☉江蘇省南菁高級中學江榮芬

以生為本關注細節(jié)激活思維——《指數(shù)函數(shù)及其性質》教學設計

☉江蘇省南菁高級中學江榮芬

一、教材分析

《指數(shù)函數(shù)及其性質》選自于蘇教版高中數(shù)學必修1.本節(jié)是學生在初步掌握了函數(shù)的基本性質和簡單的指數(shù)運算的基礎上，進一步學習指數(shù)函數(shù)，以及指數(shù)函數(shù)的圖像與性質的一節(jié)內容.通過本節(jié)內容的學習，可以對指數(shù)和函數(shù)的概念等知識進一步鞏固和深化；同時，因為指數(shù)函數(shù)是高中新引進的第一個基本初等函數(shù)，所以學好本節(jié)內容不僅可以使學生初步體會到指數(shù)函數(shù)與函數(shù)這種特殊與一般的邏輯關系，還可以為后面的對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等其他初等函數(shù)的學習提供研究的思路和學習的方法；另外，指數(shù)函數(shù)具有廣泛而又深刻的實際背景，因此，指數(shù)函數(shù)對解決呈幾何級數(shù)增長的實際問題起著重要的作用.筆者在教學中，通過引導學生對兩類指數(shù)函數(shù)圖像的繪制，讓學生初步體會到“不完全歸納法”這種探索和發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的數(shù)學方法；通過指數(shù)函數(shù)性質的探究培養(yǎng)學生的觀察能力；通過問題的解決進一步培養(yǎng)學生運用數(shù)形結合的思想解題的能力.另外，教學中讓學生通過經歷幾種特殊指數(shù)函數(shù)圖像的繪制，使他們感受到特殊與一般的關系，從而培養(yǎng)他們探究的興趣和科學的探究方法；讓學生通過體驗指數(shù)函數(shù)性質的探究過程，使他們感悟到數(shù)形結合的魅力，從而感受到成功的快樂和挫折中的堅強，激發(fā)他們的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)探究精神.

本節(jié)課筆者遵循“教師的主導地位和學生的主體地位相統(tǒng)一”的原則，采用引導發(fā)現(xiàn)式的教學方法并充分利用多媒體輔助教學.為了發(fā)揮學生的主觀能動性，提高學生的思維能力，確定了自主探究性學習法.根據(jù)作圖的常規(guī)方法畫出特殊指數(shù)函數(shù)的圖像，類比一般指數(shù)函數(shù)圖像；通過觀察、分析、探索，合作交流并歸納出指數(shù)函數(shù)的性質.

二、教學流程

從指數(shù)函數(shù)的實際背景引入課題——構建指數(shù)函數(shù)的概念——畫指數(shù)函數(shù)的圖像——探索指數(shù)函數(shù)的性質——課堂小結與作業(yè).

（一）創(chuàng)設情境，設疑激趣

問題1：你知道百萬富翁破產的原因嗎？

介紹百萬富翁破產的原因是他碰上了“指數(shù)爆炸”.一種事物如果成倍成倍地增大（如2×2×2…），它就是以指數(shù)形式增大，可以用y=2x，x∈N*來表示.

問題2：《莊子·天下篇》中寫到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”請寫出取x次后，木棰的剩留量y與x的函數(shù)關系式.

設計意圖：通過故事和名句的引入，讓學生感受到我們生活中存在這樣的指數(shù)函數(shù)模型，便于學生接受指數(shù)函數(shù)的形式，讓學生在問題的情景中發(fā)現(xiàn)問題，遇到挑戰(zhàn)，激發(fā)斗志，又引導學生在簡單的具體問題中抽象出共性，從而引入兩種常見的指數(shù)函數(shù)：①a>1，②0

（二）構建函數(shù)，形成概念

師：1.給出指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=ax（a>0，a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，它的定義域是R.

2.提出問題：為什么要規(guī)定a>0，a≠1？

先讓學生分析，互相補充，師生共同總結：根據(jù)指數(shù)運算法則，a為負數(shù)或0時，ax可能會沒有意義，例如，當a< 0時，取a=-2，則時無意義；當a=0時，則x=無意義；當a=1時，函數(shù)值恒等于1，這時，研究的意義不大.

3.判斷下列函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)：

（1）y=3x；（2）y=-2x；（3）y=（-2）x；（4）y=πx；（5）y=2x+2；（6）y=（a-1）x.

設計意圖：概念辨析是理解和掌握概念的重要一環(huán)，對教材進行補充是創(chuàng)造性使用教材的一種方式.及時補充了判斷練習，讓學生通過對這些函數(shù)的判斷，進一步深化學生對指數(shù)函數(shù)概念的理解，指數(shù)函數(shù)的概念與一次、二次函數(shù)的概念一樣都是形式定義，也就是說必須在形式上一模一樣，即在指數(shù)函數(shù)的表達式y(tǒng)=ax（a> 0，a≠1）中：（1）ax前面的系數(shù)為1，（2）自變量x在指數(shù)位置，（3）a>0且a≠1.對“a>0，a≠1”這個數(shù)學規(guī)定的處理，教師通過和學生一起分析，得出為了使自變量可以取全體實數(shù)，我們規(guī)定：指數(shù)函數(shù)中底數(shù)大于0且不等于1.盡管這樣解釋可能不是很嚴格，但學生至少知道了這樣規(guī)定是有其道理的.如果理解了指數(shù)函數(shù)，作為其反函數(shù)的對數(shù)函數(shù)中規(guī)定底數(shù)大于0且不等于1就不難理解了.在數(shù)學中，有許多的“數(shù)學規(guī)定”，有些數(shù)學規(guī)定是為了運算律在新的數(shù)系中仍然能夠保持；一些規(guī)定是為了研究的方便、有意義；還有一些規(guī)定是為了整個數(shù)學系統(tǒng)的和諧.所以在教學時可以讓學生思考比較，如果不這樣規(guī)定，會出現(xiàn)什么情形，進而在比較的基礎上體會規(guī)定的合理性和必要性，這樣學生就會更容易理解并從內心接受這樣的規(guī)定，從而解除認識上的困惑和障礙.

（三）類比舊知，探究方法

師：你能類比前面討論函數(shù)性質時的思路，提出研究指數(shù)函數(shù)性質的內容和方法嗎？

注重學生思維習慣的養(yǎng)成，即應從哪些方面，哪些角度去探索一個具體函數(shù).

引導學生獨立思考，提出研究函數(shù)性質的基本思路.

生：（經過思考得到研究內容）定義域、值域、單調性、奇偶性、其他.

研究方法：畫出函數(shù)圖像，結合圖像研究函數(shù)性質.函數(shù)圖像是研究函數(shù)性質的直觀工具.

設計意圖：注重學生思維習慣的養(yǎng)成，即應從哪些方面，哪些角度去探索一個具體函數(shù).

①引導學生獨立思考，提出研究函數(shù)性質的基本思路；

②突出數(shù)形結合，強調函數(shù)圖像在研究函數(shù)性質中的作用.

（四）合作交流，動手畫圖

追問：從作出的圖像中你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=2x的圖像與函數(shù)的圖像有什么關系？可否利用y=2x的圖像畫出的圖像？

設計意圖：從抽象到具體，作特殊函數(shù)的圖像，復習描點法畫圖，體驗合作交流.

1.會用描點法畫函數(shù)圖像，提高學生動手能力.

2.可展示部分學生的圖像，使學生體驗動手的樂趣.

3.結合兩個指數(shù)函數(shù)圖像關于y軸對稱時其解析式的特點，并利用軸對稱畫圖像.

（五）類比一般，科學結論

教師運用幾何畫板動態(tài)演示出指數(shù)函數(shù)圖像，并觀察底數(shù)對圖像特征的影響.

設計意圖：再從具體到抽象引導學生通過選取不同的底數(shù)a（a>0且a≠1）畫出y=ax的圖像，并通過幾何畫板的動態(tài)演示給予學生更加直觀的體驗，從而得出科學結論.在此環(huán)節(jié)中，學生對具體的函數(shù)進行觀察歸納，通過合作交流，加之多媒體的動態(tài)演示，將具體化為抽象，并感受了對底數(shù)的分類討論的思維方式，從而達到了重點的突破.

（六）觀察圖像，歸納性質

由y=ax（a>1）與y=ax（0

設計意圖：引導學生觀察圖像，概括性質，利用圖像獲取性質，利用圖像便于發(fā)現(xiàn)，概括，記憶.

（七）掌握性質，學以致用

例1比較下列各題中兩個值的大?。?/p>

（1）1.72.5，1.73；（2）0.8-0.1，0.8-0.2；（3）1.50.3，0.81.2.

問題1：第（3）小題和（1）、（2）兩小題有什么不同？

引導學生觀察發(fā)現(xiàn)，底數(shù)不同，而且指數(shù)也不同.

問題2：能不能借助指數(shù)函數(shù)的單調性比較大??？

結論：不能，因為底數(shù)不同，不能構造同一個指數(shù)函數(shù).

問題3：能否借助指數(shù)函數(shù)的其他性質比較大?。?/p>

引導學生重新審視性質后發(fā)現(xiàn)：指數(shù)函數(shù)的圖像過定點（0，1），即a0=1=1.50=0.80，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性，1.50.3>1.50=1，0.81.2<0.80=1，進而比較大小.

問題4：能否總結第（3）小題的方法？

結論：尋找“中間量”，通過中間量過渡，如“0”、“1”等.

問題5：追根求源，性質由圖像得來，能否通過作圖比較大小呢？

引導學生得出：1.50.3可以看成當x=0.3時y=1.5x的函數(shù)值，0.81.2可以看成當x=1.2時y=0.8x的函數(shù)值，在同一坐標系中作出函數(shù)y=1.5x和y=0.8x的圖像，借助圖像，發(fā)現(xiàn)一個在直線y=1的上方，一個在直線y=1的下方，故1.50.3> 0.81.2.實質是構造兩個函數(shù)比較大小.

練習：1.比較下列各題中兩個數(shù)的大小：

（1）1.012.7，1.013.5；（2）0.993.3，0.994.5.

2.已知下列不等式，比較下列m，n的大?。?/p>

（1）aman（a>1）.

設計意圖：幾個問題的設計環(huán)環(huán)相扣，問題3的設計引導學生回頭看，除了單調性還有哪些性質，激發(fā)學生思考，在教師的啟發(fā)下，利用指數(shù)函數(shù)的圖像過定點（0，1）這個性質解決了問題，進一步促進學生理解掌握性質，并能靈活應用.通過問題4及時總結方法，到此本應結束，可又通過問題5調動學生的積極性，帶領學生乘勝追擊，擴大戰(zhàn)果，找到問題的本質和根源.通過這一系列問題的探究，學生的思維被最大程度的地激活，學生對性質的理解深入透徹，極大地提高了學生靈活運用圖像和性質的能力.練習的目的的是鞏固新知，深化對函數(shù)單調性的理解.

（八）歸納小結，深化目標

引導學生一起總結：1.兩個知識點：指數(shù)函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)圖像和性質；

2.兩個基本圖像；

3.三個數(shù)學思想和兩個數(shù)學方法.

設計意圖：引導學生歸納反思研究函數(shù)的內容，方法，授人以漁，深化數(shù)學思想.思想：函數(shù)思想，分類討論的思想，數(shù)形結合的思想.方法：特殊到一般，不完全歸納.

這堂課的設計，筆者本著以學生為本的教育理念，避免填鴨式教學，試圖把課堂交給學生，讓學生真正地做課堂的主人.并且我多次設想我站在學生的角度，如何能夠更好地學到本堂課的知識并且使學生的能力真正有所提高，從而反復優(yōu)化.本節(jié)課的設計在實際教學中取得了很好的效果.我不禁想，要是每一節(jié)課，老師們都站在學生的角度，精心地設計，那我們的課堂一定會更加精彩紛呈.

三、幾點思考

（一）以生為本

“以學生為本”是新課程的一個重要理念.學生是學習的主人，是課堂上主動求知和探索的主體.要提高教學的有效性，就必須從學生的實際出發(fā)，從關注學生做起，根據(jù)學生的實際情況設計教學方案，組織教學活動.本課例情境引入環(huán)節(jié)中放棄了課本給出的與學生的認知仍存在一定距離的兩個例子：細胞分裂和放射性物質衰變，而是選擇了符合學生“最近發(fā)展區(qū)”的問題情境；在研究指數(shù)函數(shù)圖像和性質環(huán)節(jié)，讓學生動手畫，讓學生討論，讓學生發(fā)現(xiàn)，讓學生找規(guī)律，讓學生總結，老師不包辦代替.

（二）關注細節(jié)

“天下大事必做于細，天下難事必做于易”.教學細節(jié)是發(fā)生在課堂教學過程中的充滿思辯與靈性的課堂場景.細節(jié)雖小，但在促進學生發(fā)展中的意義與價值卻不可小覷.關注教學細節(jié)，其實質是精致教學流程，突出教學重點，提高教學效益，綻放個性和魅力.細節(jié)決定成敗，精彩的教學細節(jié)不僅可以使教學過程充滿智慧和創(chuàng)造，甚至會給我們帶來意外的驚喜和收獲.教師在教學活動中，應該時刻關注細節(jié)問題.本課例中，在概念理解環(huán)節(jié)中，教師沒有“回避”規(guī)定“a>0且a≠1”這個細節(jié)，幫助學生消除認識上的困惑和障礙；在研究指數(shù)函數(shù)圖像和性質環(huán)節(jié)，先讓學生自主作圖，再利用幾何畫板演示，要比純粹用幾何畫板演示效果好，因為可以讓學生復習作圖的步驟：列表，描點，連線.

（三）激活思維

數(shù)學離不開思維，缺乏思維的學習活動，實際上是無效或低效的教學.因此，在概念教學中，教師應在認真研讀教材的基礎上，挖掘概念的本質，關注思維的參與度，使概念教學能真正達到發(fā)展學生思維之目的.問題是思維的起點，課堂上精心設置一系列問題，這些問題決定著教學的方向和順序，問題之間自然連接，引發(fā)學生積極思考.本課例的數(shù)學應用環(huán)節(jié)中，教師設置了五個問題，教師啟發(fā)鋪墊，學生思維活動深層參與，突破了難點，提高了教學活動的有效性.