王 俊， 馬 梁，， 張俊紅，， 魯 鑫

(1.天津大學(xué)仁愛學(xué)院 天津,301636) (2.天津大學(xué)內(nèi)燃機燃燒學(xué)國家重點實驗室 天津，300072)

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SFD作用下故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性及混沌控制*

王 俊1， 馬 梁1，2， 張俊紅1，2， 魯 鑫2

(1.天津大學(xué)仁愛學(xué)院 天津,301636) (2.天津大學(xué)內(nèi)燃機燃燒學(xué)國家重點實驗室 天津，300072)

考慮擠壓油膜阻尼器(squeeze film damper，簡稱SFD)作用，研究碰摩故障及不對中-碰摩耦合故障下系統(tǒng)動力學(xué)特性及SFD對系統(tǒng)混沌運動控制?；贚agrange方程，建立不對中-碰摩耦合故障下SFD-轉(zhuǎn)子-滾動軸承系統(tǒng)動力學(xué)模型，采用龍格庫塔法對模型求解，并利用分岔圖、Poincaré圖、頻譜圖等進行對比分析。研究結(jié)果表明：合理油膜間隙下的SFD能有效抑制系統(tǒng)非協(xié)調(diào)響應(yīng)以及振動幅值，使故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的混沌運動控制在穩(wěn)定周期軌道上;過小的油膜間隙會形成很強的非線性油膜支反力，產(chǎn)生非協(xié)調(diào)頻率成分，使穩(wěn)定周期系統(tǒng)重返混沌狀態(tài)；隨著油膜間隙減小，SFD對不對中故障產(chǎn)生的典型2X，3X，4X和5X頻幅值具有不同影響，其中2X頻幅值變化明顯，3X和4X頻幅值變化微弱，5X頻幅值基本不變。

擠壓油膜阻尼器； 耦合故障； 轉(zhuǎn)子-滾動軸承系統(tǒng)； 混沌控制

引 言

近年來，隨著SFD在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用，研究SFD對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響逐漸成為一個熱點問題[1-2]。當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)出現(xiàn)故障(如不對中、碰摩等)時，會產(chǎn)生次諧波、高次諧波等非協(xié)調(diào)分量，形成混沌運動。因此，研究SFD對故障產(chǎn)生混沌運動的控制有著重要的理論和應(yīng)用價值。

Humes[3]基于Reynolds方程的端軸承假設(shè)研究了帶有SFD的剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動規(guī)律，提出了流體油膜力的理論模型，并將其應(yīng)用到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型中，所得結(jié)果與實驗結(jié)果較為吻合。周海侖等[4]建立了SFD-滾動軸承-轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型，采用數(shù)值積分法得到系統(tǒng)的非線性動力學(xué)響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)較大的油膜間隙、較高的轉(zhuǎn)速以及較大的支承剛度下容易進入概周期運動。張家忠等[5-6]考慮擠SFD的作用，建立了滑動軸承支承下的單盤Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型，采用數(shù)值積分法研究了SFD對系統(tǒng)減振特性的影響，發(fā)現(xiàn)擠壓油膜阻尼器能有效改變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔行為，提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)時的轉(zhuǎn)速。張韜等[7]研究了有SFD、轉(zhuǎn)靜子碰摩和轉(zhuǎn)軸橫向裂紋多種非線性因素作用下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)故障的非線性特性。林富生等[8]研究了SFD支承的單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩特性。以上關(guān)于SFD對故障的研究或是基于SFD-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)模型，或主要集中在混沌道路現(xiàn)象的分析以及SFD的減振特性，并未研究SFD對混沌的控制作用以及SFD對不對中故障特性的影響。

筆者采用數(shù)值方法研究了SFD對碰摩單一故障及不對中-碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)混沌運動的控制作用，并通過頻譜圖分析了SFD對不對中故障特征頻率的影響。

1 系統(tǒng)模型與基本理論

1.1 轉(zhuǎn)子動力學(xué)微分方程

圖1所示為考慮不對中-碰摩耦合故障的SFD-轉(zhuǎn)子-滾動軸承-花鍵聯(lián)軸器耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型，轉(zhuǎn)子采用深溝球軸承支承。其中：Ms1，Md1，Ms2，Ms3，Ms4，Ms5，Md2和Ms6分別為轉(zhuǎn)子等效集中質(zhì)量；Mo1和Mo2為滾動軸承外圈處的集中質(zhì)量；K為彈性軸剛度；Ka為鼠籠彈性支撐剛度；Cz和Cp為轉(zhuǎn)子在軸承、圓盤處阻尼系數(shù)；δ為轉(zhuǎn)子與靜子的間隙；e1和e2為圓盤偏心距；α1和α2為圓盤偏心角；ks為碰摩剛度[9]。

圖1 SFD-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)簡化模型Fig.1 The simplified model of rotor bearing system

根據(jù)Lagrange方程可得系統(tǒng)運動微分方程

(1)

其中：q=[Xs1Ys1Xd1Yd1Xs2Ys2Xs3Ys3Xs4Ys4Xs5Ys5Xd2Yd2Xs6Ys6Xo1Yo1Xo2Yo2]T；Q=[Fbx1Fby1Px1+FpxPy1+FpyFbx2Fby2FLXFLY-FLX-FLYFbx3Fby3Px2Py2Fbx4Fby4Fsx1-Fbx1Fsy1-Fby1Fsx2-Fbx4Fsy2-Fby4]T；Fbx1，F(xiàn)by1，F(xiàn)bx2，F(xiàn)by2，F(xiàn)bx3，F(xiàn)by3，F(xiàn)bx4和Fby4為軸承支反力；Px1，Py1，Px2和Py2為圓盤偏心力；Fpx，F(xiàn)py為碰摩力；FLX，F(xiàn)LY為花鍵聯(lián)軸器不對中力；Fsx1，F(xiàn)sy1，F(xiàn)sx2和Fsy2為擠壓油膜阻尼器的支反力;M，C和K為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

引入無量綱變換[9]

其中：ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角速度；μ為滾動軸承游動間隙。

式(1)經(jīng)無量綱變換為

(2)

1.2 碰摩力模型

假定轉(zhuǎn)子已處于碰摩狀態(tài)，轉(zhuǎn)子與定子的摩擦符合庫侖定律[9-12]。

(3)

其中：ks為碰摩剛度；f為摩擦因數(shù)。

將碰摩力在x-y坐標(biāo)系中分解

(4)

1.3 花鍵聯(lián)軸器不對中嚙合力模型

圖2所示為花鍵聯(lián)軸器模型，由參考文獻[13]可得每個鍵扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的嚙合力為

(5)

(6)

其中：φ為各鍵變形產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角位移；T為扭矩；z為花鍵聯(lián)軸器鍵的個數(shù)；Li，KLi分別為各鍵等效嚙合距離和剛度；R為鍵根圓半徑[9]。

動態(tài)位移產(chǎn)生的嚙合力為

(7)

(8)

(9)

其中：φi為各鍵與X軸正向夾角；e′為聯(lián)軸器動態(tài)徑向位移。

綜合以上分析，得聯(lián)軸器不對中產(chǎn)生的嚙合力

(10)

聯(lián)軸器不對中產(chǎn)生的x，y向合力為

(11)

(12)

圖2 花鍵聯(lián)軸器模型Fig.2 Spline coupling model

1.4 SFD油膜力模型

SFD油膜力計算可以根據(jù)流體動壓潤滑理論求得，依據(jù)雷諾方程可以導(dǎo)出SFD的油膜壓力的分布，SFD的瞬態(tài)雷諾方程[14]可以由式(13)求得

(13)

其中：p為為油膜壓力分布；Rs為阻尼器半徑；μs為滑油黏度；h為油膜厚度；z為軸頸的軸向位移；Ω為軸頸的進動角速度。

采用短軸承理論,并通過Sommerfeld變換可得油膜支承力

(14)

其中：

1.5 滾動軸承力模型

設(shè)軸承滾珠在內(nèi)外滾道間等距排列，滾珠與滾道之間為純滾動。由于不平衡激勵的作用，滾動軸承做強迫振動，振動頻率等于轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)頻率。同時在旋轉(zhuǎn)過程中，滾動軸承剛度會發(fā)生周期性變化，產(chǎn)生VC振動[15]，該振動為參數(shù)激振。

基于Hertz彈性接觸理論，參考文獻[16-17]可得滾動軸承作用力為

(15)

1.6 模型計算參數(shù)

根據(jù)以上模型，建立不對中碰摩耦合故障下SFD-轉(zhuǎn)子-滾動軸承系統(tǒng)動力學(xué)方程，設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)初始值，運用龍格庫塔法進行求解。系統(tǒng)各部分參數(shù)如表1～表5[9]所示。

表1 轉(zhuǎn)子參數(shù)

表2 碰摩參數(shù)

表3 花鍵聯(lián)軸器參數(shù)

表4 SFD參數(shù)

表5 滾動軸承參數(shù)

2 結(jié)果分析

2.1 SFD-轉(zhuǎn)子-滾動軸承系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析

采用數(shù)值積分法求解SFD作用下系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)，其中彈性支承的剛度Ka=3×106N/m，其余參數(shù)見表1～表5。分析圖3和表6可知，SFD能有效減小轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共振時的幅值。當(dāng)擠壓油膜阻尼器的間隙大于等于5×10-5m時，隨著油膜間隙的逐漸減小，系統(tǒng)共振幅值逐漸減??；當(dāng)間隙等于5×10-5m時，共振幅值減小了約55.64%；當(dāng)油膜間隙等于4×10-5m時，其共振幅值突然變大，減振效果呈現(xiàn)相反趨勢。

圖3 不同油膜間隙下系統(tǒng)響應(yīng)幅頻特性Fig.3 Amplitude frequency characteristic of system response under different oil film gap

Tab.6 Amplitude frequency characteristic of system response under different oil film gap

油膜間隙無量綱幅值幅值減小百分比/%無SFD2.342—c=1×10-41.85520.79c=9×10-51.76224.77c=7×10-51.41139.75c=5×10-51.03955.64c=4×10-51.14551.11

圖4所示共振轉(zhuǎn)速為970 rad/s時，不考慮擠壓油膜阻尼器的影響和考慮擠壓油膜阻尼器不同油膜間隙下系統(tǒng)響應(yīng)頻譜圖。由圖可知，無SFD時，頻譜圖中存在單一的一倍頻成分，考慮SFD的影響時，頻譜圖中出現(xiàn)了很多非協(xié)調(diào)頻率成分，且一倍頻的幅值大于不考慮SFD時系統(tǒng)響應(yīng)的一倍頻幅值。

由以上分析可知，當(dāng)SFD油膜間隙在一定范圍內(nèi)時，其具有明顯的減振效果，且隨著間隙的減小，其減振效果也越好。但過小的油膜間隙會使SFD產(chǎn)生很強的非線性油膜支反力，形成很多非協(xié)調(diào)頻率成分，使系統(tǒng)振動幅值增大，容易引發(fā)系統(tǒng)發(fā)生故障。所以在設(shè)計擠壓油膜阻尼器時，合適的油膜間隙至關(guān)重要。

2.2 碰摩故障下SFD-轉(zhuǎn)子-滾動軸承系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析

圖5(a)所示為不考慮SFD時， 碰摩故障轉(zhuǎn)子-

滾動軸承系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖。其中油膜間隙c=1×10-4m，其余參數(shù)見表1～表5。由圖可知，在轉(zhuǎn)速小于等于2 690 rad/s時，系統(tǒng)表現(xiàn)為單周期運動，并在轉(zhuǎn)速為1 810 rad/s附近出現(xiàn)跳躍；在轉(zhuǎn)速ω∈(2 690, 3 000) rad/s時，系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)單周期與混沌交替的現(xiàn)象，即表現(xiàn)為陣發(fā)性混沌。圖5(b)所示為考慮SFD時，碰摩故障轉(zhuǎn)子-滾動軸承系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖。對比圖5(a)可知， SFD能有效抑制碰摩故障產(chǎn)生的非協(xié)調(diào)響應(yīng)頻率成分，使原系統(tǒng)混沌運動變?yōu)橹芷诤蛿M周期運動。

基于以上碰摩故障下轉(zhuǎn)子隨轉(zhuǎn)速變化分岔圖的對比分析，取轉(zhuǎn)速ω=2 850 rad/s，進一步研究碰摩故障下SFD對系統(tǒng)混沌的控制作用。圖6所示為碰摩故障下轉(zhuǎn)子隨油膜間隙變化分岔圖。由圖可知，系統(tǒng)在油膜間隙等于9.6×10-5m時發(fā)生分岔。當(dāng)c≤9.6×10-5m時，系統(tǒng)表現(xiàn)為單周期運動；當(dāng)c>9.6×10-5m時，系統(tǒng)表現(xiàn)為三倍周期運動。圖7所示為不考慮SFD和考慮SFD時不同油膜間隙下系統(tǒng)響應(yīng)的Poincaré圖和頻譜圖。由圖7(a)可知，不考慮SFD時系統(tǒng)響應(yīng)的Poincaré表現(xiàn)為成片無規(guī)則的散狀點，頻譜圖表現(xiàn)為不規(guī)則的、波動的、連續(xù)的譜線，系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)?？紤]SFD，取油膜間隙c=1×10-4m，由圖7(b)可知，系統(tǒng)響應(yīng)的Poincaré表現(xiàn)為孤立的三點，頻譜圖出現(xiàn)1/3倍頻，系統(tǒng)處于三倍周期運動狀態(tài)。在混沌吸引子內(nèi)，有無數(shù)的不穩(wěn)定周期軌與混沌運動同時存在，有序運動和無序運動相互結(jié)合，相互轉(zhuǎn)換。由于擠壓油膜阻尼器的作用，有效地抑制了碰摩故障引起的系統(tǒng)非協(xié)調(diào)響應(yīng)，改變了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程解的拓撲結(jié)構(gòu)，使其向周期解發(fā)展，將由碰摩故障引起的混沌系統(tǒng)穩(wěn)定在3倍周期軌道上。減小油膜間隙，取c=3×10-5m，由圖7(c)可知，系統(tǒng)響應(yīng)Poincaré表現(xiàn)為孤立一點，頻譜圖表現(xiàn)為單一基頻成分，系統(tǒng)做單周期運動。由于SFD的減振作用，使系統(tǒng)振動幅值減小，避免了系統(tǒng)碰摩故障發(fā)生，從而使系統(tǒng)運動穩(wěn)定在周期1軌道上。

圖7 碰摩故障下系統(tǒng)響應(yīng)Poincaré圖和頻譜圖Fig.7 Poincaré diagram and spectrum diagram of system response under the rub impact fault

2.3 不對中碰摩耦合故障SFD-轉(zhuǎn)子-滾動軸承系統(tǒng)動力學(xué)特性分析

圖8(a)所示為不考慮SFD時，不對中-碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子-滾動軸承系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化分岔圖。其中油膜間隙c=1×10-4m，其余參數(shù)見表1～表5。由圖可知，在轉(zhuǎn)速小于等于1 820 rad/s時，系統(tǒng)表現(xiàn)為單周期運動；隨著轉(zhuǎn)速的繼續(xù)升高，當(dāng)ω∈(1 820,2 370) rad/s時，系統(tǒng)由單周期變?yōu)榛煦邕\動，同時系統(tǒng)響應(yīng)的最大幅值在分岔點處出現(xiàn)瞬時較強的跳躍；當(dāng)轉(zhuǎn)速大于2 370 rad/s時，系統(tǒng)倒分岔為兩倍周期運動。圖8(b)所示為考慮SFD時，不對中-碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子-滾動軸承系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖。對比圖8(a)可知，由于SFD的作用，使原系統(tǒng)發(fā)生跳躍時轉(zhuǎn)速向后推移致1 900 rad/s，系統(tǒng)更加穩(wěn)定。同時SFD有效抑制耦合故障產(chǎn)生的非協(xié)調(diào)響應(yīng)，使原系統(tǒng)混沌運動變?yōu)楸吨芷谶\動，減小了系統(tǒng)混沌運動區(qū)間。

圖8 不對中-碰摩耦合故障下轉(zhuǎn)子隨轉(zhuǎn)速變化分岔圖Fig.8 Bifurcation diagram of rotor with rotating speed under misalignment-rubbing impact coupling faults

基于以上不對中-碰摩耦合故障下轉(zhuǎn)子隨轉(zhuǎn)速變化分岔圖對比分析，取轉(zhuǎn)速ω=2 200 rad/s，進一步研究不對中-碰摩耦合故障下SFD對系統(tǒng)混沌的控制作用。圖9所示為不對中-碰摩耦合故障下轉(zhuǎn)子隨油膜間隙變化分岔圖。由圖可知，當(dāng)油膜間隙c≤4.6×10-5m時，系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌運動；當(dāng)c∈(4.6×10-5, 8.1×10-5] m時，系統(tǒng)表現(xiàn)為三倍周期運動；當(dāng)c>8.1×10-5m時，系統(tǒng)再次進入混沌運動。圖10所示為不考慮SFD和考慮SFD時不同油膜間隙下系統(tǒng)響應(yīng)的Poincaré圖和頻譜圖。由圖10(a)可知，不考慮SFD時系統(tǒng)響應(yīng)的Poincaré表現(xiàn)為兩片無規(guī)則的密集點，頻譜圖表現(xiàn)為不規(guī)則的、波動的、連續(xù)的譜線，系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)?？紤]SFD，油膜間隙為8×10-5m，由圖10(b)可知，系統(tǒng)響應(yīng)Poincaré表現(xiàn)為孤立三點，頻譜圖出現(xiàn)1/3，2/3倍頻，系統(tǒng)處于三倍周期運動。在混沌吸引子內(nèi)，有無數(shù)的不穩(wěn)定周期軌與混沌運動同時存在，通過擠壓油膜阻尼器的作用，有效地抑制了不對中-碰摩耦合故障引起的系統(tǒng)非協(xié)調(diào)響應(yīng)，改變了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程解的拓撲結(jié)構(gòu)，使其向周期解發(fā)展，將由不對中-碰摩耦合故障引起的混沌運動穩(wěn)定在3倍周期軌道上。減小油膜間隙，取c=3×10-5m，由圖10(c)可知，系統(tǒng)響應(yīng)Poincaré表現(xiàn)為一片無規(guī)則的散狀點，頻譜圖表現(xiàn)為不規(guī)則的、波動的、連續(xù)的譜線，系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)。由于在過小的油膜間隙下系統(tǒng)產(chǎn)生了很強的非線性，改變了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程解的拓撲結(jié)構(gòu)，使其向不穩(wěn)定狀態(tài)發(fā)展，重返混沌狀態(tài)。

圖9 不對中-碰摩故障下轉(zhuǎn)子隨油膜間隙變化分岔圖Fig.9 Bifurcation diagram of rotor with oil film gap under misalignment-rubbing impact coupling faults

圖10 不對中-碰摩耦合故障下系統(tǒng)響應(yīng)的Poincaré圖和頻譜圖Fig.10 Poincaré diagram and spectrum diagram of system response under misalignment-rubbing impact coupling faults

圖11所示為在轉(zhuǎn)速ω=1 000 rad/s時，不對中-碰摩耦合故障下，SFD對其中不對中故障引起的特征頻率變化圖。由圖可知，在油膜間隙c≥6×10-5m時，不對中主要表現(xiàn)為2X頻成分。3X，4X，5X頻成分依次減弱。隨著油膜間隙逐漸減小，2X頻幅值不斷減小，且變化明顯，在油膜間隙小于4×10-5m時，其幅值小于4X頻幅值。此外3X頻幅值隨著油膜間隙的逐漸減小其幅值呈現(xiàn)微弱的增加；4X頻幅值先增大后減小，且變化不明顯；而5X頻幅值基本保持不變。桑瀟瀟等[18]利用試驗研究了SFD對不對中故障的影響，所得試驗結(jié)果與本研究仿真結(jié)果相吻合。

圖11 油膜間隙變化對不對中特征頻率的影響Fig.11 Effect of oil film gap on characteristic frequency of misalignment

3 結(jié) 論

1) 對于碰摩故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，SFD能有效抑制碰摩故障產(chǎn)生的非協(xié)調(diào)頻率，改變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程解的拓撲結(jié)構(gòu)，使其向周期解發(fā)展，將由碰摩故障引起的混沌系統(tǒng)穩(wěn)定在3倍周期軌道上。減小油膜間隙，由于SFD的減振作用，使系統(tǒng)振動幅值減小，避免了系統(tǒng)碰摩故障的發(fā)生，從而使系統(tǒng)的運動穩(wěn)定在周期1軌道上。

2) 對于不對中碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，SFD有效抑制了不對中碰摩耦合故障引起的非協(xié)調(diào)響應(yīng)，改變了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程解的拓撲結(jié)構(gòu)，使其向周期解發(fā)展，將由不對中碰摩耦合故障引起的混沌系統(tǒng)穩(wěn)定在3倍周期軌道上。減小油膜間隙，則SFD在過小的油膜間隙下產(chǎn)生很強的非線性，改變了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程解的拓撲結(jié)構(gòu)，使其向不穩(wěn)定狀態(tài)發(fā)展，重返混沌狀態(tài)。

3) 對于不對中-碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中典型不對中特征頻率，隨著油膜間隙的減小，SFD對不對中故障產(chǎn)生的2X，3X，4X和5X頻幅值具有不同的影響。其中：2X頻幅值不斷減小，且變化明顯；3X頻幅值表現(xiàn)出微弱的增加；4X頻幅值先增大后減小，變化不明顯；5X頻基本保持不變。所得結(jié)果與文獻[18]試驗結(jié)果保持一致。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.03.022

*國家自然科學(xué)基金委員會與中國民用航空局聯(lián)合資助項目(U1233201)；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金資助項目(20130032130005)

2015-12-03；

2016-01-15

TH133.3

王俊，男，1989年10月生，碩士生。主要研究方向為轉(zhuǎn)子動力學(xué)。曾發(fā)表《耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的降維及動力學(xué)特性》(《天津大學(xué)學(xué)報》2015年第48卷第4期)等論文。

E-mail: wjun@tju.edu.cn