☉四川省蒼溪中學(xué)　校李波

多維剖析“探”解法多重境界“究”推廣

☉四川省蒼溪中學(xué)校李波

每一年高考結(jié)束后，總會留下許多經(jīng)典杰作供一線教師研讀與品味.2016年高考數(shù)學(xué)四川卷注重傳統(tǒng)的繼承發(fā)揚(yáng)和創(chuàng)新，在保留四川卷特色的同時(shí)，有意識地向全國卷靠攏，平穩(wěn)過渡的特點(diǎn)相當(dāng)鮮明.“突出考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、主干知識、基本數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)品質(zhì).”；同時(shí)試題也注重文化背景，引用了《數(shù)書九章》中的秦九韶算法；注重實(shí)際應(yīng)用，將數(shù)學(xué)考查與社會生活緊密結(jié)合，如應(yīng)用題的水資源問題.試卷的起點(diǎn)較低，出口較高，梯度比較明顯，試卷的區(qū)分度非常好.

筆者特別關(guān)注了四川卷理科的第8題，不難發(fā)現(xiàn)，該題考查了考生對拋物線的性質(zhì)、參數(shù)方程、三角形的重心公式、向量線性運(yùn)算等知識的綜合運(yùn)用.立足于基礎(chǔ)，注重技能和知識交匯的考查，凸顯高考對能力的要求.本文從多個(gè)視角給出不同解法，并對該問題進(jìn)行多層次的推廣，如有不妥之處，還望同行批評指正.

【題目】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2= 2px（p>0）上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|=2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為（）

【答案】C

視角一、直譯

評析：在處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，最常用的方法是直譯法，即將題干中的已知條件直接代數(shù)化，需要注意的是，該方法“少想多算”，這與近幾年高考題的命題特點(diǎn)是不相符的，因此，在平常教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生還是以“多算少想”為主.

上述解法1中，將x，y分別用x0，y0表示，得到的斜率表達(dá)式為，顯然求該式的最大值直接考慮均值不等式；如果將x0，y0分別用x，y表示，得到的斜率表達(dá)式又是怎樣？求其最值又該用什么方法？

視角二、函數(shù)思想

評析：利用函數(shù)單調(diào)性求最值是處理最值問題常用方法，簡單易于操作，本題中采用代入消元法將目標(biāo)函數(shù)由二元化為一元，從而將問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求最值.解析幾何中求最值常用的方法有：均值不等式、配方法、構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性求最值.

視角三、參數(shù)方程

解法4：設(shè)P（2pt2，2pt），M（x，y）（不妨設(shè)t＞0），則，由題易知解得所以M點(diǎn)坐標(biāo)為），所以直線OM的斜率為當(dāng)且僅當(dāng)，即P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，直線OM的斜率有最大值，故選C.

評析：針對點(diǎn)在圓錐曲線上的最值問題，可以考慮參數(shù)法，將坐標(biāo)中兩個(gè)變量化為一個(gè)變量，方便在求最值時(shí)使用均值不等式、配方、構(gòu)造函數(shù)判斷單調(diào)性.

視角四、平面幾何性質(zhì)

解法5：如圖1，過P、M點(diǎn)分別作x軸垂線交x軸于Q、N兩點(diǎn)，設(shè)P（x0，y0），易知△MFN與△PFQ相似.

圖1　

評析：“以形解題”是解決數(shù)學(xué)問題重要的思想方法，善于利用圖形中的幾何關(guān)系實(shí)現(xiàn)量與量之間的轉(zhuǎn)化，從而簡化計(jì)算過程，提高解題質(zhì)量.

三角形重心是三角形三邊中線的交點(diǎn).性質(zhì)比例為重心到頂點(diǎn)與到對邊中點(diǎn)比為2∶1.本題中P、M、F三點(diǎn)共線，|PM|∶|MF|=2∶1.為此很容易聯(lián)想到點(diǎn)M為三角形的重心.不妨在x軸在取一點(diǎn)Q（p，0），連接線段PQ，此時(shí)點(diǎn)M剛好為三角形△POQ的重心，從而引出解法6.

視角五、三角形重心的性質(zhì)

圖2　

視角六、三角形重心公式

評析：“數(shù)形結(jié)合”的思想是高中階段重要的數(shù)學(xué)思想，不少代數(shù)問題都有其幾何背景.挖掘這些幾何特征，“以形助數(shù)”能讓問題的解決更直觀簡捷，也體現(xiàn)了命題人“多一點(diǎn)想，少一點(diǎn)算”的指導(dǎo)思想.筆者認(rèn)為運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”解決本題是高屋建瓴，撥開云霧的一種徹底理解題意的方法.

視角七、拋物線的定義法

解法8：如圖1，在△OFP中，設(shè)|PF|=m，∠OFP=θ，θ∈（0，π），則|PQ|=msinθ，|FQ|=mcosθ，由|PM|=2|MF|知，|MN|=

即直線OM的斜率有最大值kOM=

圖3　

視角八、向量的線性運(yùn)算

【一般結(jié)論】

推廣1設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是拋物線y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)，F(xiàn)（m，0）（m>0），M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|= 2|MF|，則直線OM斜率的最大值

證明：由題知，設(shè)P（x0，y0），則向量），即M點(diǎn)坐標(biāo)為，由P（x0，y0）在拋物線上知當(dāng)且僅當(dāng)，直線OM的斜率有最大

說明：當(dāng)點(diǎn)M為直角三角形的重心時(shí)，直線OM的斜率有最大值.

推廣2設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是拋物線y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)，T（t，0），F(xiàn)（m，0），M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|= 2|MF|.

（1）若2m-3t≤0，則直線TM斜率無最值；

推廣3設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是拋物線y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)，T（t，0），F(xiàn)（m，0），M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|= λ|MF|.

（1）若mλ-（λ+1）t≤0，則直線TM斜率無最值；

（2）若mλ-（λ+1）t>0，則直線TM斜率的最大值

推廣4設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是拋物線y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)，T（0，t），F(xiàn)（0，m），M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|= λ|MF|.

（1）若mλ-（λ+1）t=0，則直線TM斜率無最值；

（2）若mλ-（λ+1）t>0，則直線TM斜率的最小值

（3）若mλ-（λ+1）t<0，則直線TM斜率的最大值

推廣2、3、4的證明同推廣1，在此就不在論述.

證明：由題知，設(shè)P（x0，y0），則向量，即M點(diǎn)坐標(biāo)為

證明同推論5.

高考題是命題組集體智慧的結(jié)晶，高中一線教師在教學(xué)的過程中，應(yīng)該充分利用高考題素材，潛心研究高考題，對高考題一題多解、多視角探究、變式、延伸，剖析其本質(zhì)、背景.教師要有進(jìn)行教育所需的扎實(shí)而寬厚的基礎(chǔ)知識、專業(yè)知識以及研究能力，只有這樣學(xué)生才能讓跳出題海，一眼看透題、一題串一題，一題變多題.

1.周國溢.一道調(diào)研試題的多視角求解［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（2）.