☉江蘇無錫市新城中學　浦敘德

初中代數(shù)“用……解決問題”課時的解讀與設計*——以蘇科版教材七（下）“11.5用一元一次不等式解決問題（1）”為例

☉江蘇無錫市新城中學浦敘德

高效的課堂取決于有效的設計，有效的設計依賴于教材的解讀，對數(shù)學教材的深度解讀是課堂教學優(yōu)質、高效的基礎和保障.雖然各地使用教材的版本和體系不同，但其都是基于《數(shù)學課程標準（2011版）》編寫的，故課程標準解讀、教材編寫說明、教師教學用書應該作為教材解讀的顯性依據(jù)，而數(shù)學知識內部的結構體系和數(shù)學學習的基本規(guī)律應該作為教材解讀的隱性依據(jù).一線教師在數(shù)學教學整個過程中，往往對教材解讀這個教學全程的“虎頭”重視不夠，因而教學設計有效性降低，致使課堂教學這個教學全程的“豹尾”效能低下.下面以蘇科版初中數(shù)學教材中代數(shù)內容“用……解決問題”（以下簡稱“解決問題類”）為例，具體以其中的“用一元一次不等式解決問題”第1課時為素材，談一下此類數(shù)學教學內容的解讀與設計，并作一些粗淺的思考，一是喚起教師對教材解讀的重視，二是給課時解讀的研究拋磚引玉.

一、初中代數(shù)“解決問題類”課時的分布與呈現(xiàn)

蘇科版初中數(shù)學教材按“代數(shù)、幾何、統(tǒng)計、概率”四大板塊從簡單到復雜、交叉并列推進編排.它以“從生活中抽象出數(shù)學知識，再進行數(shù)學知識的自身推理演繹，最后用數(shù)學知識解決問題”為明線，以“抽象、推理、建?！比蠡緮?shù)學思想為暗線編寫每章教材.其中代數(shù)內容以“數(shù)—式—方程—不等式—函數(shù)”為明線，采用螺旋上升的方法展開.由于“數(shù)、式”作為代數(shù)基礎知識，它的主要作用是服務于后面“方程、不等式、函數(shù)”知識，所以教材從“方程”內容開始在每學期都集中安排有相應的代數(shù)“解決問題類”課時內容.考慮到各地使用教材版本不同，編寫體系不同，為了讓更多同行看到蘇科版教材在安排代數(shù)“解決問題類”課時的原貌，特把教材的具體課時分布及呈現(xiàn)方式整理如下.

二、具體素材“用一元一次不等式解決問題”課時的解讀與設計

由上面的分布和呈現(xiàn)可以看出，由于初中代數(shù)“解決問題類”都是“數(shù)學知識抽象、數(shù)學知識演繹”后的“數(shù)學知識建?！眱热荩幵诿恳徽旅恳粭l知識鏈的最后一節(jié)，所以教材的呈現(xiàn)方式是完全一致的，那就是在“方程、不等式、函數(shù)”建模思想引領下，以“實際應用題”的形式出現(xiàn).如果不對教材進行深度解讀，教師在設計此類課時時，往往簡單化操作，安排幾個表象不同、本質一致的例題和練習作為課堂教學的主要素材，這樣的教學顯然只停留在問題表面，是教材解讀膚淺的表現(xiàn).下面以蘇科版七（下）“用一元一次不等式解決問題”第1課時為例進行深度解讀和有效設計.

1.課時具體解讀

（1）從“數(shù)學與生活”這一宏觀視角進行“面”的解讀.

我們知道，數(shù)學來源于生活，高于生活，優(yōu)于生活，又服務于生活.事實上，蘇科版教材就是按照這樣的宏觀視角來編寫的.無論是對于一章還是一節(jié)內容，都可以采用“從生活中來，數(shù)學自身演繹，到生活中去”的基本路徑進行面的解讀、設計和教學.就“用一元一次不等式解決問題”第1課時而言，教材呈現(xiàn)（見上面附表：月歷游戲、問題1、解法總結）三個素材，正好說明了這點.從這個視角“面”解讀，本課的設計可以按照“從實際問題中抽象不等式問題，不等式知識的自身演繹，用不等式建模解決實際問題”的思路來進行，并以此思路通過具體的數(shù)學活動來實施課堂教學.

（2）從“知識的關聯(lián)”這一中觀視角進行“線”的解讀.

我們知道，方程與不等式是現(xiàn)實生活中兩個重要的代數(shù)模型，分別表示相等關系與不等關系，構成“特殊與一般”的關聯(lián).所以在學習不等式相關知識時，要充分利用前面所學方程內容作為數(shù)學基礎知識與基本活動經(jīng)驗，通過類比與對比的方法，避免重起爐灶.從這個視角“線”解讀，列方程解應用題的步驟與建模過程，都可以作為“用一元一次不等式解決問題”的基礎，本課的設計可以考慮從方程的視角切入，再轉入不等式的正題.這樣的課堂教學，既復習回顧了方程系列的知識體系，又服務于一元一次不等式系列新知識的建構，同時會讓學生對兩者的關聯(lián)有更清晰的認識.

（3）從“知識的發(fā)展”這一微觀視角進行“點”的解讀.

我們知道，初中數(shù)學有其自身的知識結構體系，不等式板塊有其自己的一條知識發(fā)展線，那就是“從生活問題中抽象出不等式—不等式的定義—不等式的解集—不等式的性質—求解不等式—用不等式解決實際問題”；作為不等式中最簡單、最特殊的一元一次不等式，從一般到特殊，也有自己的一條知識發(fā)展線，那就是“從生活問題中抽象出一元一次不等式—一元一次不等式的定義—一元一次不等式的解集—解一元一次不等式—用一元一次不等式解決問題”.從這個視角“點”解讀，本課作為一元一次不等式知識的終結課，設計時既要考慮把這條“知識發(fā)展線”理順并建構，又要考慮本課的重點和核心在于“一元一次不等式建?！?在此基礎上實施課堂教學，既可以達成本課的教學目標，又為本章復習的整體建構打下堅實的基礎.

2.課時設計框架

（1）引入環(huán)節(jié).

［問題1］一只紙箱質量為1kg，當放入一些蘋果（每只蘋果的質量為0.25kg）后，箱子和蘋果的總質量為10kg.這只紙箱內裝了多少個蘋果？

意圖：回顧“一元一次方程”中“定義—解—解方程—利用方程解決問題”的知識發(fā)展；回顧“用一元一次方程解決問題”中“設—列—方程—解—檢驗—作答”的一般步驟；回顧“方程建模”中“實際問題—數(shù)學中的一元一次方程—方程的解—實際問題的解”的基本流程.

［問題2］一只紙箱質量為1kg，當放入一些蘋果（每只蘋果的質量為0.25kg）后，箱子和蘋果的總質量不超過10kg.這只紙箱內最多能裝多少個蘋果？

意圖：類比“一元一次不等式”知識線；猜想“用一元一次不等式解決問題”的一般步驟；對比“不等式建模”的基本流程.

（2）展開環(huán)節(jié).

［問題3］無錫市新城中學要將初一240名師生送往江陰禁毒館參觀，現(xiàn)有A、B兩種型號的車可供調用，已知A型車每輛可坐45人，B型車每輛可坐35人，每輛車都不能超載.問：在已確定調用2輛A型車的前提下至少還需調用B型車多少輛？

意圖：在知識線完成構建的基礎上，熟練“用一元一次不等式解決問題”的基本步驟和建模過程.并進一步強調用一元一次不等式解決問題與用一元一次方程解決問題的解題步驟中“設元”（一般不把最多、最少等詞放進設元中）、“建立模型”（根據(jù)不等關系建立的是一元一次不等式）的不同之處.還要注意“每輛車都不能超載”的數(shù)學含義是最多坐45與35人，實際含義是可以有空座.

［問題4］給出一元一次不等式45×2+35x≥240，請你編制一個符合實際的應用問題.

意圖：從生活問題中抽象數(shù)學知識以及用數(shù)學知識，解決實際問題，都是從現(xiàn)實生活問題到數(shù)學問題，根據(jù)數(shù)學哲學觀點，在正向思維的基礎上，必須研究一些逆向問題，培養(yǎng)學生的逆向思維能力和對“數(shù)學與生活”關系的真正理解.編制問題的關鍵是問題中的數(shù)量既要符合已知不等式，又要符合實際意義.

［問題5］無錫市新城中學計劃租用6輛客車送初一年級去參觀江陰禁毒館.現(xiàn)有甲、乙兩種客車，它們的載客量和租金如下表，若該校初一共有240名師生前往參加，領隊老師從學校預支租車費用1650元.

（1）至少需要租幾輛甲種客車？

（2）試問：預支的租車費用是否夠用？

（3）如采用最佳方案，最多可以剩余多少元？

意圖：在建構好“知識體系”與熟練“解題步驟”、“不等式建?！钡幕A上，進一步豐富實際問題呈現(xiàn)信息的方式，從單一文字到融入表格信息，進一步豐富解題方法，從單一解法到分類討論，進一步豐富解題內涵，從無數(shù)個解的解集，到有限個解的特解，最后到唯一解.當然，此問題還可以進一步考慮與一元一次方程或二元一次方程聯(lián)合組成綜合應用題.

（3）收尾環(huán)節(jié).

［問題6］今天你學到了哪些數(shù)學知識與技能？在探究問題過程中又學到了哪些數(shù)學思想方法？獲得了哪些數(shù)學活動經(jīng)驗？你還有什么可以與同伴分享？

意圖：進一步強調“知識結構線”“應用題解題步驟”“不等式建?！钡群暧^認識；進一步強調“設元”“建立不等式”等細節(jié)認識；進一步理解“類比、對比、建模、特殊與一般”等數(shù)學思想方法；進一步體會“生活中處處存在數(shù)量之間的相等關系與不等關系，相等關系用“方程建?！?，不等關系用“不等式建模”，方程與不等式都是刻畫現(xiàn)實世界的重要模型”等數(shù)學活動經(jīng)驗.

三、關于教材課時解讀與設計的幾點思考

1.“教材課時解讀”應作為數(shù)學教師首要研究任務

數(shù)學教師的核心主陣地在課堂，如果把教學全過程這個整體分解為“教材解讀、教學設計、課堂實施”三個連續(xù)的部分，可以看出，數(shù)學課堂教學的效能取決于有效的教學設計，而有效的教學設計又依賴于教材的解讀.所以對教材每一課時的解讀應作為數(shù)學教師教學全過程的首要研究任務.從章建躍教授三個理解的角度去對照，教材解讀更多體現(xiàn)的是“理解數(shù)學”，教學設計則要更多考慮“理解學生”，課堂實施則要充分展示“理解教學”.

2.“教材課時解讀”可以通過“點線面”的視角去實施

不管是概念、定理、公式、法則的新授課，還是利用知識解決數(shù)學問題、實際問題的習題課，或者是重在建構提升的復習課，我們都可以通過“點線面”的視角去實施教材的解讀.具體就是：如果是一個知識，可以從這個知識點的前、本身、后入手解讀；如果是多個知識點，可以從這些知識的相互關聯(lián)線去解讀.當然，從宏觀角度更應該從生活與數(shù)學、知識層面、能力層面、數(shù)學與哲學等綜合層面去融會貫通.

3.“數(shù)學核心素養(yǎng)”的培養(yǎng)“功夫在詩外”

數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的主陣地在課堂.史寧中教授與王尚志教授等認為數(shù)學核心素養(yǎng)主要包括數(shù)學抽象、運算能力、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等幾個方面.用一句話概括，就是“用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學語言表達世界，用數(shù)學思維分析世界.”從上所述可以看出，這些數(shù)學核心素養(yǎng)要在透過現(xiàn)象看本質的過程性課堂中開花結果，首先需要在教師對教材的解讀與教學的設計上生根發(fā)芽.所以說，只要我們把數(shù)學教學的“過冬”準備全部做到位，我們就距數(shù)學教學的“春天”不會遙遠，數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)“功夫在詩外”. Z

*本文是2015年江蘇省“十二五”教育科學規(guī)劃（初中教育專項）課題“初中數(shù)學教材‘點全·線聯(lián)·面融式’課時解讀的實踐研究”（編號：E-c/2015/26）的階段性研究成果之一.