石魯寧， 閆維明， 何浩祥， 陳彥江

(北京工業(yè)大學(xué)工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京, 100124)

?

基于裂縫梁動力特性和自振頻率的參數(shù)敏感性

石魯寧， 閆維明， 何浩祥， 陳彥江

(北京工業(yè)大學(xué)工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京, 100124)

基于Bernoulli-Euler理論，將開口裂縫梁視為變截面梁，利用模態(tài)攝動方法建立了一種求解帶任意數(shù)量開口裂縫簡支梁和連續(xù)梁動力特性的半解析分析方法。在等截面無損梁的模態(tài)子空間內(nèi)將裂縫梁的變系數(shù)微分方程的求解轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程組的求解；利用無損梁的自振頻率和振型函數(shù)攝動求解裂縫梁的模態(tài)參數(shù)；通過矩形開口裂縫簡支梁和兩跨連續(xù)梁的動力試驗(yàn)驗(yàn)證了筆者方法的準(zhǔn)確性；最后，利用開口裂縫梁動力特性的半解析解研究了簡支梁和兩跨連續(xù)梁的自振頻率對裂縫尺寸和位置的敏感性。

開口裂縫； 自振頻率； 振型函數(shù)； 模態(tài)攝動法； 裂縫參數(shù)

引 言

簡支梁和連續(xù)梁廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)工程和機(jī)械工程中，在長期或者偶然荷載作用下不可避免的會出現(xiàn)損傷，而損傷的直接表現(xiàn)形式就是裂縫。裂縫的出現(xiàn)將會引起結(jié)構(gòu)剛度的下降，進(jìn)而引起結(jié)構(gòu)自振頻率、振型和阻尼等模態(tài)參數(shù)的變化。模態(tài)參數(shù)的變化還與裂縫的位置和尺寸有著密切關(guān)系[1-3]；通過模態(tài)參數(shù)的變化還可以對結(jié)構(gòu)的損傷程度和位置進(jìn)行識別。因此,研究裂縫梁的動力特性并分析裂縫參數(shù)對結(jié)構(gòu)動力特性的影響具有重要的工程意義。

Dimarogonas等[1,4]基于斷裂力學(xué)理論提出在裂縫梁的損傷位置利用無質(zhì)量等效轉(zhuǎn)動彈簧模擬裂縫，給出了彈簧剛度的計算公式，通過理論和試驗(yàn)研究了裂縫對結(jié)構(gòu)動力特性的影響。Khiem等[5-6]利用轉(zhuǎn)動彈簧模型和傳遞矩陣方法研究了帶任意數(shù)目裂縫梁的動力特性，分析了裂縫數(shù)量和邊界條件等對自振頻率的影響。Krawczuk等[7]將裂縫等效為無質(zhì)量的轉(zhuǎn)動彈簧利用譜元方法研究了帶裂縫Timoshenko梁的動力特性。Hamed等[8]研究了帶裂縫預(yù)應(yīng)力混凝土梁的非線性動力特性。Baris[9]利用轉(zhuǎn)動彈簧模型研究了的軸向力下多個開口裂縫梁的振動問題。Zheng和Kisa等[10-11]利用有限元方法通過添加附加剛度矩陣反映結(jié)構(gòu)的損傷進(jìn)而獲得損傷梁的自振頻率和振型，分析了裂縫位置和深度對自振頻率的影響。Cheng等[12-13]研究了呼吸裂縫梁的動力特性，但是呼吸裂縫梁的振動過程是非線性的，其分析方法與開口裂縫存在明顯的不同。Zheng等[14]利用改進(jìn)的Fourier級數(shù)方法研究了帶任意數(shù)量開口裂縫Timoshenko梁的動力特性，分析了裂縫位置和尺寸對結(jié)構(gòu)自振頻率的影響。Torabi等[15-16]研究了變截面裂縫梁的動力特性，并分析了裂縫參數(shù)對結(jié)構(gòu)動力特性的影響。Rezaee等[17]將裂縫梁簡化為帶彈簧質(zhì)量阻尼的單自由度體系，采用攝動方法研究了呼吸裂縫簡支梁的動力特性。郭智剛等[18-19]基于一階攝動理論推導(dǎo)了帶多條開口裂縫的歐拉梁的特征模態(tài)參數(shù)的理論計算公式，研究了簡支梁和懸臂梁自振頻率對裂縫參數(shù)的敏感性，但是文獻(xiàn)[17-19]的研究不適用于連續(xù)梁也未考慮裂縫形式的影響在算法上與模態(tài)攝動方法也有明顯的區(qū)別。Zheng等[20]利用改進(jìn)的Rayleigh法獲得損傷梁的頻率方程，分析了裂縫參數(shù)對自振頻率的影響。冀偉等[21]對波形鋼腹板簡支箱梁豎向頻率的影響因素進(jìn)行了分析。肖和業(yè)等[22]對變阻尼層復(fù)合梁動力特性進(jìn)行了優(yōu)化分析。綜上所述，現(xiàn)有的裂縫模擬方法大致分兩類：a.通過轉(zhuǎn)動彈簧模擬裂縫;b.通過截面剛度的折減。裂縫梁振動方程的求解方法有：Fourier級數(shù)法、Rayleigh-Ritz法、傳遞矩陣法、能量法、攝動法和有限元法等。受制于裂縫模擬方法和振動方程求解方法，現(xiàn)有的針對于帶任意數(shù)量開口裂縫連續(xù)梁的動力特性和裂縫參數(shù)對結(jié)構(gòu)動力特性影響的研究尚不成熟。提出將開口裂縫梁視為變截面梁，基于模態(tài)攝動法給出了帶任意數(shù)目開口裂縫簡支梁和連續(xù)梁動力特性的半解析解，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了方法的準(zhǔn)確性。利用裂縫梁動力特性的半解析解研究了裂縫參數(shù)對簡支梁和連續(xù)梁動力特性的影響。

1 裂縫梁振動方程

1.1 裂縫梁動力特性計算模型

等截面n跨連續(xù)梁第i跨(1≤i≤n)損傷前后模型如圖1所示。無損梁的慣性矩和面積分別為I0和A0，如圖1(a)所示。連續(xù)梁共有N個矩形開口裂縫，其中第j個開口裂縫起點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為xj，裂縫寬度為bj，高度為hj，如圖1(b)所示。

圖1 裂縫梁模型Fig.1 The modal of crack beam

(1)

連續(xù)梁由無損狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閾p傷狀態(tài)慣性矩和面積的變化量為

(2)

如圖1(a)所示，無損梁的自由振動方程為

(3)

其中：EI為梁截面抗彎剛度；A為梁截面面積；ρ為密度；μ(x,t)為結(jié)構(gòu)的位移。

如圖1(b)所示，損傷梁的自由振動方程為

(4)

將式(2)代入式(4),整理得

(5)

定義矩形窗函數(shù)

(6)

將窗函數(shù)式(6)代入式(5),整理得

(7)

顯然，損傷梁可看作是無損梁經(jīng)過截面參數(shù)變化后得到的變截面梁。為了求解該變截面梁(損傷梁)的振動方程式(7)，可利用無損梁的模態(tài)參數(shù)攝動求解損傷梁的模態(tài)參數(shù)。

1.2 裂縫梁振動方程的求解

(8)

裂縫梁振動方程式(7)可采用變量分離方法求解，假定解的形式為

(9)

將式(9)代入式(7)，整理得

(10)

根據(jù)模態(tài)攝動理論[23]，把式(7)所表示的開口裂縫梁看作是如圖1(a)所示的等截面無損梁經(jīng)過截面慣性矩I0和面積A0變化后得到的新體系，這個新體系主模態(tài)函數(shù)及特征值可以利用無損梁的模態(tài)函數(shù)進(jìn)行攝動求得。假設(shè)

(11)

(12)

(13)

其中：qj為模態(tài)線性組合系數(shù)。

將式(11),(12)代入式(10)，利用式(8)進(jìn)行簡化整理得

(14)

(15)

其中

(16)

(17)

(18)

顯然，式(16)～(18)需要利用無損梁的前η階主模態(tài)參數(shù)進(jìn)行積分獲得，第2節(jié)將詳細(xì)推導(dǎo)式(16)～(18)的具體表達(dá)式。

分別令式(15)中k=1,2, …,η，可獲得η個關(guān)于未知數(shù)Δλi和qj(j=1,2,…,η;j≠i)的非線性代數(shù)方程，整理簡化為矩陣形式如下

(19)

其中

其中：未知向量q的第i個元素qi=Δλi/λi。

這樣,就把開口裂縫梁的變系數(shù)微分方程式(10)轉(zhuǎn)化為非線性矩陣方程式(19)。本方法也適用于其他形式的開口裂縫梁動力特性的計算。

1.3 非線性方程組的求解

非線性矩陣方程組式(19)可采用Newton-Raphson法或遺傳算法等并行智能算法求解，筆者采用Newton-Raphson法求解式(19)。Newton-Raphson法對于初值選取非常重要，給定合理的初值不僅可以減少迭代次數(shù),還可以獲得更加準(zhǔn)確的收斂結(jié)果。根據(jù)式(19)的物理意義以及向量q內(nèi)各組合系數(shù)的含義，給定q的初值為

q=0

(20)

迭代終止條件[19-20]可采用

(21)

其中：上角標(biāo)κ為方程迭代次數(shù)；ξ為收斂誤差。

將求得的未知向量q代入式(11)和式(12)，可獲得開口裂縫梁的第i階自振頻率和振型。令式(11)和式(12)中i=1,2,…,n,重復(fù)迭代過程可獲得開口裂縫梁的前n階模態(tài)參數(shù)。

1.4 無損梁的頻率方程和振型函數(shù)

為了求解式(19),首先需要獲得等截面無損梁的自振頻率和振型函數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[21],簡支梁的第n階頻率方程和歸一化振型函數(shù)為

(22)

(23)

其中：L為梁長。

連續(xù)梁的頻率方程和振型函數(shù)可采用如下方法獲得。取n跨等截面連續(xù)梁的第i跨梁段為研究對象，如圖2所示。

圖2 連續(xù)梁第i跨梁段模型Fig.2 The ith span beam

假設(shè)第i跨梁段起點(diǎn)i的轉(zhuǎn)角位θi,i+1，彎矩為Mi,i+1，終點(diǎn)i+1處的轉(zhuǎn)角位θi+1,i，彎矩為Mi+1,i，第i跨梁長Li。第i跨的自由振動方程為

(24)

第i(2≤i≤n-1)跨與相鄰兩跨的支座處的彎矩和轉(zhuǎn)角需滿足如下關(guān)系式

(25)

第一跨和最后一跨與其相鄰跨的彎矩和轉(zhuǎn)角需滿足如下關(guān)系式

(26)

連續(xù)梁第i跨梁段的振型函數(shù)為

Cisinh(ax)+Dicosh(ax)

(27)

其中：ω2=a4EI/m；Ai，Bi，Ci和Di為實(shí)常數(shù)，可由梁端邊界條件(位移、轉(zhuǎn)角和彎矩)計算得到。

根據(jù)圖2第i跨梁段梁端位移和彎矩分別為

(28)

將式(26)代入上述邊界條件可得

(29)

將Ai,Bi,Ci和Di代入式(27)可得

(30)

對于支座i，由于Mi=Mi,i+1=Mi,i-1，則支座i(2≤i≤n)兩側(cè)轉(zhuǎn)角可寫為

(31)

n跨連續(xù)梁相鄰兩跨轉(zhuǎn)角需滿足θi,i-1=θi,i+1(2≤i≤n)，則由式(31)可得

(32)

取

整理式(32)得

(33)

將式(33)整理成矩陣形式，并利用n跨連續(xù)梁兩端的彎矩M1=0，Mn+1=0，簡化得

(34)

其中：M0=[M2,M3,…,Mn]T;

對于n跨連續(xù)梁在任意激勵作用下，式(34)必存在非零解，則有

(35)

式(35)為n跨連續(xù)梁的頻率方程。將ωi代入振型方程組式(30)即可求得n跨連續(xù)梁的第i階振型。筆者給出兩跨和三跨連續(xù)梁的振型函數(shù)表達(dá)式。

兩跨連續(xù)梁第n階振型函數(shù)

(36)

三跨連續(xù)梁第n階振型函數(shù)

(37)

通過上述方法可獲得n跨連續(xù)梁的頻率方程和振型函數(shù)的表達(dá)式。將振型函數(shù)和自振頻率代入式(16)～(18)通過求解即可獲得非線性矩陣方程各系表達(dá)式。僅以帶任意數(shù)量矩形開口裂縫簡支梁為例給出了各系數(shù)的計算方法和具體表達(dá)式。

2 矩形開口裂縫簡支梁系數(shù)的計算

2.1 系數(shù)mk的計算

將簡支梁的振型函數(shù)式(23)代入式(16)積分,得到系數(shù)mk值為

(38)

2.2 系數(shù)Δkki的計算

根據(jù)文獻(xiàn)[23]，式(17)可簡化為

(39)

將式(2)代入式(18)，得

(40)

將式(23)代入式(40),積分可得

(41)

2.3 系數(shù)Δmki的計算

將式(2)代入式(18)，得

(42)

將簡支梁振型函數(shù)式(23)代入式(42),積分可得

(43)

將系數(shù)mk，Δkki和Δmki值代入非線性矩陣方程組式(19)，通過求解式(19)即可獲得開口裂縫梁的模態(tài)參數(shù)。對于兩跨和三跨裂縫梁,需將振型函數(shù)式(36)和式(37)代入式(16)～(18),按同樣的方法進(jìn)行分段積分,即可獲得系數(shù)mk，Δkki和Δmki值。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

通過矩形截面簡支梁和兩跨連續(xù)梁的動力試驗(yàn)對本方法獲得的開口裂縫梁動力特性半解析解的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。鋼梁截面為5 cm×5 cm，梁長為1.8 m；材料參數(shù)采用試驗(yàn)值，彈性模量為195 GPa，鋼材密度為7 830 kg/m3。利用該鋼梁同時做1.7 m簡支梁和0.85 m+0.85 m兩跨連續(xù)梁的動力試驗(yàn)。在簡支梁和兩跨連續(xù)梁動力試驗(yàn)的各個工況中7個輕質(zhì)加速度傳感器布置位置不變。試驗(yàn)中首先用橡膠錘施加激勵以獲取簡支梁的振動響應(yīng)，然后將中間支座固定于簡支梁跨中位置用同樣的方法采集兩等跨梁的振動響應(yīng)。裂縫采用切割機(jī)切割產(chǎn)生，首先在主裂縫位置分級切割，然后在次裂縫處分級切割。簡支梁和兩跨連續(xù)梁的高跨比分別為0.029 4和0.058 8，顯然試驗(yàn)梁的高度遠(yuǎn)小于跨度屬于Bernoulli-Euler梁，在裂縫梁動力特性計算中可以忽略轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的影響。裂縫位置和傳感器布置如圖3(a)所示，簡支梁和兩跨連續(xù)梁的試驗(yàn)照片如圖3(b)和3(c)所示。

試驗(yàn)采用錘擊激勵方式，裂縫采用切割機(jī)切割產(chǎn)生，信號采樣頻率為1 000 Hz。裂縫尺寸和試驗(yàn)工況如表1所示。圖4為工況2簡支梁和兩跨連續(xù)梁的加速信號和頻譜圖。

將實(shí)測加速度信號進(jìn)行傅里葉變換獲得各工況試驗(yàn)梁的自振頻率；利用Matlab軟件編程求解非線性矩陣方程組式(19)。簡支梁和兩跨連續(xù)梁在不同

表1 裂縫尺寸和試驗(yàn)工況表 (單位：mm)

圖3 試驗(yàn)梁圖Fig.3 Test beam

圖4 試驗(yàn)梁振動信號處理Fig.4 The test results of signals

工況下的自振頻率實(shí)測值和本方法計算值如表2,3所示。其中，簡支梁在工況1下實(shí)測獲得的結(jié)構(gòu)1階和2階自振頻率分別為39.10和156.40 Hz；兩跨連續(xù)梁在工況1下實(shí)測獲得的結(jié)構(gòu)1階和2階自振頻率分別為156.10和243.87 Hz。

表2 簡支梁自振頻率(單位：Hz)

表3 兩跨連續(xù)梁自振頻率(單位：Hz)

由表2,3可知，攝動方法求得的矩形開口裂縫簡支梁和兩跨連續(xù)梁的前兩階自振頻率與實(shí)測值較接近，隨著損傷程度的增加攝動絕對誤差稍有增大，但相對于損傷引起的頻率變化量而言這種計算誤差是比較小的，在實(shí)際工程中是可以接受的；當(dāng)η=35時，攝動方法的最大誤差僅有0.36%，當(dāng)η=15時，最大誤差也僅有1.01%。這表明本研究方法可以較準(zhǔn)確地獲得開口裂縫梁的模態(tài)參數(shù)。隨著η值的增大攝動法計算結(jié)果趨向于實(shí)測值，理論上當(dāng)η取值越大，計算結(jié)果越接近于真實(shí)值。筆者計算結(jié)果總是由較大值趨向于實(shí)測值；分析認(rèn)為該方法屬于Ritz法，計算結(jié)果總大于結(jié)構(gòu)的真實(shí)值，計算精度取決于η的取值。本方法可較準(zhǔn)確地獲得開口裂縫梁的動力特性。

4 單裂縫對自振頻率的影響

圖5 裂縫深度對自振頻率的影響Fig.5 Influence of crack depth on natural frequency

以試驗(yàn)梁為例，分析裂縫參數(shù)對簡支梁和兩跨連續(xù)梁自振頻率的影響。假定開口裂縫寬度為15 mm，定義第i條裂縫的相對深度為hi/h，相對位置為xi/L，頻率比為f′/f；h為梁高，L為梁長，f′為損傷梁自振頻率，f為無損梁自振頻率。圖5給出了簡支梁(x1/L=0.5)和兩跨連續(xù)梁(x1/L=0.25)在跨中位置出現(xiàn)損傷，裂縫深度對裂縫梁前4階自振頻率的影響。由圖5可知，簡支梁跨中裂縫對第2，4階自振頻率幾乎無影響，兩跨梁跨中裂縫對第3階自振頻率幾乎無影響。分析認(rèn)為裂縫位置對自振頻率的影響與振型函數(shù)值有內(nèi)在的聯(lián)系，當(dāng)裂縫位于振型的反彎點(diǎn)位置時，裂縫對該階自振頻率幾乎無影響，如圖5簡支梁的第2，4階自振頻率和兩跨梁的第3階自振頻率；當(dāng)裂縫位于振型的峰值處時，對該階自振頻率的影響較大，如圖5簡支梁的第1，3階自振頻率和兩跨梁的第1，2階自振頻率。隨著裂縫深度的增加各階自振頻率相應(yīng)降低，其頻率的變化量還與裂縫的位置有關(guān)。

當(dāng)裂縫相對深度為h1/h=0.3時，裂縫位置對簡支梁和兩跨連續(xù)梁自振頻率的影響如圖6所示。分析認(rèn)為簡支梁裂縫位置對各階自振頻率的影響與其振型函數(shù)值存在聯(lián)系；當(dāng)裂縫位于振型峰值位置對該階自振頻率的影響較大，當(dāng)裂縫位于振型的反彎點(diǎn)附近對該階自振頻率的影響微弱。對于兩跨連續(xù)梁的奇數(shù)階自振頻率亦有此規(guī)律，但是對于兩跨連續(xù)梁的偶數(shù)階自振頻率，當(dāng)裂縫位于中間支座附近時自振頻率的變化較大，分析認(rèn)為兩跨連續(xù)梁偶數(shù)階振型為正對稱振型，中間支座處轉(zhuǎn)角為零，因此可將兩跨梁簡化為如圖7所示結(jié)構(gòu)計算其偶數(shù)階振型。當(dāng)裂縫位于兩跨梁中間支座附近時，相當(dāng)于圖7梁體的固定端附近出現(xiàn)損傷，顯然對自振頻率的影響較大，本結(jié)論適用于偶數(shù)跨連續(xù)梁的偶數(shù)階自振頻率對裂縫參數(shù)的敏感性分析。通過上述分析可知,當(dāng)偶數(shù)跨連續(xù)梁對稱軸處梁體出現(xiàn)損傷時，利用頻率對損傷程度進(jìn)行評判時，建議采用偶數(shù)階自振頻率而不宜采用基頻。

單個矩形裂縫深度和位置對簡支梁和兩跨連續(xù)梁自振頻率的影響，如圖8和圖9所示。由圖8和圖9可以看出,不同裂縫深度和位置對簡支梁和兩跨連續(xù)梁前四階自振頻率的影響。

圖8 簡支梁裂縫深度和位置對自振頻率影響Fig.8 Influence of crack location and crack depth on natural frequency of simply supported beam

圖9 兩跨梁裂縫深度和位置對自振頻率影響Fig.9 Influence of crack location and crack depth on natural frequency of two span beam

通過研究多個裂縫對簡支梁和兩跨梁自振頻率的影響，結(jié)果表明裂縫數(shù)量的變化并沒有改變裂縫參數(shù)對自振頻率的影響規(guī)律。本方法也適用于其他裂縫形式損傷梁動力特性的求解；將損傷梁截面慣性矩和面積的函數(shù)表達(dá)式代入式(16) ～(18)進(jìn)行積分，獲得參數(shù)mk，Δkki和Δmki值，通過求解式(19)即可獲得裂縫梁的模態(tài)參數(shù)。

5 結(jié)束語

基于Bernoulli-Euler理論，將開口裂縫梁視為變截面梁，利用模態(tài)攝動方法獲得了帶任意數(shù)量開口裂縫簡支梁和連續(xù)梁動力特性的半解析解。給出了等截面連續(xù)梁動力特性的解析解，推導(dǎo)了非線性代數(shù)方程組系數(shù)矩陣的具體表達(dá)式。通過矩形開口裂縫簡支梁和兩跨連續(xù)梁的動力試驗(yàn)驗(yàn)證了本方法的準(zhǔn)確性。利用開口裂縫梁動力特性的半解析解研究了簡支梁和兩跨連續(xù)梁的自振頻率對裂縫尺寸和位置的敏感性。不同的裂縫的深度和位置對結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的影響也是不同的。通常隨著裂縫深度的增加，自振頻率會出現(xiàn)下降，其變化規(guī)律與振型函數(shù)值有關(guān)；但自振頻率的變化量與裂縫出現(xiàn)的位置有著密切關(guān)系。當(dāng)偶數(shù)跨連續(xù)梁對稱軸處梁體出現(xiàn)損傷時，利用頻率對損傷程度進(jìn)行評判時，建議采用偶數(shù)階自振頻。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.05.010

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51378039，51378037，51478024)

2014-08-21；

2014-10-22

TU311.3; TH82

石魯寧，男，1987年5月生，博士生。主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)振動與健康監(jiān)測。曾發(fā)表《帶任意附加質(zhì)量的變截面彈性支承梁動力特性的解析解》(《工程力學(xué)》，2016年第33卷第1期)。

E-mail: shiluning1987@163.com

簡介： 閆維明,男，1960年5月生，博士、教授。主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)監(jiān)測及控制。

E-mail: yanwm@bjut.edu.cn