袁彩輝

利用對稱性，巧解函數題

袁彩輝

在初中數學中，函數的對稱性主要指的是函數圖像的對稱性，一般指中心對稱性和軸對稱性.初中階段學習的正比例函數、反比例函數、二次函數都具有對稱性.許多中考函數題，特別是一些選擇題或填空題，如果利用對稱性，可化繁為簡，從而獲得巧妙的解法，有的甚至能直接得出結果，回避常規(guī)解法的大計算量與繁雜過程.下面舉例說明，供同學們參考.

一、巧用正比例函數與反比例函數的對稱性

1.求特殊關系點的坐標

A.（1，3）B.（-1，-3）

C.（-3，-1）D.（-2，-3）

圖1

【解析】本題一般可以采用待定系數法求出正比例函數和反比例函數的解析式，然后再求出兩函數圖像的交點.但如果能夠利用反比例函數和正比例函數都是中心對稱圖形，A、B兩點以原點（0，0）為對稱中心，那么B點坐標便容易求出.故本題選C.

2.求特殊圖形的面積

例2如圖2，正比例函數和反比例函數的圖像相交于A、B兩點.分別以A、B兩點為圓心，畫出與y軸相切的兩個圓.若點A的坐標為（1，2），則圖中兩個陰影部分面積的和是_______.

圖2

【解析】分別求兩個陰影部分面積顯然不可行.由于正比例函數與反比例函數圖像都關于原點對稱，可知A、B兩點關于原點對稱.從而⊙A與⊙B也關于原點對稱，故陰影部分面積和等于⊙A（或⊙B）的面積.⊙A與y軸相切，則⊙A的半徑為1.故陰影部分的面積和等于π×12=π.

3.求代數式的值

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圖3

【解析】通過上面例子，大家肯定會發(fā)現本題如利用對稱性解會更簡單.由中心對稱性知A、B兩點關于原點對稱，則x1=-x2，y1=-y2.

∵A、B兩點在雙曲線上，

∴x1y1=4，x2y2=4，

∴2x1y2-7x2y1=-2x1y1+7x2y2=-2×4+7×4=20.

二、巧用反比例函數?圖像的對稱性

圖4

三、巧用二次函數的對稱性

例5小穎在二次函數y=2x2+4x+5的圖像上，依橫坐標找到三點（-1，y1），（0.5，y2），（-3.5，y3），你認為y1，y2，y3的大小關系應為（）.

A.y1>y2>y3B.y2>y3>y1

C.y3>y1>y2D.y3>y2>y1

【解析】本題可以把x的值代入函數求出對應的y的值，但這樣計算量會很大，如果能夠利用二次函數的對稱性本題就會省去很多的計算過程了.由題可知該拋物線的對稱軸為x=-1，所以x=0.5時的函數值與x=-2.5時的函數值相等，再利用二次函數的增減性可得出y3>y2>y1.故選D.

2.利用拋物線的對稱性求拋物線的對稱軸和與x軸的交點坐標

例6下表是二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的函數值y與自變量x的對應值.

x…-5-3-20356…y…2770-8-5716…

（1）找出拋物線上關于對稱軸對稱的兩點_______、_______.

（2）寫出拋物線的對稱軸_______，拋物線與x軸的交點坐標是_______.

【解析】本題的常規(guī)做法是先求出解析式，然后解出拋物線與x軸的交點，并求出其對稱軸.但若能掌握拋物線是軸對稱圖形，由表中當x=-3和x=5時的函數值都是7，可知這兩點的連線平行于x軸，故被對稱軸垂直平分，所以這兩點關于對稱軸對稱，從而得出拋物線的對稱軸為x=1.再由當x= -2時y=0可知拋物線與x軸的另一個交點為（4，0）.

3.利用拋物線的對稱性求最短距離

例7如圖5，拋物線y=0.5x2+bx-2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，頂點為D，且A（-1，0）.若點M是對稱軸上的一個動點，當MC+MA的值最小時，求M點的坐標.

圖5

【解析】本題若按題意可先來解出拋物線解析式，并求出其對稱軸，然后設出點M的縱坐標，利用勾股定理表示出MC和MA的長，最后利用二次函數求最大（小）值的方法求出對應的M點的坐標.但若利用拋物線的對稱性可知，由于點M在對稱軸上，所以MA=MB.本題就轉化為求MC+MB的最小值了，那么求出直線BC的解析式再代入對稱軸的橫坐標即可.

函數的對稱性是函數本身內在的特性，若能靈活恰當地應用好函數的這一性質，會給解題提供意想不到的幫助.

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國際學校）