【摘要】“授之以魚不如授之以漁”，傳授給學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的方法和能力是課堂教學(xué)中必須思考的問題。本文以統(tǒng)計(jì)量及其分布為具體案例，闡述了在數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，如何有效地引導(dǎo)學(xué)生利用概率論知識(shí)去學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的新知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生解決新問題的能力。

【關(guān)鍵詞】隨機(jī)向量 統(tǒng)計(jì)量 分布函數(shù)

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）08-0172-01

數(shù)理統(tǒng)計(jì)是隨機(jī)數(shù)學(xué)范籌的一門基礎(chǔ)課程，它主要研究如何有效地收集、分析、整理帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對(duì)所研究得問題做出準(zhǔn)確而精確的推斷。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心思想是由樣本去推斷總體的未知信息，這包括總體分布中的未知參數(shù)、總體具體的分布形式等。通過教學(xué)嘗試，發(fā)現(xiàn)通過詳細(xì)講解某一統(tǒng)計(jì)問題的背景，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)所用到相關(guān)概率論知識(shí)，通過類比思想，能夠使得學(xué)生容易掌握運(yùn)用已有知識(shí)去分析解決新問題的能力。接下來，將圍繞統(tǒng)計(jì)量及其分布，從以下幾方面進(jìn)行闡述和分析。

1.樣本與隨機(jī)向量

在教學(xué)過程中學(xué)生感覺總體、個(gè)體及樣本的概念比較抽象，表示方法難于很快接受。在授課過程中，結(jié)合實(shí)例具體闡述這樣概念，加深學(xué)生對(duì)這些基本概念的深入理解，幫助學(xué)生進(jìn)入統(tǒng)計(jì)問題的意境中，進(jìn)一步讓學(xué)生領(lǐng)悟用概率論知識(shí)去解決統(tǒng)計(jì)問題，具體如下：

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，研究對(duì)象的全體稱為總體，每一個(gè)研究對(duì)象稱為個(gè)體。對(duì)總體的研究總是歸結(jié)對(duì)總體的某一數(shù)量指標(biāo)的研究，因而通常用一個(gè)隨機(jī)變量X及其分布來表示總體，從總體中抽樣意味著從總體服從的某分布中抽樣。從總體中抽得樣本容量為n的樣本，該樣本可以表示為隨機(jī)向量（X1，X2，……，Xn），其中每一個(gè)隨機(jī)變量Xi表示個(gè)體。樣本的特點(diǎn)是隨機(jī)變量Xi，i=1，2，……，n相互獨(dú)立且與總體同分布。教學(xué)過程中強(qiáng)調(diào)樣本實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)多維的隨機(jī)向量，且其中的分量相互獨(dú)立、每一個(gè)分量與總體具有相同的分布。學(xué)生在此理解的基礎(chǔ)上，很容易可以由相互獨(dú)立的隨機(jī)向量的分布得到樣本的聯(lián)合分布。

2.次序統(tǒng)計(jì)量分布與極值分布

極值分布在地震、水文、氣象等預(yù)測問題中有著重要作用。例如，在建造大型建筑物時(shí)，要考慮到今后若干年內(nèi)的地震的最大震級(jí)、最高水位、最大風(fēng)壓等。教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于次序統(tǒng)計(jì)量及其分布的理解比較困難。如果在講授過程中將次序統(tǒng)計(jì)量和概率論中隨機(jī)向量的極值分布相類比，教學(xué)效果將明顯增加。設(shè)（X1，X2，……，Xn）為來自總體X的樣本，其樣本觀測值從小到大排序?yàn)閤（1），x（2），……，x（n），稱x（i）為第i個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量，若它的觀測值為x（i）。將樣本的最大與最小次序統(tǒng)計(jì)量分別記為x（n）=max{X1，X2，……，Xn}與X（1）=max{X1，X2，……，Xn}。顯然，樣本的最大次序統(tǒng)計(jì)量與最小次序統(tǒng)計(jì)量就相當(dāng)于隨機(jī)向量（X1，X2，……，Xn）的極大值與極小值，從而最大次序統(tǒng)計(jì)量與最小次序統(tǒng)計(jì)量的分布完全可以用概率論中極值分布的知識(shí)來解決。這樣的分析幫助學(xué)生克服對(duì)新知識(shí)的恐懼心理，從而也更容易接受。若總體的分布函數(shù)為F（x），則最大次序統(tǒng)計(jì)量與最小次序統(tǒng)計(jì)量的分布可用總體分布的函數(shù)表示。

3.樣本均值及其分布

在統(tǒng)計(jì)量及其分布的學(xué)習(xí)過程中，教師可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行這樣的引導(dǎo)：統(tǒng)計(jì)量作為樣本的函數(shù)，而樣本是隨機(jī)向量，所以統(tǒng)計(jì)量就是樣本這個(gè)隨機(jī)向量的函數(shù)，那么統(tǒng)計(jì)量的分布就可以借助于概率論中隨機(jī)向量函數(shù)的分布來解決。經(jīng)過這樣的引導(dǎo)，進(jìn)一步帶領(lǐng)學(xué)生回顧求解隨機(jī)向量函數(shù)分布的思想和具體做法，這樣學(xué)生很快就能理解并掌握這部分知識(shí)，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生利用已有知識(shí)去分析新問題的能力。下面以樣本均值為例來進(jìn)行具體說明，樣本均值作為一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)量，它常用來估計(jì)總體的均值信息，具體定義為 = Xi/n， 具有怎樣的分布呢？當(dāng)總體服從正態(tài)分布N（？滋，？滓2）時(shí)，由連續(xù)型的卷積公式及正態(tài)分布的性質(zhì)，可得 Xi～N（n？滋，n？滓2）， ～N（？滋，？滓2/n），即 的精確分布仍為正態(tài)分布。當(dāng)總體分布非正態(tài)分布或未知時(shí)，由獨(dú)立同分布中心極限定理知，當(dāng)樣本容量n很大時(shí)， Xi的漸近分布為N（n？滋，n？滓2），從而 的漸近分布仍為正態(tài)分布，記作 ～N（？滋，？滓2/n）。

綜上所述，本文以統(tǒng)計(jì)量及其分布中的三個(gè)知識(shí)點(diǎn)為例，說明了數(shù)理統(tǒng)計(jì)授課中，如何引導(dǎo)學(xué)生利用概率論知識(shí)去探索學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的新知識(shí)，以提高學(xué)生解決新問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]梁之舜，鄧集賢，楊維權(quán)等.概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].高等教育出版社，1998.

[2]茆詩松，程依明，濮曉龍. 概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].高等教育出版社，2015.

作者簡介：

楊曉麗（1979-），女，漢族，博士，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，副教授，研究方向：隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)。endprint