高靈敏

只有明了，方能探究

高靈敏

每一道中考壓軸題都蘊含多個知識點，這是對綜合能力的一種考查.開放探究問題就開放而言，有條件開放、結(jié)論開放、解題方法開放、編制問題開放等.就探究而言，可歸納為探究條件型、探究結(jié)論型、探究結(jié)論存在與否型及歸納探究型四種.下面我就以一道中考題為例和大家一起探究一下，希望能達到“窺一斑而知全豹”的目的.

（2015·黃岡）如圖1，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點D為邊AB上一點，將△BCD沿直線CD折疊，使點B恰好落在OA邊上的點E處，分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求OE的長；

（2）求經(jīng)過O，D，C三點的拋物線的解析式；

（3）一動點P從點C出發(fā)，沿CB以每秒2個單位長的速度向點B運動，同時動點Q從E點出發(fā)，沿EC以每秒1個單位長的速度向點C運動，當(dāng)點P到達點B時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，DP=DQ；

圖1　

（4）若點N在（2）中的拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使得以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【思路突破】（1）由折疊的性質(zhì)可得CE=CB=5，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE；

（2）設(shè)AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可得D點坐標(biāo)，結(jié)合C、O兩點，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（3）用t表示出CP、BP的長，假設(shè)DP= DQ，則△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；

（4）可設(shè)出N點坐標(biāo)，分三種情況：①EN為對角線，②EM為對角線，③EC為對角線，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求得對角線的交點橫坐標(biāo)，從而可求得M點的橫坐標(biāo)，再代入拋物線解析式可求得M點的坐標(biāo).

解：（1）由折疊可知，CE=CB=5，

∵CO=AB=4，

（2）設(shè)AD=m，由折疊可知DE=BD= 4-m，

∵OE=3，∴AE=5-3=2，

在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+ AE2=DE2，

即m2+22=（4-m）2，解得m=1.5，

∴D（-1.5，-5），

∵C（-4，0），O（0，0），

∴設(shè)過O、D、C三點的拋物線為y=ax（x+ 4），

（3）∵運動時間為t秒，

∴CP=2t，BP=5-2t，

在Rt△DBP和Rt△DEQ中，

∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），

∴BP=EQ，即5-2t=t，

（4）如圖2，

∵拋物線的對稱軸為直線x=-2，

∴設(shè)N（-2，n），又由題意可知C（-4，0），E（0，-3），

設(shè)M（m，y），

①當(dāng)EN為對角線，即四邊形ECNM是平行四邊形時，EN與CM互相平分，

∴線段EN、CM中點的橫坐標(biāo)相等.

又∵M點在拋物線上，

圖2　

圖3　

②當(dāng)EM為對角線，即四邊形ECMN是平行四邊形時，EM與CN互相平分，

∴線段EM、CN的中點橫坐標(biāo)相等.

又∵M點在拋物線上，

③當(dāng)CE為對角線，即四邊形EMCN是平行四邊形時，EC與NM互相平分，

∴線段NM、CE的中點橫坐標(biāo)相等.

綜上可知，存在滿足條件的點M，其坐標(biāo)為（2，16）或（-6，16）或

圖4　

【解后反思】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及勾股定理、待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、中點坐標(biāo)的表示等知識點.在（1）中知道折疊前后的對應(yīng)邊相等，就可利用勾股定理求出OE；在（2）中求得D點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵；在（3）中將DP=DQ作條件，證得全等，得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵，當(dāng)然也可以直接由勾股定理表示出DP2和DQ2，然后建立方程，解出t；在（4）中注意分類討論思想的應(yīng)用.本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中.

中考中探究型問題常見的有以下幾種類型：

類型一：探究條件型

探究條件型是根據(jù)問題提供的殘缺條件添補若干條件，使結(jié)論成立.解決此類問題的一般方法是：根據(jù)結(jié)論成立所需要的條件增補條件，此時要注意已有的條件及由已有的條件推導(dǎo)出的條件，不可重復(fù)條件，也不能遺漏條件.

類型二：探究結(jié)論型

探究結(jié)論型問題是指根據(jù)題目所給的條件經(jīng)過分析、推斷，得出一個與條件相關(guān)的結(jié)論.解決此類問題的關(guān)鍵是需要對已知的條件進行綜合推理，得出新的結(jié)論.

類型三：探究結(jié)論存在與否型

探究結(jié)論存在與否型問題的解法一般先假定存在，以此為條件進行推理，然后得出問題的解或矛盾再加以說明.

類型四：歸納探究型

歸納探究型問題是指給定一些條件和結(jié)論，通過歸納、總結(jié)、概括，由特殊猜測一般的結(jié)論或規(guī)律.解決這類問題的一般方法是由特殊性得到的結(jié)論進行合理猜想，適量驗證.這種類型常出現(xiàn)在找規(guī)律的問題中，一般在考卷中的身份為選擇題的壓軸題.

總之，開放探究題體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的思想方法和探究的過程，可以培養(yǎng)同學(xué)們的思維靈活性和發(fā)散性，能體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成功感，體驗數(shù)學(xué)的美感.因此研究開放探究型問題是十分必要且有意義的.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學(xué)）