馬 威， 馬 飛， 周志鴻， 耿曉光

(北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 北京, 100083)

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直動(dòng)式溢流閥的分岔分析與實(shí)驗(yàn)*

馬 威， 馬 飛， 周志鴻， 耿曉光

(北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 北京, 100083)

為了改善廣泛應(yīng)用的直動(dòng)式溢流閥的顫振行為，考慮油液壓縮性、管道彈性和閥芯碰撞閥座時(shí)的能量損失，建立了溢流閥無(wú)量綱形式的數(shù)學(xué)模型。以4種不同的彈簧預(yù)壓縮量，作出了相位和向量場(chǎng)分布圖，得到了系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)。應(yīng)用非光滑動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論和計(jì)算軟件MATLAB，畫出了單參數(shù)和雙參數(shù)分岔圖，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在Hopf分岔、極限環(huán)鞍結(jié)點(diǎn)分岔、廣義Hopf分岔和尖點(diǎn)分岔等分岔現(xiàn)象。搭建了測(cè)試平臺(tái)，得到了閥芯位移分岔圖和頻譜瀑布圖，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明，小流量時(shí)為混沌或周期碰撞震蕩，增大流量可改善閥芯顫振行為，為周期非碰撞震蕩或穩(wěn)定平衡狀態(tài)。此研究工作為直動(dòng)式溢流閥的失穩(wěn)機(jī)理和顫振行為提供了理論依據(jù)。

溢流閥； Hopf分岔； 極限環(huán)鞍結(jié)點(diǎn)分岔； 廣義Hopf分岔； 尖點(diǎn)分岔

引 言

直動(dòng)式溢流閥是液壓系統(tǒng)中不可或缺的壓力控制元件，用來(lái)防止系統(tǒng)壓力過(guò)載，然而因?yàn)閺?fù)雜的流固耦合作用，溢流閥往往會(huì)趨于失穩(wěn)并發(fā)生自激振蕩的現(xiàn)象。溢流閥穩(wěn)定性理論分析研究取得了大量成果。張懷亮等[1]建立了溢流閥的Simulink仿真模型，分析了基礎(chǔ)振動(dòng)及結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)溢流閥動(dòng)態(tài)特性的影響規(guī)律，發(fā)現(xiàn)調(diào)定壓力波動(dòng)幅值隨基礎(chǔ)振動(dòng)的振幅增大而線性增大。劉銀水等[2]針對(duì)海水液壓介質(zhì)的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種直動(dòng)式水壓溢流閥，在仿真分析的基礎(chǔ)上, 得到閥的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)即介質(zhì)、運(yùn)動(dòng)質(zhì)量、阻尼以及管路容積對(duì)閥動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的影響。吳珊等[3]采用現(xiàn)代控制方法獲得了溢流閥的狀態(tài)方程，并結(jié)合工程控制理論獲得傳遞函數(shù)模型，采用Routh穩(wěn)定性判據(jù)對(duì)閥的穩(wěn)定性做出了判定，并進(jìn)行了相對(duì)穩(wěn)定性分析，通過(guò)仿真分析獲得了該閥的動(dòng)態(tài)特性曲線以及上升時(shí)間等動(dòng)態(tài)特性參數(shù)，同時(shí)對(duì)閥在脈動(dòng)流量輸入條件下的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行了仿真。張?zhí)煜龅萚4]應(yīng)用振動(dòng)理論對(duì)液壓沖擊情況下的液壓溢流閥進(jìn)行了振動(dòng)分析，建立了溢流閥的振動(dòng)模型，研究了溢流閥的固有頻率和瞬態(tài)響應(yīng)問(wèn)題，并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。Eyres[5]建立了具有線性彈簧和非線性阻尼的溢流閥的閉環(huán)回路系統(tǒng)，用非光滑數(shù)值延拓法來(lái)跟蹤穩(wěn)定和不穩(wěn)定解，發(fā)現(xiàn)閥芯與閥座的碰撞導(dǎo)致擦邊分岔，另外，用數(shù)值仿真提出了不變環(huán)面的擦邊現(xiàn)象。Izuchi[6]發(fā)現(xiàn)溢流閥的動(dòng)態(tài)失穩(wěn)由閥芯運(yùn)動(dòng)和入口管內(nèi)壓力波交互作用產(chǎn)生，延長(zhǎng)入口管長(zhǎng)度可減小閥芯的震蕩運(yùn)動(dòng)，通過(guò)數(shù)值仿真預(yù)測(cè)了入口管長(zhǎng)度和出口區(qū)面積對(duì)溢流閥穩(wěn)定性的影響。Li[7]建立了三維可壓縮湍流模型，用于獲取流量和溫度場(chǎng)，通過(guò)有限體積法來(lái)解流動(dòng)和傳熱控制方程，結(jié)果表明，隨著閥門開(kāi)度的增大，油液作用于閥芯上的軸向力先是減小然后增大。

得益于計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(computational fluid dynamics，簡(jiǎn)稱CFD)的發(fā)展，一些研究成果采用了先進(jìn)的CFD解算器。陳青等[8]應(yīng)用軟件Fluent,對(duì)三級(jí)同心溢流閥模型的多種工況進(jìn)行了仿真計(jì)算和可視化研究，給出了錐閥閥腔內(nèi)的速度場(chǎng)、壓力場(chǎng)分布圖。Srikanth等[9]對(duì)回路緊急切斷閥進(jìn)行了移動(dòng)網(wǎng)格化的二維流量分析。在溢流閥穩(wěn)定性相關(guān)的實(shí)驗(yàn)研究工作中，楊忠炯等[10]建立了溢流閥在強(qiáng)振動(dòng)環(huán)境下的動(dòng)力學(xué)仿真模型，結(jié)果表明，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)會(huì)衰減振動(dòng)至穩(wěn)定，但當(dāng)干擾幅值超過(guò)臨界值時(shí)，系統(tǒng)會(huì)進(jìn)入極限環(huán)的吸引域，產(chǎn)生周期性振動(dòng)，通過(guò)增加閥口直徑、彈簧剛度和減小閥芯半錐角，可增強(qiáng)溢流閥的抗干擾能力。

針對(duì)以上溢流閥顫振相關(guān)的實(shí)驗(yàn)研究工作的不足，筆者首先分析了液壓回路中溢流閥的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，考慮油液壓縮性、管道彈性和閥芯碰撞閥座時(shí)的能量損失，建立了溢流閥的無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型；然后，分別設(shè)定4種開(kāi)啟壓力，得到不同初值在時(shí)間序列上的閥芯運(yùn)動(dòng)軌跡，應(yīng)用非光滑動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論，畫出單參數(shù)和雙參數(shù)分岔圖，理論分析Hopf分岔、極限環(huán)鞍結(jié)點(diǎn)分岔、廣義Hopf分岔和尖點(diǎn)分岔等分岔現(xiàn)象；最后，通過(guò)動(dòng)態(tài)測(cè)試，對(duì)數(shù)學(xué)模型的正確性和分岔分析的可行性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 數(shù)學(xué)模型

圖1描述了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)[11]。液壓油由動(dòng)力部分提供，包括齒輪泵和附加安全閥用于保護(hù)系統(tǒng)，動(dòng)力部分提供給系統(tǒng)流量Qpump。然而，由于液壓油的壓縮性和管道的彈性，進(jìn)入溢流閥的流量和從泵流出的并不同。為了模擬壓縮效應(yīng)，增加了一個(gè)假設(shè)的腔室，其體積等于系統(tǒng)中的油液體積，這個(gè)腔室代表著系統(tǒng)的剛度。

圖1 液壓系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Schematic diagram of hydraulic system

腔室的質(zhì)量守恒公式如下

(1)

其中：ρ為液壓油密度(一般來(lái)說(shuō)，液壓油的密度隨溫度的升高而略有減小，為了簡(jiǎn)化建模過(guò)程，文中假設(shè)其為常量)；V為系統(tǒng)油液總體積；Qpump為泵出口流量；Qin為進(jìn)入溢流閥的流量[12]。

(2)

(3)

其中：pvalve為溢流閥兩側(cè)的壓差；pin為溢流閥入口壓力；pout為溢流閥出口背壓。

假設(shè)閥芯部分開(kāi)啟，閥芯和閥座之間的通流面積由圖2中的垂直距離h得到

其中：通流直徑d和閥座孔徑D由圖2定義；α為半錐角。

通過(guò)h=xsinα替代，最終得到

(4)

圖2 閥結(jié)構(gòu)Fig.2 Geometry of the valve

根據(jù)圖2中的閥結(jié)構(gòu)，并假設(shè)油液是正壓的，也就是它的密度只取決于壓力，式的左側(cè)可寫成

閥芯的動(dòng)力學(xué)用牛頓第二定律描述，結(jié)合碰撞恢復(fù)系數(shù)r用來(lái)描述碰撞之后的能量損失。系統(tǒng)行為用常微分方程表示如下

(5)

(6)

其中：x和v分別為閥芯的位移和速度；ξ為阻尼系數(shù)；s為彈簧剛度；m為移動(dòng)部分質(zhì)量；x0為彈簧預(yù)壓縮量；A為系統(tǒng)壓力作用于閥芯底部的面積；pvalve為溢流閥兩側(cè)的壓差；E為考慮油液壓縮性和油管彈性之后的系統(tǒng)等效彈性模量；Qpump為泵出口壓力；V為系統(tǒng)全部油液體積；Cd為閥入口處的流量系數(shù)；A(x)為閥芯部分開(kāi)啟時(shí)的有效通流面積；ρ為液壓油密度。

式(4)中表達(dá)的A(x)非常復(fù)雜，將它線性化并寫成A(x) =c1x，其中c1=sinαπD為線性系數(shù)，描述了通流面積和閥芯位移之間的線性關(guān)系。因?yàn)閷?shí)驗(yàn)中閥芯位移極小，可以認(rèn)為線性化非常精確地描述了實(shí)際情況。

式(6)表示一次碰撞，v-為碰撞前的速度，v+為碰撞后的速度，r為碰撞恢復(fù)系數(shù)。

式(4)可寫成無(wú)量綱形式

(7)

(8)

表1為實(shí)驗(yàn)室測(cè)得的溢流閥物理參數(shù)，用于計(jì)算無(wú)量綱參數(shù)，當(dāng)開(kāi)啟壓力popening= 1 MPa，得到κ= 1.23，β= 17.57，δ= 22.67。

表1 溢流閥物理參數(shù)

2 分岔分析

無(wú)量綱流量q是最容易改變的參數(shù)。首先，利用MATLAB軟件畫出以q作為自由參數(shù)的單參數(shù)分岔圖；其次,溢流閥的預(yù)設(shè)壓力也容易改變，無(wú)量綱預(yù)壓縮參數(shù)δ決定著閥的開(kāi)啟壓力，因此通過(guò)同時(shí)改變q和δ得到雙參數(shù)分岔圖，揭示溢流閥的震蕩特性。

2.1 相位和向量場(chǎng)分布圖

改變無(wú)量綱預(yù)壓縮參數(shù)δ的值，即調(diào)節(jié)溢流閥的設(shè)定值，可得到不同初值在時(shí)間序列上的閥芯運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖3所示。

圖3 δ分別為40，30，20和10時(shí)，時(shí)間序列上的閥芯運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.3 Trajectories of valve poppet time history for δ = 40, 30, 20, 10

取不同的初值，不考慮瞬態(tài)的影響，在時(shí)間足夠長(zhǎng)的情況下，由圖4(a)可知，當(dāng)δ= 40時(shí)，閥芯將最終穩(wěn)定在y1= 8.606，或者周期震蕩；由圖4(b)可知，當(dāng)δ= 30時(shí)，閥芯將以兩個(gè)振幅做周期震蕩；由圖4(c)可知，當(dāng)δ= 20時(shí)，閥芯將最終穩(wěn)定在y1= 10.81；由圖4(d)可知，當(dāng)δ= 10時(shí)，閥芯將最終穩(wěn)定在y1= 12.616。

圖4 相位和向量場(chǎng)分布圖 Fig.4 Phase and vector field diagrams

2.2 Hopf分岔

為了畫出分岔圖，以q作為自由參數(shù)，對(duì)于每一個(gè)q值以一系列不同的初始條件運(yùn)行仿真，記錄下瞬變消失后的點(diǎn)。選擇平面y2= 0作為三維相空間的二維Poincare截面。

圖5 δ = 22.67時(shí)單參數(shù)分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram for δ = 22.67

下面理論驗(yàn)證Hopf分岔點(diǎn)。當(dāng)q= 26時(shí)，考察系統(tǒng)(7)的平衡點(diǎn)

(9)

線性化系統(tǒng)得雅克比矩陣為

圖6 復(fù)平面內(nèi)特征值λ1，λ2的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.6 The trajectories of eigenvalues λ1 and λ2 on complex plane

2.3 極限環(huán)鞍結(jié)點(diǎn)分岔

圖7 δ = 40時(shí)的單參數(shù)分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram for δ = 40

圖8 δ = 30時(shí)的單參數(shù)分岔圖Fig.8 Bifurcation diagram for δ = 30

2.4 廣義Hopf分岔

圖9所示為雙參數(shù)分岔圖，H表示Hopf分岔曲線，LPC1和LPC2表示極限環(huán)鞍結(jié)點(diǎn)分岔曲線，CPC表示尖點(diǎn)分岔，GH表示廣義Hopf分岔。LPC1與H相交于GH點(diǎn)，坐標(biāo)為(q，δ) = (28.493,25.262)；LPC1與LPC2相切于CPC點(diǎn)，坐標(biāo)為(q，δ) = (25.065，22.831)。

圖9 雙參數(shù)分岔圖Fig.9 Two-parameter bifurcation diagram

圖10所示為廣義Hopf分岔(GH)示意圖，LPC1與H分岔曲線將參數(shù)平面分為4個(gè)區(qū)域，按逆時(shí)針?lè)较蚺帕蟹謩e為(1),(2),(3),(4)。區(qū)域(1)有1個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)、1個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)和1個(gè)不穩(wěn)定極限環(huán)；區(qū)域(2)有1個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)；區(qū)域(3)和(4)有1個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

圖10 廣義Hopf分岔(GH)示意圖Fig.10 Qualitative diagram for generalized Hopf bifurcation(GH)

2.5 尖點(diǎn)分岔

如圖11所示的尖點(diǎn)分岔(CPC)示意圖，LPC1與LPC2分岔曲線以“楔形”將參數(shù)平面分為兩個(gè)部分。在區(qū)域(1)，“楔形”內(nèi)有3個(gè)平衡點(diǎn)，2個(gè)穩(wěn)定，1個(gè)不穩(wěn)定；在區(qū)域(2)，“楔形”外有1個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

圖11 尖點(diǎn)分岔(CPC)示意圖Fig.11 Qualitative diagram for cusp bifurcation of cycles (CPC)

3 動(dòng)態(tài)測(cè)試

為了驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型的正確性，搭建測(cè)試平臺(tái)如圖12所示。動(dòng)力部分由電機(jī)1和泵2提供，安全閥3用來(lái)防止系統(tǒng)過(guò)載，壓力傳感器5、流量傳感器6和閥芯位移傳感器8輸出信號(hào)進(jìn)入數(shù)據(jù)采集儀9，由計(jì)算機(jī)10顯示和存儲(chǔ)。動(dòng)態(tài)測(cè)試在預(yù)設(shè)壓力popening= 1 MPa(彈簧預(yù)壓縮量x0= 5 mm)下進(jìn)行。從低流量開(kāi)始，通過(guò)比例調(diào)速閥4逐步增大到最大流量(約120 L/min)，記錄30組泵出口流量Qpump情況下的溢流閥入口壓力pin和閥芯位移x。

圖12 測(cè)試平臺(tái)Fig.12 Test platform

圖13 緩慢改變流量的測(cè)試分岔圖Fig.13 Measured bifurcation diagram of the system while slowly varying the flow rate

圖14 頻譜瀑布圖Fig.14 Waterfall diagram for the spectra

圖13為緩慢改變泵出口流量Qpump的測(cè)試分岔圖。圖14為溢流閥閥芯振動(dòng)幅值隨泵出口流量Qpump變化的頻譜瀑布圖。圖15(a)～(d)為4個(gè)典型的閥芯時(shí)間序列上的位移和頻譜圖。

從圖13和圖14可以看出，流量極小時(shí)，閥芯是不穩(wěn)定的，呈現(xiàn)出混沌碰撞震蕩的運(yùn)動(dòng)形式，典型軌跡如圖15(a)所示(Qpump=8 L/min)；增大流量，振蕩幅值和周期逐漸增大，典型軌跡如圖15(b)所示(Qpump=40 L/min)，基頻fm=0.585 4 Hz；流量達(dá)到95 L/min，即擦邊分岔，閥芯離開(kāi)閥座，非碰撞周期振蕩開(kāi)始，典型軌跡如圖15(c)所示(Qpump=100 L/min)，基頻fm=0.396 2 Hz；增大流量，振蕩幅值開(kāi)始減小，在臨界值102 L/min之后，閥芯處于穩(wěn)態(tài)平衡，典型軌跡如圖15(d)所示(Qpump=108 L/min)。

圖15 閥芯時(shí)間序列上的位移和頻譜圖Fig.15 Displacement time histories and spectrum diagram

4 結(jié)束語(yǔ)

1) 建立了溢流閥的數(shù)學(xué)模型，以不同的預(yù)壓縮參數(shù)δ作出系統(tǒng)相位和向量場(chǎng)分布圖，通過(guò)以q作為自由參數(shù)作出單參數(shù)分岔圖，發(fā)現(xiàn)了Hopf分岔，并進(jìn)行了理論驗(yàn)證。

2) 當(dāng)δ= 40和30時(shí)，出現(xiàn)了極限環(huán)鞍結(jié)點(diǎn)分岔現(xiàn)象。同時(shí)改變q和δ得到了雙參數(shù)分岔圖，分析了廣義Hopf分岔和尖點(diǎn)分岔對(duì)參數(shù)平面區(qū)域的劃分。

3) 實(shí)驗(yàn)證明，小流量時(shí)閥芯是不穩(wěn)定的，呈現(xiàn)出混沌的運(yùn)動(dòng)形式。增大流量到20 L/min，系統(tǒng)進(jìn)入周期性碰撞運(yùn)動(dòng)；直到95 L/min，當(dāng)閥芯離開(kāi)閥座，擦邊分岔之后，非碰撞周期振蕩開(kāi)始；102 L/min之后，Hopf分岔出現(xiàn)，閥芯變得穩(wěn)定。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.03.020

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51274021)；"十二五"國(guó)家科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(2013BAB02B07)

2015-09-23；

2016-01-19

TH137.5

馬威，男，1987年5月生，博士生。主要研究方向?yàn)橐簤簜鲃?dòng)與控制。曾發(fā)表《基于AMESim的鑿巖鉆車防卡閥的建模與仿真分析》(《礦山機(jī)械》2014年第42卷第11期)等論文。

E-mail: maweiustb@163.com