☉浙江省上虞中學　胡軍波

促進理性思維培養(yǎng)學習習慣——對學生應(yīng)試反思教學的實踐

☉浙江省上虞中學胡軍波

眾所周知，數(shù)學學習是否扎實最終需要通過應(yīng)試來反映，當下數(shù)學教學對于應(yīng)試后學生出現(xiàn)問題的分析往往僅停留在解法之上.我們不乏見到這樣的試卷講評課，教師將試卷中典型錯誤問題一道一道按此進行分析、點評，并對很多問題給出了較為優(yōu)秀的解決方法，然后請學生再訂正試卷.筆者以為，采用這樣陳舊方式進行的“教師講、學生練”，能在短時期內(nèi)加深學生對于方法的記憶，但是對于學生自身而言為何犯錯？如何提高思維的活躍性？如何培養(yǎng)學習習慣卻沒有好處.

從應(yīng)試角度如何提高學生的理性思維？如何培養(yǎng)學生的學習習慣？筆者認為需要從我們的應(yīng)試反思教學出發(fā)，教師首先要改變應(yīng)試后分析問題、解決問題的習慣，要從只講解題方法這種單一的方式轉(zhuǎn)變?yōu)榧确治鰧W生錯因、又講解合理的解決方法，還要從更高的層面上去認知為什么要這樣去解決問題，進而提高對于問題的思維方式，從而培養(yǎng)學習習慣.

恩格斯說過：學習要學會反思，要學會分析自己的不足，從不足中得到的進步遠大于書本得到的新知.這句話充分闡釋了反思對于學習的重要性.筆者以為：應(yīng)試后，學生應(yīng)該首先分析自己的得與失，相比以往進步在何處？不足又暴露了哪些？結(jié)合暴露的問題，繼續(xù)思考進一步要去解決的問題.

一、分析取得的進步

從應(yīng)試中，筆者發(fā)現(xiàn)學生對于課堂板演的問題記憶相對深刻，類似演練過的問題相對熟練，可見對于類似問題的解決取得了一定的效果，這是當下數(shù)學教學需要完成的首要步驟——模仿.筆者咨詢應(yīng)試后學生的反饋，50%的學生認為自己在模仿環(huán)節(jié)處理得非常不錯，35%的學生認為還可以，只有15%左右的學生認為這里需要加強.筆者對于應(yīng)試后學生的試卷問題采用了對比式的問題分析，進而提示課堂教學效率的重要性.

問題1設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，集合A=｛x|f（x）= x｝，且f（x）在區(qū)間［-2，2］上的最大值與最小值分別為M，m.若A=｛1｝，且a≥1，記g（a）=M-m，則g（a）的最小值_____________.

分析：本題求最值的前提條件是找出二次函數(shù)的三個系數(shù)間的關(guān)系.深入挖掘函數(shù)零點的實質(zhì)：“方程f（x）= 0有實根?函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點?函數(shù)y=f（x）有零點”.故二次函數(shù)f（x）-x=a（x-1）2，利用兩個函數(shù)相等對應(yīng)系數(shù)相等即可得到a，b，c的關(guān)系，進而討論函數(shù)f（x）的最值.這樣的問題通過前期課堂教學類似思想的滲透，學生在問題的處理上明顯比前一階段熟練.

課堂類題：已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的零點為x1，x2（x1＜x2），函數(shù)f（x）的最小值為y0，且y0∈［x1，x2），則函數(shù)y=f（f（x））的零點個數(shù)是____________.

分析：函數(shù)y=f（x）有兩個零點x1，x2（x1＜x2），則可利用二次函數(shù)f（x）的零點式將其轉(zhuǎn)化為f（x）=a（x-x1）（x-x2），（a＞0），要求y=f（f（x））=a（f（x）-x1）（f（x）-x2）的零點個數(shù)，實際就是求a（f（x）-x1）（f（x）-x2）=0（a＞0）的根的個數(shù)，因此f（x）=x1或f（x）=x2，結(jié)合條件y0∈［x1，x2），利用數(shù)形結(jié)合我們就能迎刃而解了.

二、分析思考的重要性

很多數(shù)學稍難問題在應(yīng)試中讓學生驚慌不已，使得學生明明可以解決的問題也會因為慌亂而不知所措.筆者在應(yīng)試反思教學中引導(dǎo)學生回顧如何在應(yīng)試中加強思考的重要性.

問題2過軸上一動點A（a，0）引拋物線y=x2+1的兩條切線AP，AQ，其中P，Q為切點，設(shè)切線AP，AQ的斜率分別為k1和k2.

（1）求證：k1k2=-4.

（2）試問：直線PQ是否經(jīng)過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由.

分析：解析幾何的學習對于學生而言有三個不足，要在解析幾何中取得高分，主要有以下幾個方面的思考：其一是思維入手角度的思考，筆者以為解析幾何大多數(shù)問題從各種角度入手是半斤八兩的，而且運算程度也差別不大，但是設(shè)而不求是入手角度必需依仗的；其二是運算能力，運算能力是除了思考之外的必備基本技能，有些方法的思維途徑容易，但是運算要求相對較高；其三是對于問題多解性的反思，對于學生應(yīng)試中出現(xiàn)的不足，既要分析問題失誤的原因，也要分析如何思考優(yōu)秀的解法，給以學生啟發(fā)和引導(dǎo).

思考1：（1）設(shè)過A（a，0）與拋物線y=x2+1的相切的直線的斜率是k，則該切線的方程為y=k（x-a），由得x2-kx+（ka+1）=0，故Δ=k2-4（ka+1）=k2-4ak-4=0，則k1，k2都是方程k2-4ak-4=0的解，故k1k2=-4.

（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），故切線AP的方程是x1x+1，切線AQ的方程是，又由于A點在AP， AQ上，則，所以y1=2x1a+2，y2=2x2a+2，則直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過定點（0，2）.

說明：設(shè)直線方程解決解析幾何問題是常用的解決方式，從學生應(yīng)試反饋來看，學生對于判別式為零表示相切的認知較為清晰，但是對于如何利用“算兩次”想法去抽離出k1·k2，即韋達定理的體現(xiàn)還是顯得不理解，這也正是方程思想的缺失.“算兩次”想法與方程思想的培養(yǎng)，是促進學生問題解決理性思維的較好手段，思考（1）中對切線的處理利用了相關(guān)結(jié)論，并再次利用抽離k1，k2的方程思想解決直線方程進而得到定點.

思考2：（1）如上得：x2-kx+（ka+1）=0，則Δ=k2-4（ka+ 1）=k2-4ak-4=0，于是有，即k1=2a+，故k1k2=-4.直線PQ的方程是y=2ax+2，則直線PQ過定點（0，2）.

說明：思考（2）的方式，是不少學生使用的，但能得到最終答案的學生是少之又少，這說明處理問題最好的方式依舊是直觀，直觀思維最大的困難是運算的復(fù)雜性，這種處理方式恰是學生應(yīng)試中使用最多的，但是設(shè)而不求思想的缺失大大影響了運算的速度和成功率，教學中對于這種方式的反思是如何引導(dǎo)學生處理方法的選擇，通過教學反思引導(dǎo)學生避免對于方程的大量運算是關(guān)鍵.

思考3：（1）設(shè)點P（x1，y1），Q（x2，y2），在這兩點處的切線分別為l1，l2，設(shè)l1：y-y1=k1（x-x1），與拋物線方程聯(lián)立：x2）（x-x1），由（1）易得PQ：y=（x1+x2）x-x1x2+1=2ax+2，所以直線PQ經(jīng)過定點（0，2）.

說明：對于問題（1）與（2）的整合處理是思考3的關(guān)鍵，這種思維方式是著眼大處，整體性的思考，對于學生整體問題思維角度的掌握是一種提升，考慮到筆者任教學情程度相對較好，因此問題處理基本圍繞后半展開，因此這里所涉及的韋達定理介入恰好整合了問題（1）和（2），成為培養(yǎng)理性思維的更高途徑，對于培養(yǎng)學習習慣也是一種歷練.

三、反思失分的原因

反思失分原因是提高學生學習習慣，促進理性思維的較好方式.筆者的建議是對于這樣的問題，分兩步進行，首先請學生重做一遍問題，其次是回憶、厘清應(yīng)試中犯錯的因素，分析錯誤的原因.通過數(shù)次實踐，筆者認為，這種方式對于學生促進理性思維和培養(yǎng)學習習慣更有利于學生反思自身的學習和引導(dǎo)教師糾正教學的不足.

（1）當a=0時，求f（x）的極小值；

（2）若存在x1，x2∈［e，e2］，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求實數(shù)a的取值范圍.

某學生自我剖析：第（1）問由于定義域的問題影響解答的正確性，在第（2）問的求解中，在討論函數(shù)f（x）=的最小值時，需要對非負數(shù)a進行分類討論.而確立分類標準是本題的難點，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負進行不重不漏地分類討論，否則，討論將是不完整的.

教師評析：本題第一小題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，第二小題利用存在命題的形式考查含參數(shù)函數(shù)的最值.第（2）問作為把關(guān)題起到了很好的區(qū)分作用，存在性問題是教學中的一個難點，試題將兩個存在作為問題的出發(fā)點首先就“擊潰”了一部分學生，即“篩選了一遍”，然后的分類討論或參變分離都較為復(fù)雜，解決起來實屬不易.函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題作為壓軸題，其考查核心依舊是利用導(dǎo)數(shù)的工具來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本性質(zhì)，其難點并不體現(xiàn)在求導(dǎo)運算上，而是體現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)作為工具對函數(shù)單調(diào)性的影響上，即分類討論的落點上；從另一個角度來說，此題用參變分離的方法似乎優(yōu)于分類討論，在教學中需要平衡兩種方法的教學.試題充分考查了基本函數(shù)性質(zhì)、“三個二次”的問題等中學核心知識，突出考查了函數(shù)與方程、分類與整合、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學思想，考查了學生的運算能力、思維能力和分析解決問題的能力.

總之，通過應(yīng)試后的反思教學，一方面可以了解到學生的知識、能力的掌握情況，為日后教師改進教學工作、提高教學質(zhì)量提供參考依據(jù)；另一方面可以反映試卷命題質(zhì)量，以便日后修改或篩選考試試題，建立試題庫和實施標準化考試服務(wù).從一個方面來說，這也將促進中學數(shù)學教師的專業(yè)化發(fā)展.對教師來說，做試卷是“外煉筋骨皮”，而做反思分析則是“內(nèi)練一口氣”，因此，做好反思教學的意義十分重大.

1.喬家瑞.高中數(shù)學解題方法與技巧［M］.北京：首都師范大學出版社，2012.

2.李建霞.粵教版高中數(shù)學“本章小結(jié)”有效教學的探究與實驗［J］.數(shù)學通報，2013（7）.