魏義敏， 楊世錫， 甘春標(biāo)

(浙江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 杭州，310027)

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變截面桿中縱波傳播特性的實(shí)驗(yàn)研究*

魏義敏， 楊世錫， 甘春標(biāo)

(浙江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 杭州，310027)

以往的理論研究結(jié)果表明，泊松效應(yīng)和剪切變形對(duì)桿件中縱波的傳播特性有著不可忽略的影響，縱波的傳播特性也與桿件兩端橫截面面積比值的大小相關(guān)。為了對(duì)理論進(jìn)行驗(yàn)證，搭建了實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)并進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：桿件材料的泊松效應(yīng)、剪切變形使桿的截止頻率變大；同時(shí)，變截面桿端面面積比值越大，截止頻率越高。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了以往的理論預(yù)測(cè)結(jié)果，幫助獲取真實(shí)的振源振動(dòng)信號(hào)，同時(shí)也為狀態(tài)監(jiān)測(cè)和降噪提供依據(jù)。

縱波； 變截面桿； 泊松比； 剪切變形； 傳播特性

引 言

變截面桿是一種常見(jiàn)部件，振動(dòng)在其中以波的形式進(jìn)行傳播。對(duì)于桿來(lái)說(shuō)，波成分以縱波為主，其他類(lèi)型的波通?？梢院雎訹1]。桿的振動(dòng)問(wèn)題牽涉到結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、力學(xué)及降噪等多方面的內(nèi)容，往往伴隨隨機(jī)性、非均一性及噪聲干擾等問(wèn)題，實(shí)際工作情況復(fù)雜。波在通過(guò)桿等部件后，其成分可能會(huì)發(fā)生變化，在某些情況下，需要知道準(zhǔn)確的振動(dòng)信號(hào)來(lái)進(jìn)行狀態(tài)監(jiān)測(cè)或者降噪。狀態(tài)監(jiān)測(cè)通常采用的是信號(hào)的幅值量等，同時(shí)，相位信號(hào)也可以提供豐富的信息[2-3]。桿等部件的振動(dòng)會(huì)引起噪聲，某些設(shè)備如艦船等對(duì)噪音有一定的要求，可以在噪音的傳播路徑上進(jìn)行控制和抑制[4]。因此，有必要對(duì)變截面桿中縱波的傳播特性進(jìn)行研究。

變截面桿中彈性波傳播特性研究一直受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，Krawczuk等[5]將桿的基本波動(dòng)理論、Love理論以及Mindlin-Herrmann理論等幾種波動(dòng)理論進(jìn)行了分析對(duì)比，并利用波數(shù)對(duì)縱波的傳播特性進(jìn)行了分析。皮鈞等[6]根據(jù)回形變截面桿的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和振動(dòng)傳播特性, 研究了縱波在變幅桿圓盤(pán)中發(fā)生的模態(tài)形式變化，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。楊永軍等[7]對(duì)波在輸電線(xiàn)路中的傳播特性進(jìn)行了分析，得到了彈性波在輸電線(xiàn)傳播的群速度頻散曲線(xiàn)，對(duì)不同的傳播模態(tài)及頻散特性進(jìn)行了討論。張?jiān)僭芠8]對(duì)彈性波在不同介質(zhì)中的傳播特性以及穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。Guo等[9]對(duì)一組非均一桿中波的傳播情形進(jìn)行了研究，并對(duì)波在非均一桿傳播時(shí)的截止頻率進(jìn)行了分析。Gaul等[10]采用基于能量的模型對(duì)桿與桿之間的耦合進(jìn)行了研究，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Benatar等[11]對(duì)波黏彈性材料桿中相速度以及衰減進(jìn)行了分析，并以某桿為例進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Mahata等[12]從實(shí)驗(yàn)的角度采用了不同的基于最小均方根的方法對(duì)黏彈性桿的彈性模量和泊松比進(jìn)行了分析。對(duì)于縱波來(lái)說(shuō)，影響其在變截面桿中傳播的因素不僅包括桿材料的物理特性、桿的幾何參數(shù)，也包括泊松效應(yīng)、剪切變形等。

文獻(xiàn)[13]基于基本波動(dòng)理論、Love波動(dòng)理論以及Mindlin-Herrmann波動(dòng)理論，對(duì)桿材料的泊松比、剪切變形以及截面變化方式、端面面積比進(jìn)行了分析研究，并且利用有限元方法進(jìn)行了仿真分析，發(fā)現(xiàn)泊松效應(yīng)和剪切變形的影響不可忽略，同時(shí)桿兩端橫截面面積比越大，變截面桿的截止頻率越高。筆者在此基礎(chǔ)上，搭建實(shí)驗(yàn)臺(tái)，分析縱波傳播時(shí)的幅值和相位等傳播特征，對(duì)文獻(xiàn)[13]的理論分析和有限元仿真的結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的驗(yàn)證。

1 理論介紹

研究縱波在變截面桿中的傳播特性時(shí)，通常假設(shè)桿內(nèi)所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)均為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。首先，利用基本波動(dòng)理論、Love波動(dòng)理論以及Mindlin-Herrmann波動(dòng)理論，對(duì)桿內(nèi)的點(diǎn)進(jìn)行分析，求出桿的運(yùn)動(dòng)方程；其次，建立桿的傳遞矩陣；然后，對(duì)傳遞矩陣進(jìn)行分析，求解其特征值，分析縱波向前傳播時(shí)的幅值和相位特點(diǎn)；最后，推知縱波在變截面桿中的傳播特性。

1.1 運(yùn)動(dòng)方程的建立

圖1為變截面桿的示意圖，桿的橫截面面積沿著中性軸變化?；静▌?dòng)理論中，假設(shè)桿上所有的點(diǎn)只進(jìn)行縱向運(yùn)動(dòng)，因此只存在縱向位移，并且位于同一垂直于中性軸的橫截面上，所有的元素具有相同的位移。Love波動(dòng)理論認(rèn)為，由于泊松效應(yīng)，桿上的每一個(gè)點(diǎn)除了縱向運(yùn)動(dòng)，還同時(shí)存在一個(gè)徑向速度[5]。

圖1 變截面桿示意圖Fig.1 A schematic of a rod with variable cross-section

(1)

如果令γ=0，則式(1)即為由基本波動(dòng)理論推導(dǎo)得出的運(yùn)動(dòng)方程。

由于泊松效應(yīng)，桿上的任一點(diǎn)不僅存在縱向位移，還具有一個(gè)徑向速度。事實(shí)上，這個(gè)徑向速度還將進(jìn)一步導(dǎo)致每個(gè)點(diǎn)具有獨(dú)立的剪切變形。在Love波動(dòng)理論的基礎(chǔ)上考慮剪切變形即為Mindlin-Herrmann理論[5]。假設(shè)桿上所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則有u(x,t)=U(x)eiωt,ψ(x,t)=Ψ(x)eiωt。其中，ψ(x,t)為剪切變形。由Mindlin-Herrmann理論推導(dǎo)得出的桿的運(yùn)動(dòng)方程[13]為

(2μ+λ)A(x)U(x),xx+(2μ+λ)A(x),xU(x),x+

λA(x),xΨ(x)+λA(x)Ψ(x),x=

-ρA(x)ω2U(x)

(2)

(3)

其中：I(x)=∫A(x)r2dA；μ=E/(2(1+γ))；λ=γE/((1+γ)(1-2γ))。

1.2 傳播特性

上面給出了3種不同波動(dòng)理論下變截面桿的運(yùn)動(dòng)方程，根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程可以對(duì)傳播特性做進(jìn)一步分析。通常，桿上所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以通過(guò)狀態(tài)向量Y=[φuMV]T來(lái)表示，其中：φ，u，M，V為廣義物理量，這些廣義物理量一般是位移、斜度、力和力矩等。如圖1所示，設(shè)縱波從變截面桿的某一位置O開(kāi)始傳播，通過(guò)變截面桿傳播到位置S處，該傳播過(guò)程可以寫(xiě)成

YS=TYO

(4)

其中:T為傳遞矩陣。

傳遞矩陣T的特征值就包含了波的傳播特征信息[14]。設(shè)T的特征值為λi，λi可以寫(xiě)成指數(shù)次冪的形式

(5)

其中：μi為傳播常數(shù)；αi為衰減因子，反應(yīng)了波傳播過(guò)程中的幅值信息；βi為相位角，反應(yīng)了波在傳播時(shí)的相位信息。

如果某頻段內(nèi)波成分相位角為0或者±π，則表示該波成分在向前傳播時(shí)與反射的波相遇并且相互抵消，該波成分不能通過(guò)該介質(zhì)，該頻段稱(chēng)為阻帶；反之，波成分能夠通過(guò)的頻率范圍稱(chēng)為通帶；通帶和阻帶的臨界頻率稱(chēng)為截止頻率，文中用ωc來(lái)表示。

建立傳遞矩陣時(shí)，對(duì)基本波動(dòng)理論和Love波動(dòng)理論來(lái)說(shuō)，通常選取[UU,x]T為傳遞矩陣的基向量，而對(duì)Mindlin-Hermann波動(dòng)理論來(lái)說(shuō)，通常選用[UΨU,xΨ,x]T作為傳遞矩陣的基向量。對(duì)傳遞矩陣T的特征值進(jìn)行求解，就可得知縱波的傳播特性?？梢郧蟪?，由基本波動(dòng)理論推知的縱波的傳遞矩陣的特征值為

(6)

(7)

可以求出，由Love波動(dòng)理論推知的縱波的傳遞矩陣的特征值為

(8)

由式(8)可知，特征值是否存在非0虛部，主要取決于指數(shù)中的根號(hào)項(xiàng)的運(yùn)算結(jié)果。如令(P-K)2-4ρω2LW≥0，則λ1,2只有實(shí)部，虛部為0。對(duì)不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解并且考慮到ω≥0，因此，桿的截止頻率為

(9)

頻率低于ωc的波成分，將不能通過(guò)變截面桿；而頻率高于ωc的波成分則可以通過(guò)。同樣可以得出，變截面桿中縱波傳播時(shí)的阻帶為[0，ωc]。由式(9)可知，截止頻率不僅與桿材料的物理參數(shù)有關(guān)，同時(shí)也與桿兩端面截面積比值的大小相關(guān)，M越大，ωc越大。

可以求出，由Mindlin-Herrmann理論推導(dǎo)的傳遞矩陣的特征值為

(10)

(11)

(12)

同樣可得，變截面桿中縱波傳播時(shí)的阻帶為[0，ωc]。由式(12)可知，桿的截止頻率不僅與桿本身有關(guān)，也與桿兩端面截面積比值的大小相關(guān)。截面面積變化越大，則截止頻率也越大。

3種波動(dòng)理論推導(dǎo)得出的通帶、阻帶以及截止頻率均不相同，需要對(duì)其進(jìn)行分析研究，以確定何種理論更適合用來(lái)分析縱波的傳播特性。

2 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)及可行性分析

2.1 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)計(jì)為兩個(gè)部分：a.驗(yàn)證變截面桿是否存在截止頻率，泊松效應(yīng)和剪切變形是否存在影響；b.驗(yàn)證截止頻率與桿截面面積的變化方式以及桿端面面積比的關(guān)系。選用2根截面面積變化方式不同的變截面鋁桿以及1根等截面鋁桿作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，見(jiàn)圖2。首先，通過(guò)變截面桿與等截面桿的對(duì)比分析，研究變截面桿的截止頻率；然后，通過(guò)不同變截面桿的對(duì)比分析，分析截面變化方式對(duì)傳播特性的影響。2根變截面桿為指數(shù)變截面桿A(x)=A0e0.693 1x/L和多項(xiàng)式變截面桿A(x)=A0(1+2x/L)0.630 9，變截面桿端面的寬度保持不變，高度隨著x的變化而變化。兩變截面桿端面面積A0均為0.02 m(寬)×0.02 m(高)，桿長(zhǎng)度L相同且均為1 m。對(duì)于這兩種變截面情形來(lái)說(shuō)，均滿(mǎn)足A(L)=2A(0)。等截面桿的端面尺寸為0.02 m(寬)×0.028 9 m(高)，其長(zhǎng)度也為1 m，與指數(shù)變截面桿具有相同體積。由機(jī)械手冊(cè)可以查得，鋁的密度為2.7×103kg/m3，彈性模量為72.7×109Pa，泊松比為0.3。

圖2 變截面桿Fig.2 The rods with variable cross-section

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)以隔振臺(tái)為基座，由桿、支撐架、力錘、加速度傳感器、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)以及其他附件組成，如圖3所示。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中，2個(gè)支撐架安裝在隔振臺(tái)上，桿通過(guò)連接在支撐架上的橡皮繩被懸掛在支撐架上。力錘用來(lái)敲擊桿的端面，模擬縱波的產(chǎn)生。加速度傳感器安裝在桿的另一端，可以測(cè)量出桿的縱向加速度。信號(hào)采集系統(tǒng)用來(lái)采集力錘和加速度傳感器的信號(hào)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行本地存儲(chǔ)。實(shí)驗(yàn)時(shí)，力錘敲擊桿的小端，模擬產(chǎn)生入射的縱波，縱波產(chǎn)生后，便沿著桿的方向向前傳播，當(dāng)縱波傳播到大端后，此時(shí)縱波的信號(hào)會(huì)被加速度傳感器所獲取。與此同時(shí)，信號(hào)采集系統(tǒng)從力錘敲擊開(kāi)始，同步采集力錘以及加速度傳感器的信號(hào)，并進(jìn)行本地存儲(chǔ)。在獲取力錘和加速度傳感器的數(shù)據(jù)后，就可以對(duì)其進(jìn)行分析，對(duì)縱波在變截面桿中的傳播特性進(jìn)行研究。

圖3 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)框圖Fig.3 A schematic of the experiment setup

2.2 實(shí)驗(yàn)的可行性分析

進(jìn)行理論分析時(shí)，桿模型邊界條件為雙端自由，且縱波已經(jīng)在桿中向前傳播。因此，實(shí)驗(yàn)中也需要使桿的邊界條件為雙端自由，產(chǎn)生縱波，并且讓其沿桿進(jìn)行傳播。此外，為了對(duì)縱波進(jìn)行分析，還需要數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)對(duì)縱波信號(hào)進(jìn)行精確采集，便于后續(xù)分析。

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中，2個(gè)支撐架被固定在隔震臺(tái)上，支撐架并沒(méi)有和桿直接接觸，而是通過(guò)橡皮繩進(jìn)行彈性連接,如圖4所示。由于橡皮繩具有良好的彈性，且在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，桿的運(yùn)動(dòng)位移小，可以近似認(rèn)為桿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)未受到橡皮繩的影響，桿的自由度保持不變。因此，可以認(rèn)為兩端懸掛的支承方式滿(mǎn)足雙端自由的邊界條件。

圖4 支撐架Fig.4 The support frame

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中選用的力錘自帶傳感器，敲擊時(shí)可以輸出力的大小信號(hào)。力錘配有4種不同材質(zhì)的錘頭，分別是鋼錘頭、鋁錘頭、尼龍錘頭以及橡膠錘頭，每種錘頭敲擊時(shí)產(chǎn)生的信號(hào)頻率范圍均不同。實(shí)驗(yàn)中選取了尼龍錘頭，如圖5所示。尼龍錘頭激發(fā)的信號(hào)頻率，可以覆蓋本研究中通帶、阻帶的頻率范圍，力錘在實(shí)驗(yàn)中用來(lái)敲擊桿的端面，模擬縱波的產(chǎn)生。

圖5 力錘Fig.5 The force hammer

力錘敲擊桿端面后，縱波沿著桿向前傳播，當(dāng)縱波傳播到另一端時(shí)，會(huì)被安裝在端面的加速度傳感器所獲取，實(shí)驗(yàn)中選用的加速度傳感器的量程為0～100g，可以滿(mǎn)足測(cè)量需求，如圖6所示。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)選用了LMS數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，它由數(shù)據(jù)采集器以及采集器上位機(jī)兩部分組成，如圖7所示。該數(shù)據(jù)系統(tǒng)采樣頻率最高可達(dá)204.8 kHz，并且可以對(duì)多個(gè)通道進(jìn)行同步采集及分析，能夠滿(mǎn)足對(duì)縱波的采集和分析要求。

圖6 加速度傳感器Fig.6 The acceleration sensor

圖7 LMS數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)Fig.7 The LMS data acquisition system

通過(guò)以上分析可知，本實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)滿(mǎn)足了理論分析時(shí)的相關(guān)條件，可以用來(lái)研究變截面桿中縱波的傳播特性。

3 實(shí)驗(yàn)與理論分析對(duì)比

3.1 理論分析結(jié)果

第1節(jié)推導(dǎo)出了3種波動(dòng)理論下縱波的傳播常數(shù)以及截止頻率，將第2節(jié)中變截面桿的相關(guān)參數(shù)相應(yīng)地代入式(6)、式(8)、式(10)和式(11)，便可以繪制縱波在變截面桿中的傳播常數(shù)圖。由于指數(shù)變截面方式和指數(shù)變截面桿傳播常數(shù)結(jié)果相同，筆者僅給出了指數(shù)變截面桿的傳播常數(shù)圖，如圖8所示。圖8給出了衰減因子以及相位角和波成分頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從圖中可以看出，相位角從“零”變?yōu)椤胺橇恪钡霓D(zhuǎn)折點(diǎn)和衰減因子的轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)應(yīng)。從截止頻率的定義可知，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率即為截止頻率。相位角為零時(shí)，表示對(duì)應(yīng)的波成分與反射回來(lái)的波成分相遇，相互抵消，無(wú)法通過(guò)桿進(jìn)行傳播。變截面桿具有類(lèi)似“低通濾波器”的特性，處于阻帶頻帶范圍內(nèi)的波成分無(wú)法通過(guò)，這一特性可以加以利用來(lái)對(duì)“噪聲”進(jìn)行抑制，也為狀態(tài)監(jiān)測(cè)提供了依據(jù)。

圖8(a)中由基本波動(dòng)理論推導(dǎo)得出的阻帶為[0,260]，截止頻率為260 Hz；圖8(b)中由Love波動(dòng)理論推導(dǎo)得出的阻帶為[0,280]，其截止頻率為280 Hz；圖8(c)中，由Mindlin-Herrmann理論推導(dǎo)的截止頻率為[0,340]，截止頻率為340 Hz。從阻帶的大小上看，泊松效應(yīng)和剪切變形對(duì)傳播特性的影響不可忽略。

圖8 理論分析得出的傳播常數(shù)圖Fig.8 Propagation constants deduced from the theoretical analysis

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)中，分別對(duì)指數(shù)變截面桿、多項(xiàng)式變截面桿以及等截面桿進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)，并完整記錄了所有實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)。利用力錘進(jìn)行敲擊時(shí)，存在以下兩種情況：a.力度過(guò)大或者過(guò)小，力度過(guò)小，傳感器輸出信號(hào)信噪比低，不利于分析；力度過(guò)大，傳感器會(huì)發(fā)生過(guò)載；b.重復(fù)敲擊，在敲擊時(shí)存在2次或者多次敲擊的現(xiàn)象，力錘的信號(hào)出現(xiàn)2個(gè)或者多個(gè)峰值，對(duì)分析結(jié)果不利。上述情形下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，不能作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析的數(shù)據(jù)。

力錘在每次敲擊時(shí)，敲擊力度可能不一樣，因此，筆者在對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，以力的大小為依據(jù)，選取了5組錘擊力范圍在80～100 N之間的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。分析結(jié)果表明，盡管5組數(shù)據(jù)的時(shí)域信號(hào)不一樣，但是所求得的通帶、阻帶以及截止頻率偏差很小，誤差控制在5%以?xún)?nèi)。現(xiàn)以其中的一組為例進(jìn)行分析說(shuō)明。

圖9為經(jīng)過(guò)歸一化以后力錘的時(shí)域信號(hào)圖以及快速傅里葉變換(fast Fourier transform,簡(jiǎn)稱(chēng)FFT)。由圖可看出，力錘的時(shí)域信號(hào)有效長(zhǎng)度為0.001 s，其能量分布主要集中在頻率范圍[0,2 000]內(nèi)，該范圍包含了桿的截止頻率，可以用來(lái)進(jìn)行傳播特性的研究。

圖9 力錘信號(hào)分析Fig.9 Analysis for the signal of the force hammer

通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，指數(shù)變截面和多項(xiàng)式變截面的桿，所得出的分析結(jié)果一致，以指數(shù)變截面桿為例給出了實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果。實(shí)驗(yàn)中數(shù)據(jù)采集器采集了加速度傳感器以及力錘的信號(hào)值，對(duì)這些響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析，就可以得知縱波的傳播特性。結(jié)合各種時(shí)頻方法的分析特點(diǎn)及實(shí)際效果，筆者采用了短時(shí)傅里葉變換(short time Fourier transform,簡(jiǎn)稱(chēng)STFT)來(lái)進(jìn)行時(shí)頻分析。通常，不能直接對(duì)響應(yīng)完整的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行分析，因?yàn)槠渲邪舜罅康姆瓷洳ǔ煞忠约捌渌母蓴_成分，需要對(duì)時(shí)域響應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕厝13]。在對(duì)信號(hào)進(jìn)行截取時(shí)，信號(hào)長(zhǎng)度如果過(guò)長(zhǎng)，雖然頻率分辨率很高，但縱波可能已經(jīng)發(fā)生多次反射；若長(zhǎng)度過(guò)短，頻率分辨率太低，無(wú)法對(duì)理論的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。因此，此處截取了前0.02 s的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行分析。0.02 s的信號(hào)長(zhǎng)度，對(duì)應(yīng)的頻率分辨率可達(dá)50 Hz，雖然其中仍包含少量的反射成分，但分析發(fā)現(xiàn)反射成分未對(duì)分析結(jié)果造成明顯影響。

圖10 指數(shù)變截面桿和等截面桿實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析Fig.10 Comparison between the experimental results from the rods with exponentially variable cross-section and with uniform one

圖10(a)為截取的指數(shù)變截面桿的響應(yīng)時(shí)域信號(hào)，信號(hào)長(zhǎng)度為0.02 s；圖10(b)為與圖10(a)對(duì)應(yīng)的STFT圖；圖10(c)為截取的等截面桿的響應(yīng)時(shí)域信號(hào)，信號(hào)長(zhǎng)度為0.02 s；圖10(d)為與圖10(c)對(duì)應(yīng)的STFT圖。通過(guò)圖10(b)和(d)的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)變截面桿在頻率范圍[0,360]內(nèi)沒(méi)有能量分布，說(shuō)明沒(méi)有波成分存在，因此可以認(rèn)為，變截面桿確實(shí)存在阻帶、通帶以及截止頻率?？梢钥闯?，該頻率范圍與由Mindlin-Herrman理論推導(dǎo)得出的阻帶吻合，說(shuō)明剪切變形和泊松效應(yīng)對(duì)縱波的傳播有著不可忽略的影響。

此外，等截面桿可以看成一種特殊的端面面積比為1的指數(shù)變截面桿。從理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，其截止頻率為0，而變截面桿A(x)=A0e0.693 1x/L，端面面積比為2，截止頻率為360 Hz。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，桿兩端橫截面面積比越大，截止頻率越大。

4 結(jié) 論

1) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相較于基本波動(dòng)理論和Love理論，由Mindlin-Herrmann理論模型得出的阻帶與實(shí)驗(yàn)最為吻合，因此可以認(rèn)為，剪切變形和泊松效應(yīng)對(duì)縱波的傳播有著不可忽略的影響，同時(shí)也驗(yàn)證了理論分析結(jié)果的正確性。

2) 變截面桿截止頻率與截面面積變化方式無(wú)關(guān)，但與桿兩端橫截面面積的比值有關(guān)，且橫截面面積比值越大，截止頻率越高。這一實(shí)驗(yàn)結(jié)論也與理論預(yù)測(cè)結(jié)果相吻合。

3) 變截面桿具有類(lèi)似“低通濾波器”的特性，這一特性幫助了解真實(shí)的振源振動(dòng)信號(hào)，有利于進(jìn)行狀態(tài)監(jiān)測(cè)以及降噪等。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.03.015

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11172260，11372270，51375434)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20110101110016)；浙江省科技計(jì)劃基金資助項(xiàng)目(2013C31086)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2013XZZX005)

2014-04-16；

2014-06-19

TH113.1

魏義敏，男，1986年6月生，博士生。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械部件中彈性波傳播機(jī)理。曾發(fā)表《Longitudinal wave propagation in a rod with non-uniform cross-section》(《Journal of Sound and Vibration》2014，Vol.333,No.2)等論文。

E-mail：yiminwei@126.com