☉浙江省象山縣石浦中學蘆　靈　蓓

基于過程教育的“二次函數(shù)”課例及分析

☉浙江省象山縣石浦中學蘆靈蓓

一、背景介紹

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）根據(jù)數(shù)學具有過程和結果的雙重性特征，倡導統(tǒng)籌兼顧過程與結果，以全面發(fā)揮數(shù)學的育人功能.但在以浙教版《數(shù)學》九年級上冊第一章第1節(jié)“二次函數(shù)”為載體的“多人同課異構”式的研修活動中發(fā)現(xiàn)，課堂教學普遍存在過程教育不到位的問題，導致不能滿足學生發(fā)展能力與個性、感悟其蘊含的數(shù)學思想方法及積累數(shù)學活動經驗的需要.網(wǎng)上查閱同類課例發(fā)現(xiàn)也有類似現(xiàn)象.鑒于此，筆者在重復式觀課與反思基礎上，在浙江省特級教師鄔云德先生的指導下，對該課的教學進行重建與再實踐，改進后的教學得到了同仁的認可.現(xiàn)將其整理出來，以饗讀者.

二、教學實錄

環(huán)節(jié)1：經歷產生并感悟二次函數(shù)的過程——明確研究問題

師：我們知道，許多實際問題可以轉化為一次函數(shù)、反比例函數(shù)問題.一次函數(shù)、反比例函數(shù)夠用了嗎？請大家解決下列問題.

問題1：小王存入銀行500元，先存一個一年期，一年后將本息轉存為又一個一年期.設年利率均為x，兩年后小王共得本息y元.問：當x=0.02時，y=？其實際意義是什么？

（約3分鐘后）

師：在這個問題中，哪些量是常量？哪些量是變量？

生1：存入本金數(shù)500元是常量，所存年數(shù)是常量，年利率x及本息和y元是變量.

師：不錯.y關于x的函數(shù)解析式是什么？

生2：y=500（1+x）2，即y=500x2+1000x+500.

師：好的.當x=0.02時，y=？其實際意義是什么？

生3：當x=0.02時，y=520.2.其實際意義是500元錢存2年可得本息和520.2元.

師：好的.解決這個問題經歷了哪幾個步驟？

生4：審題→分析→列式→求解→作答.

師：不錯.這個函數(shù)是不是一次函數(shù)？是不是反比例函數(shù)？

生5：它既不是一次函數(shù)，也不是反比例函數(shù).

師：不錯.這說明從實際問題中還可以抽象出新形式的函數(shù).其實，這種函數(shù)有豐富的情景.例如，函數(shù)等都是從生活問題中抽象出來的.

師：既然這類函數(shù)有豐富的現(xiàn)實情景，就有研究這類函數(shù)的必要.這類函數(shù)有何特征？有何性質？有何用處？本章就來研究這些問題.（揭示課題）

環(huán)節(jié)2：參與定義二次函數(shù)的活動——形成二次函數(shù)的概念

師：現(xiàn)在請大家依次思考下列問題.

題1：（1）函數(shù)y=500x2+1000x+500與一次函數(shù)、反比例函數(shù)相比有何特點？

（2）函數(shù)“y=500x2+1000x+500，y=-x2+58x-112，y=有何共同特征？（提示：可從不同角度進行觀察）

（3）能類比一次函數(shù)的本質特征給出上述函數(shù)的本質特征嗎？

（4）像定義一次函數(shù)一樣，怎樣定義上述類型的函數(shù)？

（約3分鐘后）

師：誰來回答（1）？

生6：它的自變量x的最高次數(shù)是2次.

生7：右邊的代數(shù)式是整式（二次三項式）.師：不錯.誰來回答（2）？

生8：它們都有兩個變量.

師：不錯.你是從變量的個數(shù)角度來歸納.

生9：它們表示變量的字母的最高次數(shù)都是2次.

師：好的.你是從表示變量的字母的次數(shù)角度來歸納.

生10：它們右邊的代數(shù)式都是整式.

師：不錯！你是從代數(shù)式的類型角度來歸納.

生11：它們都不是方程.

師：有道理.你是用方程概念來歸納.

生12：它們都可以表示為y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的形式.

師：非常好！大家從不同角度發(fā)現(xiàn)了這類函數(shù)有許多特征.誰來回答（3）？

生13：其本質特征是“函數(shù)”、“二次”、“整式”.

生14：其本質特征是具有“y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）”的形式.

師：有道理.誰來回答（4）？

生15：形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫作二次函數(shù).

師：好的.這里的a叫作二次項系數(shù)，b叫作一次項系數(shù)，c叫作常數(shù)項.

師：二次函數(shù)y=-x2+58x-112的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是什么？

生16：a=-1，b=58，c=-112.

師：不錯.二次函數(shù)y=πx2呢？

生17：a=π，b=0，c=0.

師：好的.在y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0）中，為什么要規(guī)定a≠0？為什么不規(guī)定b和c也必須不為零？

生18：若a=0，則它不是二次函數(shù).當a≠0時，b=0或c= 0，它是二次函數(shù).

師：好的.獲得二次函數(shù)概念經歷了哪幾個步驟？

生19：從實際問題中抽象出研究對象→觀察對象的個體特征→歸納對象的共同特征→抽象對象的本質特征→用文字和符號定義與表示二次函數(shù).

師：好的.在這個過程中體現(xiàn)了抽象思想、歸納思想、符號表示思想等.

師：二次函數(shù)與一元二次方程有何區(qū)別與聯(lián)系？

生20：二次函數(shù)刻畫的是變量之間的變化關系；一元二次方程刻畫的是常量之間的相等關系.二次函數(shù)的一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0），而一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）.

師：非常好.它們都是描述現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要數(shù)學模型.

環(huán)節(jié)3：參與嘗試概念應用的活動——合作解答有代表性問題

師：現(xiàn)在請大家合作解答下列問題.

題2：如圖1，一張正方形紙板的邊長為2cm，將它剪去4個全等的直角三角形（圖中陰影部分）.設AE=BF=CG=DH=x（cm），四邊形EFGH的面積為y（cm2）.問：（1）y關于x的函數(shù)表達式和自變量x的取值范圍分別是什么？（2）當x分別為0.25，0.5，1，1.5，1.75時，對應四邊形EFGH的面積分別是多少？（建議小組成員分工合作）

（約5分鐘后）

師：誰來解答（1）？

圖1　

師：不錯.這就是說所求函數(shù)是y=2x2-4x+4（0

師：確定實際問題自變量取值范圍有何經驗？

生22：既要考慮使函數(shù)關系式有意義，還要注意問題的實際意義.

師：不錯.誰來回答（2）？

生23：計算結果如表1：

表1　

師：好的.請大家課后思考：表1中的數(shù)據(jù)有何特點？

師：解決這個問題經歷了哪幾個步驟？

生24：分析→列式→求值.

師：不錯.下面請大家再解答下列問題.

題3：已知二次函數(shù)y=x2+bx+c，當x=1時，函數(shù)值是4；當x=2時，函數(shù)值是-5.問：（1）這個二次函數(shù)的表達式是什么？（2）當x=-3時，y=？

（約3分鐘后）

師：誰來解答（1）？

生25：把x=1，y=4；x=2，y=-5分別代入函數(shù)式y(tǒng)=x2+ bx+c，得方程組解這個方程組，得所求二次函數(shù)的表達式是y=x2-12x+15.

師：好的.誰來解答（2）？

生26：當x=-3時，y=60.

師：好的.求這個函數(shù)關系式的策略與方法分別是什么？

生27：策略：把函數(shù)問題轉化為方程問題.方法：待定系數(shù)法.

師：好的.函數(shù)問題轉化為方程問題的策略和用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式的方法以后會經常用到.確定二次函數(shù)y=ax2+bx+c中的a，b，c需要幾個條件？

生28：需要3個條件.

師：不錯.由于本題a=1是已知條件，所以只要2個條件就夠了.

師：問題（2）求函數(shù)表達式與問題（3）求函數(shù)表達式有何不同？

生29：問題（2）函數(shù)類型未知，需要根據(jù)題目的條件列函數(shù)關系式.問題（3）函數(shù)類型已知，可用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式.

師：好的.這兩種題型以后會經常遇到.下面請大家完成課本中的練習題.

（待學生完成任務后，教師組織學生交互反饋與評價）

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動——合作進行反思與總結

首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學生圍繞“問題清單”進行回顧與思考.

（1）本節(jié)課研究了哪些內容？我們是怎樣研究的？

（2）何謂二次函數(shù)？定義二次函數(shù)經歷了哪幾個步驟？

（3）二次函數(shù)與一元二次方程有何區(qū)別？

（4）求二次函數(shù)表達式有何經驗？

（5）你在學習過程中有何感觸？你認為還應該研究什么？

其次，教師組織學生進行合作交流，同時教師邊傾聽、邊評價.

最后，教師讓學生欣賞二次函數(shù)的自述.（略）

三、教學分析

過程教育不是偏面強調過程，而是根據(jù)數(shù)學結果的地位與作用，以及獲得數(shù)學結果的過程和所蘊含的數(shù)學思想的價值適度關注過程，以全面發(fā)揮數(shù)學的育人功能.“二次函數(shù)”是系統(tǒng)研究函數(shù)的繼續(xù)——從函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)到二次函數(shù).它也是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量變化關系的重要數(shù)學模型，研究二次函數(shù)的思想方法具有普適性.從現(xiàn)實情境中抽象出二次函數(shù)的過程和所蘊含的生活常識、抽象思想等；定義二次函數(shù)的過程和所蘊含的歸納思想、符號表示思想等；用二次函數(shù)解答有代表性問題的過程和所蘊含的解題策略、方法和技巧等.這些對發(fā)展學生智力、能力和個性有積極影響.目前在該課的教學中普遍存在獲得概念的認知過程短暫和獲得概念及解決問題之后反思過程缺失的問題，導致學生對二次函數(shù)的認識沒有達到一定的“深度”和“寬度”，也不能滿足學生感悟思想、積累經驗和發(fā)展能力和個性的需要.

本課例根據(jù)“二次函數(shù)”的地位與作用及其蘊含的教育價值，將其教學立意于過程教育，并以有代表性的問題為載體，從學生已有的知識與經驗出發(fā)，運用教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方式，引導學生經歷完整的認知過程.在“產生具體二次函數(shù)”的教學中，既有回顧與提出問題的過程，以激發(fā)學生的學習興趣，又有“審題→分析→列式→解答”的過程，以產生具體二次函數(shù)，也有解決問題之后的反思，以及回顧利用函數(shù)解決問題的思維過程和感悟二次函數(shù)有豐富情景.盡管產生二次函數(shù)有多種方法，但教材采用的是從生活實例中抽象出二次函數(shù)的方法.事實上，這種方法更有利于學生體會二次函數(shù)的意義.在“定義二次函數(shù)”的教學中，既有“觀察→歸納→抽象→定義與表示”的過程，以獲得二次函數(shù)概念，又有獲得概念之后的反思，以加深認識二次函數(shù)，感悟其蘊含的思維和思想及二次函數(shù)與一元二次方程的區(qū)別與聯(lián)系.在“解決有代表問題”的教學中，既有“分析→列式→求解”的過程，以解決給定的求函數(shù)表達式問題，又有解決問題之后的反思，以明確求二次函數(shù)表達式有兩種題型.

參與研修的教師普遍認為，本課例雖沒有高深別致的題型，也沒有跌宕起伏的情節(jié)，更沒有熱鬧非凡的場面，但通過“設疑、解疑、質疑”，引導學生經歷了實質性思維過程，體現(xiàn)了統(tǒng)籌兼顧過程與結果的理念.因此，一般地，處于歸納層次的概念教學要經歷“用適當?shù)姆椒ㄌ岢鰡栴}→用適當?shù)姆椒óa生對象→觀察對象的個體特征→歸納對象的共同特征→抽象對象的本質特征→定義與表示對象→反思其蘊含的思維與思想→解決有代表性問題”的過程，并在認知過程中要留給學生自主思考與實踐的時間和合作交流的機會，以體現(xiàn)過程教育和以學為中心思想，促使學生對概念的認識達到一定的“深度”和“寬度”，促使學生學會主動提出問題，獨立思考問題，合作探究問題，以及養(yǎng)成敢于質疑、善于表達、認真傾聽、勇于評價和不斷反思的良好品質和習慣.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.范良火.義務教育教科書·數(shù)學（九年級上冊）［M］.杭州：浙江教育出版社，2014.