☉安徽師范大學(xué)2014級(jí)數(shù)學(xué)教育碩士

☉安徽馬鞍山二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校　汪宗興

基于“分式”課例淺談初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)

☉安徽師范大學(xué)2014級(jí)數(shù)學(xué)教育碩士

☉安徽馬鞍山二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校汪宗興

一、問(wèn)題的提出

2016年伊始，馬鞍山市教育科學(xué)研究院創(chuàng)新教研形式，每次教研活動(dòng)突出一個(gè)鮮明的主題，改變過(guò)去由上課老師自定主題、同課異構(gòu)的形式，數(shù)學(xué)教研活動(dòng)均由市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人擔(dān)任主講，改變了過(guò)去誰(shuí)要評(píng)職稱(chēng)誰(shuí)就申請(qǐng)上課的隨意做法，活動(dòng)內(nèi)容是先上一節(jié)示范課，再開(kāi)設(shè)同一主題的專(zhuān)題講座，點(diǎn)評(píng)專(zhuān)家也均為特級(jí)教師和市學(xué)科帶頭人.本學(xué)期初中數(shù)學(xué)教研活動(dòng)突出三個(gè)主題：初三側(cè)重如何復(fù)習(xí)；初二側(cè)重習(xí)題課教學(xué)；初一側(cè)重概念課教學(xué).筆者于2016年4月29日承擔(dān)了初一概念課教學(xué)的“重任”，執(zhí)教了“分式及其基本性質(zhì)（第1課時(shí)）”，受到同行的肯定.

文1指出：“當(dāng)前，概念教學(xué)中走過(guò)場(chǎng)，以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的現(xiàn)象比較普遍.概念教學(xué)常常采用‘一個(gè)定義，幾項(xiàng)注意’的方式”.以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌，必須糾正.否則，學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費(fèi)大量時(shí)間、精力，結(jié)果可能是對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人”終將落空.如何科學(xué)地實(shí)施概念教學(xué)呢？筆者結(jié)合“分式”教學(xué)，談一談概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)和實(shí)踐的思考.

二、概念教學(xué)的意義

數(shù)學(xué)中一個(gè)普通的概念都有著并不普通的歷史，從其歷史演變中，可以看出數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展，數(shù)學(xué)是人類(lèi)理性思維的結(jié)晶.

“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的”，概念是人們?cè)谏鐣?huì)實(shí)踐中形成的思維形式，是人們對(duì)客觀事物的本質(zhì)、事物的全體、事物的內(nèi)部聯(lián)系的認(rèn)識(shí).每一個(gè)概念都包含兩個(gè)方面：一是概念的內(nèi)涵，它反映事物的本質(zhì)；二是概念的外延，它反映事物的范圍，即概念的適用范圍.

數(shù)學(xué)概念是什么？數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心，所以概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心之一.概念學(xué)習(xí)的研究一直是心理學(xué)研究的重要課題，包括對(duì)概念的分類(lèi)、概念的結(jié)構(gòu)、概念的獲得、概念的運(yùn)用等方面的研究.

三、基于“分式”課例談一談概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

教材：第九章“分式”（滬科版七年級(jí)下冊(cè)）.

課題：9.1分式及其基本性質(zhì)（第1課時(shí)）.

【教學(xué)目標(biāo)】

（1）了解分式的概念，掌握分式有意義和分式的值為0的條件.

（2）通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，抽象出分式的概念，體會(huì)分式是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的一種模型.

（3）體會(huì)類(lèi)比等數(shù)學(xué)思想方法，獲得代數(shù)式學(xué)習(xí)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及教法】

教學(xué)重點(diǎn)：分式的概念，分式有意義的條件.

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)分式概念的理解.

教學(xué)方法：（1）從分?jǐn)?shù)到分式，是從具體到抽象、從特殊到一般的概念形成過(guò)程；（2）類(lèi)比分?jǐn)?shù)的有關(guān)知識(shí)得到分式的相關(guān)知識(shí)是研究分式的基本方法.

【教學(xué)實(shí)錄】

（一）概念的引入

師：這幾年，我們國(guó)家的鐵路事業(yè)飛速發(fā)展，火車(chē)已成為必不可少的交通工具.

問(wèn)題1：在相距1600km的兩地之間運(yùn)行一列車(chē)，速度提高25%后，運(yùn)行時(shí)間縮短了4h，你能求出列車(chē)提速前的速度嗎？

生1：提速前所要的時(shí)間，提速后所要的時(shí)間.

生2：有一個(gè)問(wèn)題.

師：請(qǐng)說(shuō).

生2：給這個(gè)方程起個(gè)什么名字為好？

眾生：分式方程.

師：在弄清分式方程之前，先要弄清什么是分式.帶著這個(gè)問(wèn)題，我們來(lái)進(jìn)行“分式”一章的學(xué)習(xí).

問(wèn)題2：長(zhǎng)方形的面積為S，若長(zhǎng)為a，則寬為_(kāi)____.

問(wèn)題3：一箱草莓售價(jià)a元，箱子與草莓總質(zhì)量為mkg，箱子質(zhì)量為nkg，則每千克草莓的售價(jià)為_(kāi)____元.

師：哪個(gè)答案對(duì)？

師：為什么生5的答案正確？

生6解釋?zhuān)?

問(wèn)題4：計(jì)算：2x3y2÷x3y3=______.

設(shè)計(jì)意圖：前三個(gè)問(wèn)題是實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)分式來(lái)源于生活；第四個(gè)問(wèn)題是整式除法，是純數(shù)學(xué)問(wèn)題，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)單項(xiàng)式除法，但商都是整式，即整除的情形，這里出現(xiàn)不能整除的情況，商如何表示？根據(jù)已學(xué)的數(shù)的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，類(lèi)比引出分式，體現(xiàn)分式是數(shù)學(xué)知識(shí)自身內(nèi)在發(fā)展的必然結(jié)果.四個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)意在引出分式學(xué)習(xí)的必要性，為分式概念的提煉提供素材.

生7：分母上含有字母.

生8：都是分式.

師：什么是分式？

生9照著工具書(shū)讀分式的基本性質(zhì).

師：這位同學(xué)在參考工具書(shū)，其實(shí)教科書(shū)是最好的教輔材料，看看課本是如何揭示分式定義的.

眾生翻閱教科書(shū)，讀出分式的定義

（二）概念的表述

板書(shū)1：用a、b表示兩個(gè)整式，并且b中含有字母，那么式子叫作分式.其中，a叫作分式的分子，b叫作分式的分母.

設(shè)計(jì)意圖：類(lèi)比分?jǐn)?shù)，熟悉分子、分母、分?jǐn)?shù)線及功能；分式的兩大特征：①分子、分母都是整式；②分母中必須含有字母，分子中可以含有字母，也可以不含字母；③分式是兩個(gè)整式相除的商.

問(wèn)題5：下列代數(shù)式，哪些是分式，哪些是整式？

生12：a2+b2是多項(xiàng)式，a2、b2都是單項(xiàng)式，幾個(gè)單項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式.

師：這兩個(gè)觀點(diǎn)針?shù)h相對(duì).

生14：我要反駁生11，ab÷ca是分式.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}5增強(qiáng)感性認(rèn)識(shí)，使學(xué)生建立分式和整式的聯(lián)系，體會(huì)“分式”在知識(shí)結(jié)構(gòu)體系中的位置.數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)不是一個(gè)一個(gè)孤立的數(shù)學(xué)概念的記憶或認(rèn)知，而是對(duì)眾多相互關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)概念的辨別與再聯(lián)結(jié).因此，數(shù)學(xué)思維方式的建構(gòu)或轉(zhuǎn)變只有置身于整體的數(shù)學(xué)概念框架之中才是可能的或現(xiàn)實(shí)的.

（三）概念的深化

問(wèn)題6：求下列分式的值：

師：大家對(duì)照一下，2對(duì)應(yīng)的空為/，為什么？

眾生：分母為0，分式無(wú)意義.

師：分式在什么情況下，有意義呢？

眾生：分母≠0.

板書(shū)：分式有意義、分式的值為0的條件，內(nèi)容略.

設(shè)計(jì)意圖：從求代數(shù)式的值出發(fā)，引出分式有意義、無(wú)意義、分式的值為0的條件，明確求分式值的前提是分式有意義.

板書(shū)4：解：（1）當(dāng)x-2=0，即x=2時(shí)，分式無(wú)意義，所以當(dāng)x≠2時(shí)，分式有意義.（突出強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)格式）

【變式練習(xí)】

注：5人同步做兩個(gè)③.

由原式有意義，得x2-x-6≠0，即x2-x≠6.

此時(shí)，x≠3或x≠-2.

（師糾正“或”→“且”）

師：說(shuō)一下，你是怎么想的？

生17：把3和-2代入計(jì)算的.

師：那么多的數(shù)，你怎么知道要把3和-2代入計(jì)算呢？哪位同學(xué)能解釋?zhuān)?/p>

生19：1，1，±1.

生21：x＜2.

師：你怎么知道這個(gè)結(jié)果的？

生21：因?yàn)榉肿邮钦龜?shù)，分母一定是負(fù)數(shù)，這里利用有理數(shù)除法法則，兩數(shù)相除，異號(hào)得負(fù).

（四）概念的“精致”

師：我們這一節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)要點(diǎn)？請(qǐng)同學(xué)們小結(jié)一下

生22：分式的定義.

生23：分式的基本性質(zhì).

師：你很有預(yù)見(jiàn)性，這正是后面的內(nèi)容！

生24：分式有意義、無(wú)意義、分式的值為0.

師：關(guān)于分式的概念，分式是兩個(gè)整式相除的結(jié)果，當(dāng)字母參與運(yùn)算后，字母、字母之間進(jìn)行乘法運(yùn)算得到單項(xiàng)式，加減運(yùn)算得到多項(xiàng)式，乘方（特殊的乘法）得到單項(xiàng)式，乘方的逆運(yùn)算是開(kāi)方，字母能否進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算呢？開(kāi)方運(yùn)算得到無(wú)理式，有理式和無(wú)理式統(tǒng)稱(chēng)代數(shù)式，如圖1所示.

分?jǐn)?shù)→分式；整式→分式；類(lèi)比等.

【布置作業(yè)】

課本：P93習(xí)題9.1第1題、第2題.

【內(nèi)容分析】

本節(jié)課是分式一章的第一節(jié)課，既承擔(dān)著章節(jié)導(dǎo)引的作用，又要引入并揭示分式的概念，可謂“責(zé)任”重大.從整章來(lái)說(shuō)，為什么學(xué)分式？分式是什么？如何學(xué)分式？是三個(gè)核心問(wèn)題.從第一節(jié)課來(lái)說(shuō)，為什么學(xué)分式？分式的定義是什么？從哪些角度來(lái)理解分式概念？相對(duì)前者，后者更具體，前者更抽象、更一般.

回答為什么學(xué)分式，可從兩個(gè)角度看，一是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的結(jié)果，二是實(shí)際問(wèn)題解決的需要.分式的概念及理解是第一節(jié)課的重點(diǎn).怎么學(xué)分式？學(xué)生需要借鑒整式的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，類(lèi)比分?jǐn)?shù)，以研究分式的概念→分式的運(yùn)算→分式方程→分式方程的應(yīng)用為主線展開(kāi).

什么是分式？對(duì)分式如何理解？

分式是分?jǐn)?shù)代數(shù)化的結(jié)果，是對(duì)分?jǐn)?shù)一般屬性的描述，具有分?jǐn)?shù)的特點(diǎn).分式是建立在學(xué)生熟悉的分?jǐn)?shù)基礎(chǔ)之上的一個(gè)新概念，通過(guò)字母表示數(shù)，溝通分式和分?jǐn)?shù)的橫向聯(lián)系，滲透具體與抽象、特殊與一般的辯證思想，分?jǐn)?shù)是分式的特例，分式是分?jǐn)?shù)的普遍形式.分式與分?jǐn)?shù)的形式相同，性質(zhì)相通.因此，分式的學(xué)習(xí)要注意其與分?jǐn)?shù)的類(lèi)比、轉(zhuǎn)化，既要注意表面形式，又要深入揭示由形式引起的內(nèi)涵變化.

【分式概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)回顧】

從“分式”課例教學(xué)可以看出，概念教學(xué)經(jīng)歷了以下幾個(gè)環(huán)節(jié).

具體而言，可以分為以下幾個(gè)基本環(huán)節(jié).

（1）概念背景的引入.問(wèn)題1-3是實(shí)際問(wèn)題，問(wèn)題4是整式除法運(yùn)算，是一個(gè)純數(shù)學(xué)問(wèn)題.借助具體事例，從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過(guò)程或解決實(shí)際問(wèn)題的需要引入概念.

（3）概念的抽象與概括（又稱(chēng)明確與表示）.下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述（文字的、符號(hào)的、圖形的）.

（4）概念的辨析.以實(shí)例（正例、反例）為載體，分析的含義，研究特例，恰當(dāng)使用反例.如問(wèn)題5，判斷代數(shù)式的類(lèi)型，加深對(duì)概念的理解.

（6）概念的“精致”.通過(guò)概念的綜合應(yīng)用，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系，將概念納入概念系統(tǒng).本節(jié)課的板書(shū)設(shè)計(jì)正是基于這樣的考慮，給學(xué)生形成一個(gè)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖式，如圖1所示.（點(diǎn)評(píng)專(zhuān)家評(píng)價(jià)為：“在目前PPT泛濫的情況下，板書(shū)很有特色！”

【概念教學(xué)實(shí)踐體悟】

首先，教師應(yīng)明確講授的數(shù)學(xué)概念在“概念框架”中的位置，弄清與相關(guān)概念的聯(lián)系.如分式概念可從以下幾個(gè)方面理解.分式是代數(shù)式的一部分，在有理式中出現(xiàn)在整式之后，其化簡(jiǎn)、計(jì)算與整式內(nèi)容密切相關(guān)；其在定義、性質(zhì)、運(yùn)算法則上可類(lèi)比分?jǐn)?shù)，體現(xiàn)一般與特殊的關(guān)系；在方程、不等式部分與分式方程、分式不等式直接相關(guān)；在函數(shù)部分與反比例函數(shù)有關(guān)；在圖形部分與線段比、相似相關(guān).可見(jiàn)，分式與數(shù)式、函數(shù)、方程、不等式、圖形等方面聯(lián)系密切.

從數(shù)學(xué)史來(lái)說(shuō)，人類(lèi)從數(shù)量的多少中抽象出數(shù)的概念經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過(guò)程，在出現(xiàn)整數(shù)、分?jǐn)?shù)之后，一方面把數(shù)及數(shù)的運(yùn)算應(yīng)用到生活和生產(chǎn)實(shí)踐中；另一方面，對(duì)數(shù)本身進(jìn)行研究.要表示數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律，僅用數(shù)來(lái)表示難以體現(xiàn).法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)第一個(gè)有意識(shí)地使用字母來(lái)表示抽象的運(yùn)算，從此人們可以像對(duì)“數(shù)”那樣對(duì)“符號(hào)”進(jìn)行運(yùn)算，符號(hào)運(yùn)算得到的結(jié)果具有一般性.字母參與運(yùn)算后，產(chǎn)生了代數(shù)式.代數(shù)式是按照對(duì)字母進(jìn)行的運(yùn)算進(jìn)行分類(lèi)的，整式中，對(duì)字母只實(shí)施加法、減法、乘法和乘方運(yùn)算；分式中，對(duì)字母實(shí)施除法運(yùn)算（形式上表現(xiàn)為分母中含有字母）.整數(shù)的運(yùn)算會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，整式的運(yùn)算也會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)整式相除的情況，這樣就有必要引入分式.

教育需要大觀念，即培育人的追求，這反映在教學(xué)上就是教學(xué)需要整體觀，即建構(gòu)或轉(zhuǎn)變思維方式，而這反映在數(shù)學(xué)概念教學(xué)上就是要在概念框架中來(lái)獲得概念，而不能只是一味地追求所謂知識(shí)點(diǎn)的掌握.

其次，教師應(yīng)認(rèn)真分析概念類(lèi)型，選擇適當(dāng)?shù)母拍罱虒W(xué)方式.

教育心理學(xué)的研究成果表明，數(shù)學(xué)概念的獲得方式主要有兩種，即概念的形成和概念的同化.所謂概念的形成，是指從大量實(shí)例出發(fā)，以學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，形成表象，歸納、抽象、概括出事物的某類(lèi)本質(zhì)屬性，并提出各種假設(shè)，加以驗(yàn)證，以獲得數(shù)學(xué)概念.所謂概念同化，則是指從學(xué)生已有的概念出發(fā)，以其間接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，直接揭示所學(xué)習(xí)概念的某類(lèi)本質(zhì)特征，以獲得數(shù)學(xué)概念.分式概念的教學(xué)顯然采用的是以概念的形成為主的教學(xué)方式.特殊四邊形的教學(xué)可以采用概念同化為主的形式.無(wú)理數(shù)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)難點(diǎn)，無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，曾引起數(shù)學(xué)史上第一次基礎(chǔ)理論的危機(jī)，教學(xué)時(shí)可采用概念形成和概念同化相結(jié)合的方式.

概念形成的獲得方式多局限于較為原始或初級(jí)的數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，如兒童對(duì)各具體數(shù)字和特殊平面圖形的認(rèn)識(shí)，就可以借助于反思其生活和經(jīng)驗(yàn)中的相關(guān)感性材料來(lái)獲得，而概念同化則多運(yùn)用于較為高級(jí)或發(fā)展性的數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí).前者側(cè)重于從感性材料上升至表象，再?gòu)谋硐髿w納、抽象、概括出所學(xué)概念的本質(zhì)特征，并據(jù)此明確其相應(yīng)的外延；而后者則多從已有數(shù)學(xué)概念出發(fā)，運(yùn)用概念限制或概念概括的邏輯方法，這兩種明確概念的邏輯方法都源自概念內(nèi)涵與外延之間的反比關(guān)系，分析推演出所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征.

再次，教師對(duì)概念的理解有個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程.筆者初進(jìn)入工作崗位時(shí)，經(jīng)常為“x=2、x+3=x-1是不是方程”“3+是不是分式”“是不是二次根式”等問(wèn)題困擾，隨著教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的豐富，學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)：課本中的一些定義本身就是一個(gè)描述性定義，有的是形式化的定義，而并非十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義.當(dāng)我們明白引入方程、分式概念等的最終目的是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決時(shí)，如何解方程，分式的運(yùn)算等自然成為關(guān)注的焦點(diǎn)，教師在概念教學(xué)時(shí)有時(shí)不妨“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”！

最后，教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)習(xí)概念教學(xué)理論，熟悉概念教學(xué)的“基本套路”，減少概念教學(xué)的盲目性.理解概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的首要任務(wù)，概念的學(xué)習(xí)主要靠歸納思維，概念教學(xué)要用歸納式.概念教學(xué)要遵循一定規(guī)律，教學(xué)設(shè)計(jì)的主要任務(wù)是：選擇典型、豐富的具體實(shí)例，設(shè)計(jì)、歸納具體實(shí)例的共同特征，抽象出本質(zhì)特征，并概括到同類(lèi)事物中去.

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