胡靖程鯤黃備兵*

（1.鹽城工學(xué)院 電氣工程學(xué)院，江蘇鹽城 224051；2.鹽城工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇鹽城 224051）

半狄拉克費(fèi)米子勢(shì)壘透射系數(shù)的計(jì)算

胡靖1程鯤2黃備兵2*

（1.鹽城工學(xué)院 電氣工程學(xué)院，江蘇鹽城 224051；2.鹽城工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇鹽城 224051）

通過求解半狄拉克費(fèi)米子勢(shì)壘問題的定態(tài)薛定諤方程，得到了半狄拉克費(fèi)米子的透射系數(shù)與其入射到勢(shì)壘方向之間的關(guān)系。本文分別計(jì)算了勢(shì)壘在 x和 y方向上半狄拉克費(fèi)米子的透射系數(shù)。這些結(jié)果表明半狄拉克費(fèi)米子可以同時(shí)展現(xiàn)單層和雙層石墨烯的勢(shì)壘透射行為，為研究半狄拉克費(fèi)米子的輸運(yùn)行為提供了有價(jià)值的理論參考。

半狄拉克費(fèi)米子 勢(shì)壘 透射系數(shù)

在經(jīng)典物理中，粒子的運(yùn)動(dòng)行為完全由牛頓力學(xué)確定。當(dāng)一個(gè)能量為 E的粒子遇到一個(gè)高度為 U0的勢(shì)壘時(shí)，如果 E ＞ U0，粒子將完全通過勢(shì)壘，相反粒子將會(huì)完全反射。而在非相對(duì)論性量子力學(xué)中，粒子的行為由薛定諤方程來描寫。無論 E與 U0的大小關(guān)系如何，粒子總有一定的幾率從勢(shì)壘反射，同時(shí)也有一定的幾率從勢(shì)壘透射，展現(xiàn)出完全不同于經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果。

對(duì)于同樣的勢(shì)壘，粒子展現(xiàn)出完全不同的透射行為的主要原因是粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律由不同類型的方程來刻畫。在晶態(tài)固體材料中，晶格的存在可以有效地改變電子的運(yùn)動(dòng)特征。一個(gè)典型的例子就是兩維石墨烯材料［1］。 在兩維石墨烯材料中，電子的導(dǎo)帶與價(jià)帶在布里淵區(qū)中兩個(gè)孤立點(diǎn)是簡并的。在這兩點(diǎn)附近，電子的能量動(dòng)量關(guān)系是線性的，可以用無質(zhì)量的滿足狹義相對(duì)性原理的兩維狄拉克方程來描寫，因此這樣的孤立點(diǎn)稱為狄拉克點(diǎn)。對(duì)于狄拉克點(diǎn)附近的電子，理論計(jì)算表明依賴于電子入射到勢(shì)壘的方向，電子的透射幾率呈現(xiàn)復(fù)雜的變化。重要的是，對(duì)于某些特殊的入射方向，比如垂直入射的情形，電子可以完全透射，形成共振透射的現(xiàn)象［2］。

在兩維石墨烯材料中，碳原子形成周期性的蜂房晶格。理論表明，通過破壞蜂房晶格各向同性的性質(zhì)，布里淵區(qū)中的兩個(gè)狄拉克點(diǎn)可以重疊在一起變成一個(gè)半狄拉克點(diǎn)［3］。在半狄拉克點(diǎn)附近，電子的能量動(dòng)量關(guān)系在一個(gè)方向上是線性的，而在另一個(gè)方向上是二次的。第一性原理計(jì)算表明半狄拉克點(diǎn)可以在VO2/TiO2異質(zhì)結(jié)中存在［4，5，6］。在這篇文章中，考慮到半狄拉克點(diǎn)不同尋常的能量動(dòng)量關(guān)系，我們研究半狄拉克點(diǎn)附近電子的勢(shì)壘散射問題。我們稱半狄拉克點(diǎn)附近的電子為半狄拉克費(fèi)米子。

1 模型

描寫處于外勢(shì)場(chǎng) U（x，y）中半狄拉克費(fèi)米子的哈密頓可以寫成

在這兒 H0描寫自由的半狄拉克費(fèi)米子。是半狄拉克費(fèi)米子的動(dòng)量算符， α，β是兩個(gè)常數(shù)參數(shù)， σx，σy是兩個(gè)泡利矩陣

可以發(fā)現(xiàn)自由的半狄拉克費(fèi)米子的哈密頓 H0對(duì)于 x方向上的動(dòng)量 px是一次的，而對(duì) y方向上的動(dòng)量 py是二次的。這種不同的依賴關(guān)系勢(shì)必影響半狄拉克費(fèi)米子在不同方向上穿透勢(shì)壘的行為。我們將分別考慮勢(shì)壘在 x和 y方向上兩種情況，計(jì)算半狄拉克費(fèi)米子從不同方向入射到勢(shì)壘的透射系數(shù)。

2 x方向上的勢(shì)壘

假設(shè) x方向上勢(shì)壘的表達(dá)式是

a，U0是勢(shì)壘的寬度和高度。為了后面敘述的方便，我們把x＜ 0的區(qū)域記為1區(qū)， 0 ＜ x ＜ a的區(qū)域記為2區(qū)， x ＞ a的區(qū)域記為3區(qū)，并且假設(shè)粒子都是從1 區(qū)入射到勢(shì)壘上的。 由于勢(shì)壘函數(shù)是分段光滑連續(xù)且與時(shí)間無關(guān)，定態(tài)薛定諤方程為

Ψ1，2，3（x，y）分別表示1、2、3區(qū)中粒子的波函數(shù)。注意到勢(shì)壘（3）與坐標(biāo) y無關(guān)， y方向上的動(dòng)量是一個(gè)好量子數(shù)，波函數(shù)應(yīng)具有如下形式

? ky是 y方向上動(dòng)量算符 py的本征值。將（5）帶入薛定諤方程（4）得到

首先考慮勢(shì)壘區(qū)域（0 ＜ x ＜ a）中解的形式。在勢(shì)壘區(qū)域嘗試平面波形式的解

可以得到

上述方程有非零解意味著

更進(jìn)一步，我們可以獲得相應(yīng)的本征矢量

s '= sign（E - U0）。在這里我們不僅強(qiáng)加了波函數(shù)的歸一化條件并且選擇了波函數(shù)的相位使得 c為實(shí)數(shù)。1

在量子力學(xué)中，勢(shì)壘問題相當(dāng)于一個(gè)散射問題。在研究散射問題時(shí)，粒子的能量 E是一個(gè)已知量，同時(shí) y方向上的動(dòng)量 ?ky也可以看成是已知量。因此為了使方程（9）成立， kx只可能取值

為了突出半狄拉克費(fèi)米子能夠以很高的幾率透過高勢(shì)壘這樣一個(gè)事實(shí)，我們假設(shè)這意味著是實(shí)數(shù)。定義則在勢(shì)壘區(qū)域定態(tài)薛定諤方程的通解為

a1，a2是待定系數(shù)。

上面的結(jié)果可以通過令 U0= 0直接推廣到1和3區(qū)。定義則

r，t是待定系數(shù)，它們的模平方分別代表反射系數(shù)和透射系數(shù)， s = sign（E）。注意到在寫3區(qū)的波函數(shù)時(shí)，我們已經(jīng)丟掉了沿 x軸負(fù)方向傳播的波。當(dāng)我們假設(shè)粒子從軸負(fù)方向入射到勢(shì)壘時(shí)，物理上這一項(xiàng)是不存在的。

從波函數(shù)的連續(xù)性條件，可以得到

這四個(gè)方程的求解給出

從這個(gè)結(jié)果，我們也可以得到同樣的半狄拉克費(fèi)米子共振透射的條件。

3 y方向上的勢(shì)壘

在 y方向上勢(shì)壘的表達(dá)式是

類似于 x方向上勢(shì)壘的問題，求解過程是完全一致的，但有兩個(gè)細(xì)微的差別。第一個(gè)不同的地方在于此時(shí)沿著 x方向上的動(dòng)量?kx是已知量，第二個(gè)不同的地方是對(duì)于固定的能量 E ，kx，滿足方程（9）的 ky有四個(gè)可能的值。定義則在2區(qū)， ky可取四個(gè)值；對(duì)于1和3區(qū)， ky可取四個(gè)值。由于同樣的原因在這里我們也假設(shè)定義

則在不同區(qū)域波函數(shù)的通解為

a1，2，3，4，b1，2，r，t是待定系數(shù)，代表反射系數(shù)和透射系數(shù)。利用波函數(shù)以及波函數(shù)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)條件，可以求得透射系數(shù)及其他待定參數(shù)。在這里解析解的推導(dǎo)是非常困難的，我們利用數(shù)值方法求解這個(gè)問題。

4 結(jié)果和討論

先說明一下無量綱化的方法。我們選擇一個(gè)任意的長度 L以及?α /L 分別作為長度單位和能量單位， 因而=EL /（?α）0=U0L /（?α），=?β /（Lα）x=kxL，k～y=kyL，a～ =a /L均是無量綱的量。長度可以選取為實(shí)現(xiàn)半狄拉克費(fèi)米子的凝聚態(tài)材料的晶格常數(shù)。

定義φ 為半狄拉克費(fèi)米子入射動(dòng)量與 x軸之間的夾角，圖1、圖2分別展示了對(duì)于一些不同參數(shù)，當(dāng)勢(shì)壘在 x和 y方向上半狄拉克費(fèi)米子的透射系數(shù)與入射角φ 之間的關(guān)系。在圖1中通過將哈密頓（1）中變量 β py→ α，我們也計(jì)算了狄拉克費(fèi)米子的結(jié)果（圖1中的虛點(diǎn)線）。相比之下可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于我們的模型（1），當(dāng)勢(shì)壘在 x方向上時(shí)，除了透射共振的位置不同外，狄拉克費(fèi)米子與半狄拉克費(fèi)米子的透射行為是定性類似的。一個(gè)值得提到的地方是在入射角 φ≈0附近，半狄拉克費(fèi)米子具有更好的透射行為。這是因?yàn)楫?dāng) φ≈ 0時(shí)動(dòng)量變化更慢，從而以及透射系數(shù)的改變也更慢。對(duì)這個(gè)解釋另一有力的證明是當(dāng)我們固定改變時(shí)，隨著增大，在入射角 φ≈ 0附近半狄拉克費(fèi)米子的透射行為逐漸減弱，正如圖1中余下三條線展示的。當(dāng)勢(shì)壘沿著方向（看圖2），我們?nèi)匀豢梢杂^察到透射共振的現(xiàn)象。此時(shí)與勢(shì)壘在 x方向上一個(gè)顯著的不同是當(dāng)粒子沿著勢(shì)壘方向入射（φ ≈ π/2）時(shí)，粒子將會(huì)完全反射。這個(gè)結(jié)果與雙層石墨烯的結(jié)果是定性一致的［2］。因此綜合勢(shì)壘在 x和 y方向的結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于半狄拉克費(fèi)米子系統(tǒng)，可以同時(shí)展現(xiàn)單層和雙層石墨烯的勢(shì)壘透射行為。

5 結(jié)語

本文分別計(jì)算了勢(shì)壘在和方向上半狄拉克費(fèi)米子的透射系數(shù)。這些結(jié)果表明半狄拉克費(fèi)米子可以同時(shí)展現(xiàn)單層和雙層石墨烯的勢(shì)壘透射行為，為研究半狄拉克費(fèi)米子的輸運(yùn)行為提供了有價(jià)值的理論參考。

［1］K.S.Novoselov， A. K. Geim， S. V. Morozov， D. Jiang， M. I. Katsnelson， I. V. Grigorieva， S. V. Dubonos， A. A. Firsov， Nature 438， 197 （2005）.

［2］M.I. Katsnelson， K. S. Novoselov， A. K. Geim， Nature Physics 2，620 （2006）.

［3］P.Dietl， F. Piechon， G. Montambaux， Phys. Rev. Lett. 100，236405 （2008）.

［4］V.Pardo， W. E. Pickett， Phys. Rev. Lett. 102， 11， 166803（2009）.

［5］V.Pardo， W. E. Pickett， Phys. Rev. B 81， 035111 （2010）.

［6］ H.Huang， Z. Liu， H. Zhang， W. Duan， D. Vanderbilt， Phys. Rev. B 92， 161115 （2015）.

江蘇省自然科學(xué)基金（BK20130424）、國家自然科學(xué)基金（11547047）

胡靖（1996—），男，漢族，江蘇鹽城人，鹽城工學(xué)院電氣工程學(xué)院，學(xué)生。

黃備兵（1982—），男，漢族，安徽安慶人，鹽城工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，副教授，研究方向：冷原子物理和凝聚態(tài)物理。