角，即∠A1OA2+∠A2OA3+…+∠An-1OAn+∠AnOA1=360度.

故凸n邊形的內角和為n×180度-360度.

讓我們再一次審視上述凸n邊形的內角和公式，并再一次適當變形為（n-2）×180度=（n-1）×180度-180度②

式②的右邊表示什么意思呢？有什么含義呢？其實（n-1）×180度相當于n-1個三角形的內角和，減去180度就是減去一個平角，據(jù)此我們還可以得到以下證明.

證法4：對于凸n（n≥3，n∈N）邊形A1A2A3…An，在其中一邊（不妨在邊A1An）上任取一點O（不含端點），連接OA2、OA3、…、OAn-1，如圖9所示，此時這樣的連線將凸n邊形分割成n-1個三角形，即△A1OA2，△A2OA3，…，△An-1OAn故其內角和為（n-1）×180度，但同時應該減去一個平角即∠A1OAn，所以∠A1OA2+∠A2OA3+…+∠An-1OAn=180度.故凸n邊形的內角和為（n-1）×180度-180度.

4.高中構思方法

上述都是從分割的角度來思考的，能否從有限與無限的辯證關系來尋求問題的解決呢？

證法5：三角形的內角和等于180度，四邊形的內角和呢？五邊形呢？凸n邊形呢？對于四邊形，我們只要連接其中一條對角線，此時四邊形分成兩個三角形，故四邊形的內角和等于2×180度=360度③.

仿照上述方法可以將五邊形分成三個三角形，此時五邊形的內角和等于3×180度=540度④.

那凸n邊形呢？上述③、④兩式還可以這樣來看：

對于四邊形內角和：360度=2×180度=（4-2）×180度；

對于五邊形內角和：540度=3×180度=（5-2）×180度；

由類比與歸納可得凸n邊形內角和為（n-2）×180度.

上述分析是從特殊到一般的歸納方法，是一種不完全歸納法，當然不完全歸納法不一定正確，比如文5第101頁～102頁的“課題學習”材料中得到以下結論：三角形面積是它的中點三角形面積的4倍；四邊形面積是它的中點四邊形面積的2倍.然而對于五邊形、六邊形呢？事實上，五邊形、六邊形的面積與它的中點五邊形、六邊形的面積并沒有固定的倍數(shù)關系，由此說明類比與歸納不一定正確，正如波利亞指出：“合情推理是危險的、有爭議的和暫時的.”因此上述歸納得到的結論需要給予證明，這正是以后高中將要學習的數(shù)學歸納法.不妨設an=（n-2）×180度，以下用數(shù)學歸納法給予嚴格證明：

證法6：（1）當n=3時，顯然成立；

（2）假設n=k（k≥3，k∈N）時命題成立，即ak=（k-2）× 180度，則當n=k+1時，我們將邊A1Ak“撕裂”成兩邊，即邊A1Ak+1與AkAk+1，這就相當于在原k邊形基礎上增加了一個三角形A1AkAk+1，如圖10所示，即有ak+1=ak+180ak=（k-2）× 180+180=［（k+1）-2］×180度，故n=k+1時命題成立.

再由以上（1）、（2）可知，該命題對所有大于3的正整數(shù)均成立.

圖10

數(shù)學歸納法是證明與正整數(shù)相關的命題的一種有效的方法，數(shù)學歸納法通過有限歸納無限，實現(xiàn)了從量變到質變的飛越，這正是數(shù)學歸納法的神奇與偉大.通過數(shù)學歸納法，讓小學生、初中生克服了“無限”的瓶頸，只有跨越了“無限”，才能真正認識“無限”，實現(xiàn)從無限到有限的轉化.其實數(shù)學歸納法既是一種演繹推理，又是一種歸納推理，因此，數(shù)學歸納法的實質是數(shù)學歸納——演繹法，將從小學到初中的學生一直憋在心中的疑團解開，而且為了將來在大學進一步學習第二數(shù)學歸納法、跳躍歸納法、倒退歸納法等留下伏筆，這正是交接而不脫節(jié)、到位而不越位的具體踐行.

四、心得與感悟

仔細研讀小學、初中、高中及大學教科書，深深敬佩這些主編們的精心設計與內容安排，像上述這樣的案例還有很多，比如圓，小學在文8中通過對圓的認識學會作圓，以及求圓的周長和面積公式，接著初中在文4中從側重于圖形的角度研究了圓、直線與圓及圓與圓之間的位置關系，即定性研究，而高中則在文7中借助平面直角坐標系，即用代數(shù)坐標來表示幾何點進行精確地定量研究，這樣實現(xiàn)從數(shù)到形、從定性到定量，充分體現(xiàn)了解析幾何的核心思想：用代數(shù)方法來定量研究幾何問題，這就為大學繼續(xù)深造空間解析幾何打下了堅實的基礎.

MPCK理論要求數(shù)學教師在審視概念時，要以全面、發(fā)展、系統(tǒng)的眼光.從小學、初中、高中乃至大學的數(shù)學教育是一個由感性到理性、由實踐到理論、從具體到抽象、從特殊到一般、從說理到論證的過程，是一個循序漸進的螺旋上升的自然過程.有人說小學、初中、高中及高等數(shù)學就像一盤棋，數(shù)學教師就是這盤棋的對弈者，理應全盤考慮、全局考量、全權考究，才能下一盤精彩的對局，筆者更深切地感受到更像是4×100米接力賽，每一棒隊員各就各位、各司其職.前一棒不僅要奮勇爭先，還要為后一棒精心交接好，同時又要確保在規(guī)定的區(qū)域內完成交接棒.這就要求一線教師弄懂教材，吃透主編意圖，掌握課標要求，清晰小學、初中、高中的教材從何處開始，在何處收尾，小學與初中的交接點在哪兒，初中與高中的銜接點又是什么，交接棒的區(qū)域是什么，只有這樣才能真正做到概念教學交接而不脫節(jié)、到位而不越位，唯有這樣才能演繹出數(shù)學概念教學魅力課堂.

1.課程教材研究所，小學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務教育教科書（數(shù)學·四年級·上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2014.

2.課程教材研究所，小學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務教育教科書（數(shù)學·四年級·下冊）［M］.北京：人民教育出版社，2014.

3.課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務教育課程標準實驗教科書（數(shù)學·七年級·下冊）［M］.北京：人民教育出版社，2010.

4.課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務教育課程標準實驗教科書（數(shù)學·九年級·下冊）［M］.北京：人民教育出版社，2010.

5.王建磐.義務教育課程標準實驗教科書（數(shù)學·初中三年級·下冊）教師用書［M］.上海：華東師范大學出版社，2008.

6.課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書（數(shù)學·選修2-2）［M］.北京：人民教育出版社，2015.

7.課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書（數(shù)學·必修2）［M］.北京：人民教育出版社，2008.

8.課程教材研究所，小學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務教育教科書（數(shù)學·六年級·上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2014.

9.孫凱.回到概念：基于對稱，理解分類——以“圓的分類討論問題”習題課為例［J］.中學數(shù)學（下），2016（5）.

*本文系全國教育科學“十二五”規(guī)劃2015年度單位資助教育部規(guī)劃課題《基于數(shù)學教學內容知識（MPCK）視角下的概念教學案例研究》（課題批準號：FHB150464）的研究成果.