孟凡敏

尋找填空壓軸題的命制本源

孟凡敏

填空題是數(shù)學(xué)考試的基本題型之一，其特點(diǎn)是短小精干，且不需要過程.近年來，命題者相繼推出一些題意新穎，構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)深度和明確導(dǎo)向的創(chuàng)新題型.對(duì)這些題目進(jìn)行深度挖掘，將有助于我們總結(jié)這一類題的解題經(jīng)驗(yàn)，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，提高分析問題和解決問題的能力.

一、利用特殊定義，考查知識(shí)整合

此類試題主要考查閱讀理解能力，試題往往涉及一些容易混淆的概念和性質(zhì)，要求我們搞清定義的本質(zhì)，用類比的方法將新知識(shí)遷移，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決.

【命制本源】本題創(chuàng)設(shè)了一個(gè)全新的問題情境，約定一種新概念二階行列式，實(shí)質(zhì)是將四個(gè)整式交叉相乘再求差，轉(zhuǎn)化為解方程的問題.解決問題的關(guān)鍵是要善于挖掘其內(nèi)涵和本質(zhì)，真正理解概念.

解：（x+3）2-（x-3）2=12，解得，x=1.

二、開放條件結(jié)論，考查探索創(chuàng)新

該類試題是相對(duì)于給出明確條件或結(jié)論的封閉性問題而言，其特點(diǎn)是條件或結(jié)論不明確，有待于進(jìn)一步探索，進(jìn)而成為開放性問題.這類問題設(shè)計(jì)新穎，解答時(shí)需要綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本的數(shù)學(xué)思想方法.

例2（2015·威海）如圖1，①②③用一種大小相等的正多邊形密鋪成一個(gè)“環(huán)”，我們稱之為環(huán)形密鋪，而④⑤不是我們所說的環(huán)形密鋪.請(qǐng)你再寫出一種可以進(jìn)行環(huán)形密鋪的正多邊形：______.

圖1　

【命制本源】本題考查平面鑲嵌的有關(guān)知識(shí)，判斷中間空白正多邊形的內(nèi)角是所用正多邊形的外角的2倍是解題的關(guān)鍵.題目新穎之處不在于所涉及的知識(shí)本身，而是抓住問題的本質(zhì)，即圖形鑲嵌的條件.

解：正十二邊形的外角是360°÷12=30°，

∵30°×2=60°是正三角形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，

∴正十二邊形可以進(jìn)行環(huán)形密鋪.

三、源于社會(huì)生活，反映時(shí)代主題

低碳排放、保護(hù)環(huán)境、優(yōu)惠政策是當(dāng)今社會(huì)的主旋律，也是考試的熱點(diǎn).

例3（2015·無錫）某商場在“五一”期間舉行促銷活動(dòng)，根據(jù)顧客按商品標(biāo)價(jià)一次性購物總額，規(guī)定相應(yīng)的優(yōu)惠方法：①如果不超過500元，則不予優(yōu)惠；②如果超過500元，但不超過800元，則按購物總額給予8折優(yōu)惠；③如果超過800元，則其中800元給予8折優(yōu)惠，超過800元的部分給予6折優(yōu)惠.促銷期間，小紅和她母親分別看中一件商品，若各自單獨(dú)付款，則應(yīng)分別付款480元和520元；若合并付款，則她們總共只需付款______元.

【命制本源】本題以優(yōu)惠購物這一生活問題為背景，主要考查分類討論思想，不僅考查分析和解決問題的能力，而且能促進(jìn)同學(xué)們關(guān)注國家、人類和社會(huì)生活息息相關(guān)的民生問題.

解：∵480<500<520<800×0.8，

∴母親買的商品一定打折，小紅買的商品可能打折也可能沒打折.

①小紅買的商品打折：（480+520）÷0.8= 1250，

800×0.8+（1250-800）×0.6=910（元）；

②小紅買的商品不打折：480+520÷0.8= 1130，

800×0.8+（1130-800）×0.6=838（元）.

四、探究數(shù)學(xué)規(guī)律，考查數(shù)學(xué)建模

當(dāng)一個(gè)問題涉及相當(dāng)多的情形時(shí)，可以從問題所給條件中的特殊情況出發(fā)，挖掘隱含的一般規(guī)律，從而找到解決問題的關(guān)鍵.它要求同學(xué)們具有較強(qiáng)的觀察能力、歸納探究能力，體現(xiàn)從特殊到一般再到特殊的辯證思維能力.

例4（2015·貴港）如圖2，已知點(diǎn)A1，A2，…，An均在直線y= x-1上，點(diǎn)B1，B2，…，Bn均在雙曲線y=上，并且滿足：A1B1⊥x軸，B1A2⊥y軸，A2B2⊥x軸，B2A3⊥y軸，…，AnBn⊥x軸，BnAn+1⊥y軸，…，記點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為an（n為正整數(shù)）.若a1=-1，則a2015= ______.

圖2　

【命制本源】根據(jù)點(diǎn)在反比例函數(shù)、一次函數(shù)圖像上，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，找出其坐標(biāo)規(guī)律特征.

解：由a1=-1，可得，a2=2，a3=，a4=-1，…，三個(gè)一循環(huán)，

∴a2015=2.

五、提供新穎信息，考查閱讀遷移

這類題型的特點(diǎn)是設(shè)計(jì)一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)情境，這些情境可能是同學(xué)們未曾見過的，也可能是已學(xué)過的某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的延伸或拓寬.它要求同學(xué)們在理解材料的基礎(chǔ)上，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和方法進(jìn)行知識(shí)的遷移.

例5（2015·株洲）“皮克定理”是用來計(jì)算頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的多邊形面積的公式，公式表達(dá)式為S=a+-1，孔明只記得公式中的S表示多邊形的面積，a和b中有一個(gè)表示多邊形邊上（含頂點(diǎn)）的格點(diǎn)個(gè)數(shù)，另一個(gè)表示多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)，但不記得究竟是a還是b表示多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)，請(qǐng)你選擇一些特殊的多邊形（如圖3（1））進(jìn)行驗(yàn)證，得到公式中表示多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)的字母是______，并運(yùn)用這個(gè)公式求得圖3（2）中多邊形的面積是______.

圖3　（1）

圖3?。?）

【命制本源】本題考查了圖形的變化，讀懂題目提供的信息，找到圖形內(nèi)和圖形上格點(diǎn)的數(shù)目是解題的關(guān)鍵.該類試題要求真正讀懂題目提供的信息，會(huì)靈活應(yīng)用提供的信息解決問題.

解：公式中表示多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)的字母是a，圖3（2）中多邊形的面積是S= 15+×7-1=17.5.

六、設(shè)計(jì)多重選擇，考查綜合素質(zhì)

該類試題給出多個(gè)命題，要求答題者從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定理、性質(zhì)、公式等進(jìn)行推理論證，對(duì)每個(gè)備選命題逐個(gè)判斷其真?zhèn)?，填寫全部滿足要求的命題序號(hào)，屬于選擇題中的多選題.由于排除了“唯一性”中的“猜”的成分，所以該類試題對(duì)運(yùn)算、推理、應(yīng)用提出了更高的要求.

例6（2015·烏魯木齊）如圖4，拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=-1，且過點(diǎn)有下列結(jié)論：①abc＞0；②a-2b+4c= 0；③25a-10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a-b≥m（am-b）.其中所有正確的結(jié)論是______.

【命制本源】本題主要考查二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí).熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，同時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的靈活應(yīng)用.這類試題考查容量大，綜合性強(qiáng)，而且要求判斷準(zhǔn)確，所以做題必須謹(jǐn)慎應(yīng)對(duì).

解：①③⑤.

七、加強(qiáng)操作探究，引導(dǎo)方法創(chuàng)新

動(dòng)手操作往往與面積、對(duì)稱性質(zhì)聯(lián)系在一起，常涉及畫圖、測量、猜想證明、歸納等問題.這類試題通過動(dòng)手操作、圖形的旋轉(zhuǎn)、翻折等運(yùn)動(dòng)，不僅注重?cái)?shù)學(xué)實(shí)踐應(yīng)用、動(dòng)手探究的培養(yǎng)，還關(guān)注學(xué)習(xí)過程和思想方法的滲透，讓同學(xué)們在經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程中領(lǐng)悟探究方法.

圖4　

例7（2015·黃石）現(xiàn)有多個(gè)全等直角三角形，先取三個(gè)拼成如圖5（1）所示的形狀，R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC，CD于P，Q，易得BP∶PQ∶QR=3∶1∶2.

圖5?。?）

圖5　（2）

（1）若取四個(gè)直角三角形拼成如圖5（2）所示的形狀，S為EF的中點(diǎn)，BS分別交AC，CD，DE于P，Q，R，則BP∶PQ∶QR∶RS=________.

（2）若取五個(gè)直角三角形拼成如圖5（3）所示的形狀，T為FG的中點(diǎn)，BT分別交AC，CD，DE，EF于P，Q，R，S，則BP∶PQ∶QR∶RS∶ST=________.

【命制本源】本題以圖形剪拼為背景，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)等有關(guān)知識(shí).解決問題的關(guān)鍵是找出圖中的相似三角形，求得相應(yīng)線段之間的比例關(guān)系.

解：（1）4∶1∶3∶2；（2）5∶1∶4∶2∶3.

總之，中考填空壓軸題無論從呈現(xiàn)形式，還是從提出問題的角度都有所創(chuàng)新.在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要認(rèn)真鉆研教材，精心解讀教材，利用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行整合、概括，充分發(fā)揮教材應(yīng)有的功能，挖掘其具有的典型特征，對(duì)每種題型都要廣開思路，不要因?yàn)槭恰靶☆}”而不夠重視，要真正做到“小題大做”，發(fā)現(xiàn)問題真正的本源.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）

圖5?。?）