寧夏西吉中學(xué) 何永安

例談轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

寧夏西吉中學(xué) 何永安

所謂化歸與轉(zhuǎn)化思想，是指把需要解決或未解決的數(shù)學(xué)問題通過適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為已解決或者比較容易解決的問題，最終求得問題圓滿解答的一種手段和方法。它貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，比如，一般與特殊的轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、相等與不等的轉(zhuǎn)化、空間問題與平面問題的轉(zhuǎn)化、實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化，等等。下面僅通過幾例說明轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用。

一、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化

函數(shù)與方程都是重要的數(shù)學(xué)思想，雖然概念不同，但它們之間有著密切的聯(lián)系。方程可看成特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是方程的拓展。函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)?函數(shù)y=f（x）圖像與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)?方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根。所以許多有關(guān)方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決，反之，也有許多函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程來解決。

例1 設(shè)二次函數(shù)f（x）=（m-2）x2-6mx+6m-15與X軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，其中至少有一個(gè)交點(diǎn)在X軸的負(fù)半軸上，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

分析：本題直接解要分三種情況，顯然比較麻煩。若注意到至少有一個(gè)交點(diǎn)在X軸的負(fù)半軸上的反面卻只有一種，即兩個(gè)交點(diǎn)都在X軸的非負(fù)半軸上，先求這種情況下m的范圍，再求其補(bǔ)集即可。

解：由以上分析，問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程（m-2）x2-6mx+6m-15=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，且至少有一個(gè)根在X軸的負(fù)半軸上，其反面為兩個(gè)根都在X軸的非負(fù)半軸上，則m-2≠0且△=（-6m）2-4（m-2）（6m-15）＞0，即m＜-10或1＜m＜2或m＞2……（1），設(shè)兩根分別為x1，x2，得不等式組

評(píng)析：本題由函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，再通過正難則反的轉(zhuǎn)化，使問題獲得解決。

二、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

數(shù)與形之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”，使數(shù)形達(dá)到了和諧的統(tǒng)一。但數(shù)與形之間可以相互轉(zhuǎn)化，有許多代數(shù)問題潛藏著幾何背景，由幾何背景的特征，從數(shù)中構(gòu)型把數(shù)學(xué)問題的數(shù)量信息轉(zhuǎn)化為圖形信息，可使那些抽象的概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化，由圖形的特征尋找解決問題的途徑。但也有一些幾何問題，雖然圖形較直觀，其條件和結(jié)論相距甚遠(yuǎn)，解題的切入點(diǎn)不易找到；還有那些條件較多，與結(jié)論關(guān)系又不明顯，不能一下子抓住它們特征的題目，若采用代數(shù)、三角及解析法，則解題思路比較明顯，這些題目在平面向量、立體幾何、平面解析幾何中更為常見。

評(píng)析：本題由函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像，由圖像得到C的取值范圍，直觀明了，體現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化。

三、實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)模型是許多實(shí)際問題的抽象概括，而實(shí)際應(yīng)用問題又要通過建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決，其思維過程歸結(jié)為：（1）熟悉題目所提供的背景；（2）反復(fù)閱讀背景材料；（3）建立數(shù)學(xué)模型，實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；（4）求解這個(gè)數(shù)學(xué)模型；（5）還原。

例3 提高過江大橋的車輛通行能力可改變整個(gè)城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞。此時(shí)車流速度為0，當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)。研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)。

（Ⅰ）當(dāng)0≤x≤200，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；

（Ⅱ）當(dāng)車流密度為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）f（x）=x.v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值。（精確到1輛/小時(shí)）

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí)。

評(píng)析：很明顯，本題將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)知識(shí)使問題獲得解決。

從以上幾例可以看出，化歸與轉(zhuǎn)化思想具有靈活性和多樣性，靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解題，需要依據(jù)問題本身提供的信息，明確轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，利用動(dòng)態(tài)的思維，去尋求有利于問題解決的轉(zhuǎn)化途徑和方法。