☉江蘇省平潮高級(jí)中學(xué)羅春香

想說(shuō)愛(ài)你不容易——一道應(yīng)用題的考試情況分析及教學(xué)反思

☉江蘇省平潮高級(jí)中學(xué)羅春香

一、問(wèn)題的提出

應(yīng)用題教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)不可或缺的重要組成部分，其對(duì)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力，以及提高學(xué)生的閱讀理解、分析問(wèn)題、數(shù)據(jù)處理等方面的能力都起著至關(guān)重要的作用.無(wú)論是江蘇高考還是平時(shí)的模擬測(cè)試，應(yīng)用題都是同學(xué)能否得高分的關(guān)鍵.然而在我們的日常教學(xué)中，應(yīng)用題的教學(xué)卻不免令人擔(dān)憂，學(xué)生對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的解決普遍存在著畏懼心理，應(yīng)用題已成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)“軟肋”.下面從我校近期組織的一次模擬考試的一道應(yīng)用題的得分情況談起：

題目如圖1，已知一個(gè)長(zhǎng)方形展覽大廳長(zhǎng)為20m，寬為16m，展廳入口位于其長(zhǎng)邊的中間位置，在其正中央有一個(gè)圓心為C的圓盤形展臺(tái).現(xiàn)欲在展廳一角B點(diǎn)處安裝一個(gè)監(jiān)控?cái)z像頭對(duì)展臺(tái)與入口進(jìn)行監(jiān)控（如圖中陰影所示），要求B與圓C在同一水平面上.

圖1　

（2）若監(jiān)控?cái)z像頭最大水平攝像視角為60°，求圓盤半徑的最大值.

（注：水平攝像視角指鏡頭中心點(diǎn)水平觀察物體邊緣的視線的夾角）

分析：（1）過(guò)B作圓C的切線BE，切點(diǎn)為E，設(shè)圓C所在平面上入口中點(diǎn)為A，連接CA，CE，CB，則CE⊥BE，CA⊥AB，則攝像水平視角為∠ABE時(shí)，水平攝像視角最小.

（2）當(dāng)∠ABE=60°時(shí)，若直線BE與圓C相切，則圓C的半徑最大.答案是圓C的最大半徑為

本題主要考查學(xué)生利用直線與圓的有關(guān)知識(shí)或者解三角形的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，以及學(xué)生的計(jì)算能力.

二、考試情況調(diào)查分析

我校是江蘇省四星級(jí)普通高中，學(xué)生為全區(qū)的中等偏上生源，學(xué)生基礎(chǔ)較好.

本題滿分為16分，（1）（2）各8分.而本次考試我校第（1）問(wèn)均分為5.4分，第（2）問(wèn)均分為3.2分，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于我們的預(yù)估.帶著種種疑問(wèn)，筆者與相當(dāng)一部分學(xué)生和一些教師進(jìn)行了交流，發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題所在.

三、考試中暴露的問(wèn)題

1.學(xué)生方面存在的問(wèn)題

（1）一些學(xué)生看不懂題目的意思，不知道其考查什么知識(shí).

（2）對(duì)題目中的條件不知如何使用，不會(huì)將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找不到各個(gè)量之間的內(nèi)在關(guān)系，以及問(wèn)題和條件之間的相互聯(lián)系.

（3）在建模的過(guò)程中，抓不住問(wèn)題的重點(diǎn)，找不到解題的關(guān)鍵，不能根據(jù)問(wèn)題需要選擇相關(guān)信息建立數(shù)學(xué)模型，思維處于混亂狀態(tài).

（4）對(duì)建好的數(shù)學(xué)模型，不知道該如何去求解，缺少必要的解題策略，還經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)知識(shí)性和計(jì)算性等方面的錯(cuò)誤.

（5）作為教學(xué)主體和教學(xué)對(duì)象的學(xué)生的心理因素對(duì)應(yīng)用題教學(xué)也存在不小的影響.一方面，由于應(yīng)用題閱讀量大、信息量多、關(guān)系復(fù)雜、語(yǔ)言抽象等因素，對(duì)學(xué)生的閱讀理解、問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象概括、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力都有較高的要求，其中任何一個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)差錯(cuò)都會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題無(wú)法得到圓滿解決，這對(duì)學(xué)生心理是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn).很多學(xué)生對(duì)應(yīng)用題有畏懼恐慌的心理，根本無(wú)法靜下心來(lái)進(jìn)行思考：審題時(shí)心慌意亂，抓不住重點(diǎn)，理不清關(guān)系，解題時(shí)，缺乏自信，常常半途而廢.另一方面，傳統(tǒng)的教學(xué)模式及長(zhǎng)期以來(lái)形成的學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生面對(duì)問(wèn)題時(shí)，懶于思考，沒(méi)有解決問(wèn)題的欲望，對(duì)問(wèn)題解決缺乏動(dòng)力，總是寄希望于教師的講解，對(duì)學(xué)習(xí)存在嚴(yán)重的依賴心理.

2.應(yīng)用題教學(xué)中存在的問(wèn)題

在與部分教師的交流中，筆者發(fā)現(xiàn)，雖然應(yīng)用題教學(xué)的重要性已經(jīng)被大家所認(rèn)可，但應(yīng)用題教學(xué)的現(xiàn)實(shí)卻不容樂(lè)觀，主要表現(xiàn)為：

（1）教學(xué)資源方面的問(wèn)題.對(duì)大多數(shù)教師而言，日常應(yīng)用題教學(xué)的例題習(xí)題基本都來(lái)自于教材，雖然新課程對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了不少的改革，重視了對(duì)應(yīng)用題的教學(xué)，但仍然存在一些不足：首先，教材中對(duì)應(yīng)用題配備的數(shù)量仍然偏少，教學(xué)資源不足；其次，教材中應(yīng)用問(wèn)題的背景相對(duì)簡(jiǎn)單，實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化比較直觀，深度不夠；再者，教材應(yīng)用題背景、內(nèi)容偏于傳統(tǒng)，不夠廣泛.

（2）教學(xué)過(guò)程存在問(wèn)題.傳統(tǒng)的教學(xué)模式對(duì)學(xué)生應(yīng)用能力的發(fā)展產(chǎn)生了嚴(yán)重的制約作用：①重理論知識(shí)，輕實(shí)際應(yīng)用，在課堂教學(xué)中，教師更愿意把時(shí)間和精力投入到數(shù)學(xué)理論的教學(xué)中，對(duì)應(yīng)用題的教學(xué)則往往一帶而過(guò)，省時(shí)省力.②重教師傳授，輕學(xué)生探究，在教學(xué)中，教師對(duì)問(wèn)題的講解往往是全力以赴不遺余力，唯恐自己的講解不夠詳細(xì)不夠到位，學(xué)生則是安安靜靜地坐在教室里，“欣賞”教師的講解，“做好”課堂筆記，缺少對(duì)問(wèn)題解決的參與與探究.③重問(wèn)題解決，輕過(guò)程反思，對(duì)問(wèn)題的解決過(guò)程往往濃墨重彩，而對(duì)問(wèn)題的反思則常常寥寥數(shù)語(yǔ)，教學(xué)僅滿足于低層次上的問(wèn)題解決，缺乏對(duì)問(wèn)題的深思、方法的提煉、規(guī)律的總結(jié)，解題教學(xué)的目的無(wú)法得到體現(xiàn)，導(dǎo)致學(xué)生課堂上聽(tīng)得懂，課后做起題來(lái)仍不得要領(lǐng).

四、對(duì)應(yīng)用題教學(xué)的一些建議

要提高應(yīng)用題教學(xué)質(zhì)量，切實(shí)提高學(xué)生的應(yīng)用能力，筆者認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面著手：

1.豐富應(yīng)用題的教學(xué)

豐富應(yīng)用題教學(xué)首先要豐富教學(xué)資源，應(yīng)用題的取材，除了直接利用教材中已有的應(yīng)用題，也可以對(duì)教材中一些潛在的應(yīng)用素材進(jìn)行改編和加工，還可以從日常生活、社會(huì)生產(chǎn)中收集一些數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，供學(xué)生思考和解決；其次，要豐富教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用題的實(shí)際背景要豐富，要盡可能涉及生產(chǎn)生活、現(xiàn)代科技等各個(gè)方面，考查的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法要豐富，要盡量覆蓋中學(xué)數(shù)學(xué)所要求掌握的內(nèi)容；最后，豐富教學(xué)方式，對(duì)應(yīng)用題的教學(xué)，不但要重視課堂教學(xué)，還應(yīng)該重視社會(huì)實(shí)踐，讓學(xué)生走出課堂，參與社會(huì)，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題，讓?xiě)?yīng)用題教學(xué)延續(xù)到課堂之外.

2.打造生態(tài)的課堂

數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程應(yīng)該是一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生是教學(xué)的對(duì)象，更應(yīng)該是活動(dòng)的主體，教師是知識(shí)的傳授者，更應(yīng)該是活動(dòng)的引領(lǐng)者，對(duì)應(yīng)用題教學(xué)尤其應(yīng)該如此.應(yīng)用題一般要求學(xué)生將一個(gè)用文字語(yǔ)言敘述的實(shí)際問(wèn)題，概括抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決，其中需要經(jīng)歷問(wèn)題閱讀、信息收集、數(shù)據(jù)整理、數(shù)學(xué)建模、問(wèn)題求解等一系列的復(fù)雜的思維過(guò)程，這樣的過(guò)程應(yīng)該讓學(xué)生去親身經(jīng)歷.讓學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、相互交流獲得問(wèn)題的解決，教師為學(xué)生的活動(dòng)搭建平臺(tái)提供幫助.這樣的教學(xué)，不但能培養(yǎng)學(xué)生善于思考、主動(dòng)探索的學(xué)習(xí)習(xí)慣，體驗(yàn)問(wèn)題解決所帶來(lái)的愉悅，克服對(duì)應(yīng)用題的畏懼心理和對(duì)教師的依賴心理，而且能讓學(xué)生的思維在相互交流中不斷完善不斷提升并內(nèi)化為自己的發(fā)現(xiàn)和探索能力，使自己的應(yīng)用能力得到主動(dòng)的發(fā)展.

3.重視數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決

構(gòu)建好數(shù)學(xué)模型之后，對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的解決最終歸結(jié)為對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，而要真正解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用題教學(xué)中還應(yīng)密切關(guān)注以下兩點(diǎn)：

（1）關(guān)注學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握.數(shù)學(xué)模型中經(jīng)常會(huì)涉及函數(shù)、不等式、三角、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、幾何等方面的知識(shí)，對(duì)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)的掌握不牢固，對(duì)公式、法則的運(yùn)用不熟練都有可能使我們的解題陷入困境.因此，我們?cè)诮虒W(xué)中要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，及時(shí)進(jìn)行必要的梳理，為解題掃除知識(shí)障礙.

（2）關(guān)注學(xué)生的梳理能力.學(xué)生對(duì)問(wèn)題能不能進(jìn)行合理的分解，有效的變形，能不能為問(wèn)題設(shè)計(jì)合理運(yùn)算途徑，實(shí)施簡(jiǎn)捷的運(yùn)算，計(jì)算是否正確，會(huì)不會(huì)進(jìn)行必要的估算或近似計(jì)算等直接關(guān)系到問(wèn)題能不能得到圓滿的解決.因此，我們?cè)诮虒W(xué)中要關(guān)注學(xué)生的梳理能力，重視對(duì)學(xué)生運(yùn)算技能的培養(yǎng)，為解題掃除運(yùn)算障礙.

4.讓總結(jié)反思成為能力提升的途徑

解題本身不是教學(xué)的目的，問(wèn)題的解決不應(yīng)該成為教學(xué)的終點(diǎn)，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的反思進(jìn)行規(guī)律的總結(jié)并能進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)用才是教學(xué)的根本，也才能使學(xué)生的數(shù)學(xué)能力得到有效提高.因此，在我們的教學(xué)中，要重視對(duì)問(wèn)題反思的教學(xué)，問(wèn)題解決后，要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的解題過(guò)程進(jìn)行反思（包括對(duì)題意的理解，問(wèn)題解決的思路，推理運(yùn)算過(guò)程，以及問(wèn)題解決中所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法等）.讓學(xué)生通過(guò)反思自己在解題過(guò)程中的經(jīng)驗(yàn)和不足，總結(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)中運(yùn)用到的數(shù)學(xué)思想、建模的方法和問(wèn)題解決的策略等，逐步掌握應(yīng)用題常見(jiàn)的解題思路，形成自己的解題經(jīng)驗(yàn).這樣，學(xué)生對(duì)新問(wèn)題的探求才能變得有序可循，學(xué)生的思維才能更上一個(gè)層次，也才能形成學(xué)生自己的應(yīng)用能力.

當(dāng)然，對(duì)學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)絕非一朝一夕所能完成的，但是，只要我們的教學(xué)能夠遵循科學(xué)的方法，并且能夠有計(jì)劃有步驟地進(jìn)行實(shí)施，那么經(jīng)過(guò)兩三年的厚積，學(xué)生的應(yīng)用能力一定能得到顯著的提高.