賈瑞強，潘存治，孫建功

(石家莊鐵道大學(xué) 機械工程學(xué)院,河北 石家莊 050043)

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兩種控制策略在直線二級倒立擺中的仿真應(yīng)用

賈瑞強，潘存治，孫建功

(石家莊鐵道大學(xué) 機械工程學(xué)院,河北 石家莊 050043)

對直線二級倒立擺系統(tǒng)進行穩(wěn)定控制及仿真。研究了系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，創(chuàng)建了數(shù)學(xué)模型,從而獲得系統(tǒng)的線性狀態(tài)空間方程。分析了整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性與能控能觀性。設(shè)計了系統(tǒng)的極點配置與LQR控制器，利用Matlab軟件的Simulink模塊對系統(tǒng)及其受到干擾時實施仿真。由仿真曲線可以總結(jié)出，設(shè)計的極點配置控制器和LQR控制器有滿意的控制效果，使倒立擺直立不倒。極點配置法反應(yīng)迅速，調(diào)節(jié)時間短，但超調(diào)量較大，不易選擇期望極點；LQR最優(yōu)控制法超調(diào)量小，振蕩也小，但整個系統(tǒng)反應(yīng)較遲緩，過渡時間長。

直線二級倒立擺；極點配置；LQR；Simulink仿真

直線二級倒立擺系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定、高階次、多變量的非線性系統(tǒng)[1，2]，對它施加的控制需要微型計算機、控制工程、傳感器等多個領(lǐng)域的相關(guān)知識。隨著控制工程范疇的不斷擴展,許多新的的方案和方法也隨之涌現(xiàn)，主要有最初的經(jīng)典控制理論、繼而呈現(xiàn)的現(xiàn)代控制理論和而今的人工智能控制理論等。而在實踐中，倒立擺真實地反映了諸多自動控制范疇中的主要問題，好比系統(tǒng)的隨動性和魯棒性等，在機器人學(xué)科與先進的高鐵等許多范疇已經(jīng)應(yīng)用到了倒立擺完整系統(tǒng)的相關(guān)知識體系與最新成果。因此，研究整個倒立擺系統(tǒng)的價值相當可觀。

本文主要以直線二級倒立擺為具體的研究目標，憑借極點配置算法和LQR算法的理論基礎(chǔ)，使用Matlab中的Simulink模塊進行仿真，完成倒立擺系統(tǒng)模型創(chuàng)建、控制器設(shè)計與仿真研究，最后對比分析了兩種控制方法。

1 建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

倒立擺自身固然是不穩(wěn)定的系統(tǒng)，當忽視掉空氣阻力和種種摩擦等成分后，便是經(jīng)典的運動的剛體系統(tǒng)。可以應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論的相關(guān)知識體系在慣性坐標系內(nèi)創(chuàng)建系統(tǒng)的動力學(xué)方程。因此整個倒立擺的精確數(shù)學(xué)模型可以用拉格朗日方程來創(chuàng)建。

1.1 結(jié)構(gòu)

直線二級倒立擺主要由能夠在水平軌道上左右運動的小車與能夠在鉛垂平面上左右搖擺的下擺、上擺三部分構(gòu)成，各部件之間是自由鏈接的。整個系統(tǒng)被我們簡單化以便于研究，在創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型時不計空氣阻力和各類摩擦，將擺桿看作剛體，可以獲得結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。

1.2 建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

本文以固高公司GLIP2002系統(tǒng)二級倒立擺為研究對象[3，4]，采用Lagrange方程創(chuàng)建倒立擺的狀態(tài)空間方程，建模過程所用參數(shù)物理意義及數(shù)值見表1。建模過程如下：

拉格朗日方程為：

(1)

其中，L為拉格朗日算子，q為系統(tǒng)的廣義坐標，T為系統(tǒng)的動能，V為系統(tǒng)的勢能。

(2)

其中，i=1，2，3,…,n，為系統(tǒng)在第i個廣義坐標上的外力，在二級倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)的廣義坐標有三個，分別為x,θ1,θ2。

分析整個系統(tǒng)，在平衡位置附近進行泰勒級數(shù)展開并進行線性化，代入數(shù)據(jù)，可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

(3)

若令：

則整個系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

(4)

2 直線二級倒立擺系統(tǒng)分析

整個系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型創(chuàng)建之后，接下來分析所控對象的特征。首先是要分析二級倒立擺的穩(wěn)定性，系統(tǒng)的特征方程為det(λI-A)=0，通過計算上述方程，可求出系統(tǒng)的開環(huán)特征根為：(0 0 -10.043 8 -5.026 3 10.043 8 5.026 3)，系統(tǒng)的極點不完全在復(fù)平面左半平面，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。然后分析系統(tǒng)的能控性，系統(tǒng)的能控性矩陣Sc= [BABA2B…An-1BAnB]是滿秩的，即rank(Sc)=6,因此系統(tǒng)是能控的。最后分析倒立擺系統(tǒng)的可觀性，通過計算求得系統(tǒng)的能觀性矩陣即S0=[CCACA2…CAn-1]T的秩為3，與輸出向量y的維數(shù)相等，所以系統(tǒng)是能觀的。

不過，僅僅把禮看作是對社會生產(chǎn)和分配進行組織的原則和制度的看法，肯定是不完善的。《左傳》昭二十五年材料提出“六志生于六氣”“審則宜類，以制六志”，表明禮的活動不僅要面對人的食色之欲，而且必須處理“欲”所必然引發(fā)的“情”的活動；“情”能否得到恰當?shù)奶幚硎恰岸Y”能否發(fā)揮良好作用的關(guān)鍵所在。如《禮論》云：

3 基于極點配置法的控制器設(shè)計

極點配置法就是設(shè)計狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置在我們期望的位置上，使整個系統(tǒng)滿足各項性能指標。倒立擺系統(tǒng)的相對精準的動力學(xué)模型我們在上面推導(dǎo)中已經(jīng)獲得，接下來針對整個系統(tǒng)應(yīng)用極點配置法的相關(guān)理論體系設(shè)計控制器(見圖2)。

按照本文創(chuàng)建的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型以及對系統(tǒng)的詳細分析，符合極點配置法的相關(guān)要求，可采用極點配置控制算法。選擇使整個閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的期望極點為p=[-9,-8,-9+15j,-9-15j,-2+5j,-2-5j]。在Matlab中求取反饋增益矩陣為：

K=[103.391 5 -11.538 0 -476.189 2 -80.521 9 250.715 5 108.526 1]

(5)

4 基于LQR算法的控制器設(shè)計

在現(xiàn)代控制理論中，線性二次型最優(yōu)控制算法是一種非常重要的、基本的方法[5-7]。線性二次型的各項性能比較容易分析和處理，經(jīng)由LQR算法獲得的系統(tǒng)控制方法，具備相當好的的性能，因而應(yīng)用很普遍。

令：

R=1

在Matlab軟件中求解，可以得到LQR算法中的反饋增益矩陣K：

K=[94.642 2 2.987 5 -154.477 4 -25.148 5 14.142 1 14.1758]

(6)

5 兩種控制策略的Simulink仿真結(jié)果

通過比較仿真曲線能夠得到，無論是極點配置算法還是LQR算法，都可以對倒立擺系統(tǒng)及其在受到干擾時施加有用的控制，達到預(yù)期的目的。圖4和圖6中的曲線均沒有圖5和圖7中的曲線平滑，LQR最優(yōu)控制法比極點配置法超調(diào)量小，整個系統(tǒng)的振蕩也小，然而LQR最優(yōu)控制法的系統(tǒng)反應(yīng)緩慢，過渡時間比較長。極點配置法反應(yīng)迅速，調(diào)節(jié)時間短?；跇O點配置的方法即使可以挑選契合的期望閉環(huán)極點對整個系統(tǒng)施加優(yōu)越的控制作用，可是期望極點最重要的還是靠相關(guān)工程師的豐碩經(jīng)歷確定的，所以極點配置控制算法不如LQR最優(yōu)控制算法方便。

6 結(jié)論

整篇文章以直線二級倒立擺為控制對象，采用Lagrange方程創(chuàng)建了整個系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，基于極點配置算法和LQR算法設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器，并在Matlab軟件的Simulink模塊中對系統(tǒng)及其在受到干擾時實施了仿真，從而完成了對整個系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。由仿真曲線可以知道，文中設(shè)計的兩種控制算法的效果理想，在系統(tǒng)受到干擾時，仍能夠?qū)崿F(xiàn)對直線二級倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制。最后對這兩種控制方法進行了深切的對照：極點配置法反應(yīng)迅速，調(diào)節(jié)時間短，但超調(diào)量較大，不易選擇期望極點；LQR最優(yōu)控制法超調(diào)量小，振蕩也小，但整個系統(tǒng)反應(yīng)較遲緩，過渡時間長。因此，在實際工程應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)需求選擇合適的控制策略。

[1] 趙文龍,陳能祥,杜浩藩,等. 基于LQR的直線二級倒立擺最優(yōu)控制系統(tǒng)研究[J]. 南昌航空大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013(1):66-72.

[2] Mustafa Demirci. Control of a Double-Inverted Pendulum for Nonlinear System[J]. Sel?uk Journal of Applied Mathematics,2007,81.

[3] 固高公司. 倒立擺與自動控制原理實驗[Z]. 倒立擺實驗指導(dǎo)書, 2005.

[4] 姜輝. 二級倒立擺控制方法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué),2010.

[5] 劉文秀,郭偉,余波年. 倒立擺狀態(tài)反饋極點配置與LQR控制Matlab實現(xiàn)[J]. 現(xiàn)代電子技術(shù),2011(10):88-90.

[6] 潘健,王俊,湯才剛. 基于倒立擺的兩種控制策略的研究[J]. 現(xiàn)代電子技術(shù),2008(1):129-130，143.

[7] 趙文龍,陳能祥,杜浩藩，等. 基于LQR的直線二級倒立擺最優(yōu)控制系統(tǒng)研究[J]. 南昌航空大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013(1):66-72.

Simulation and Application of Two Control Strategies in Linear Double Inverted Pendulum

JIA Rui-qiang, PAN Cun-zhi, SUN Jian-gong

(School of Mechanical Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043， Hebei, China)

The linear double inverted pendulum system is controlled and simulated. The physical structure of the system is studied and the mathematical model is established, so the linear state space equation of inverted pendulum system is obtained. The stability and controllability of the system are analyzed. Pole assignment controller and LQR controller are designed. The system and interference are simulated using the Simulink simulation platform of Matlab software. It shows that the design of pole assignment controller and LQR controller has good control effect and the inverted pendulum realizes the upside down. Pole assignment has rapid response and short adjusting time, but the overshoot is large and it’s not easy to select the desired pole. LQR optimal control has small overshoot and small vibration, but the whole system has long transition time and slow reaction.

the linear double inverted pendulum; pole assignment; LQR; Simulink simulation

2016-04-17

賈瑞強(1992-)，男，河北邢臺人，石家莊鐵道大學(xué)機械工程學(xué)院在讀碩士研究生，研究方向為機電系統(tǒng)控制及自動化。

TP13

A

1008-9446(2016)05-0047-05