楊洪偉

（山東省平陰縣第一中學(xué)）

微積分在高中物理教學(xué)及高考中的應(yīng)用

楊洪偉

（山東省平陰縣第一中學(xué)）

微積分作為一種重要的數(shù)學(xué)方法，不只在大學(xué)物理中的應(yīng)用十分廣泛，在高中物理中微積分思想也有很多應(yīng)用，并且在高考試題中也時有出現(xiàn)。

一、高中物理教學(xué)中常見的微積分應(yīng)用

1.微元法定義瞬時速度

在高中物理學(xué)習(xí)之初瞬時速度的定義中就涉及微積分思想，求物體在某處的瞬時速度，可在該點(diǎn)附近取一段位移除以對應(yīng)的時間即可得到該段位移的平均速度，所取的位移越小，其對應(yīng)的時間越小，所得到的平均速度越接近所求點(diǎn)的瞬時速度，當(dāng)所取位移近似為零時，所得到的平均速度即可認(rèn)為是所求點(diǎn)的瞬時速度，在該部分內(nèi)容中采用了微元并取極限的方法，其實(shí)就是微積分中最基本的微元思想。

2.微分與斜率

3.積分與面積

在勻變速直線運(yùn)動位移的推導(dǎo)中，由于速度是變化的，采用微元法取非常短的時間，將變化的速度轉(zhuǎn)化為不變的速度，然后用相加的方法，得出v-t圖像所圍的面積表示位移，即借助積分思想來完成。該思想在計算變力做功中同樣加以應(yīng)用，通過微元法取一小段位移，將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功，并將各段做功相加的方法，得出F-S圖像所圍的面積代表力做功。

可見，微積分思想在高中物理中出現(xiàn)的并不少，主要采用無限接近思想解決瞬時值問題，通過化變量為恒量的方法來解決變量問題。因此高中階段的瞬時值問題、斜率問題、極值問題、面積問題大多由微積分思想得出。

二、高考中常見微積分思想應(yīng)用實(shí)例分析

高中物理教學(xué)中常見的微積分思想在高考試題中也有所體現(xiàn)。

例1.（2014年山東理綜19題）如圖，半徑為R的均勻帶正電薄球殼，其上有一小孔A。已知?dú)?nèi)的場強(qiáng)處處為零；殼外空間的電場與將球殼上的全部電荷集中于球心O時在殼外產(chǎn)生的電場一樣。一帶正電的試探電荷（不計重力）從球心以初動能Ek0沿OA方向射出。下列關(guān)于試探電荷的動能Ek與離開球心的距離r的關(guān)系圖像，可能正確的是

A

B

C

D

分析：本題主要考查動能的改變即動能定理，在本題中試探電荷在球殼內(nèi)不受力，動能不變，為平行r軸的直線。在球殼外，試探電荷只受電場力，電場力做功等于其動能的改變，但由于電場力為變力，可在試探電荷運(yùn)動的軌跡上取一小段微元Δr，將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功，即ΔEk=qEΔr，其斜率K==qE，q不變，隨r增大E減小，得出斜率減小。

答案：A。

例2.（2013年上海物理32題）半徑為R，均勻帶正電荷的球體在空間產(chǎn)生球?qū)ΨQ的電場；場強(qiáng)大小沿半徑分布如圖所示，圖中E0已知，E-r曲線下O-R部分的面積等于R-2R部分的面積。

（1）寫出E-r曲線下面積的單位；

（2）已知帶電球在r≥R處的場強(qiáng)E=kQ/r2，式中k為靜電力常量，該均勻帶電球所帶的電荷量Q為多大？

（3）求球心與球表面間的電勢差△U；

答案：（1）V（伏特）

分析：本題主要考查E與U的關(guān)系U=Ed，但該公式只適用于強(qiáng)電場，針對該題的電場變化，采用微元法，取很小的位移將變化的電場轉(zhuǎn)化為不變的電場，求出電壓后求和的方式解決，則要采用化變量為恒量并累加的積分思想解決。

總之，高中物理教學(xué)不只是知識的傳授，同時還有思想方法的引導(dǎo)和滲透。微積分是物理學(xué)的基本思想方法，是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的基本方式，在高中物理教學(xué)中加以滲透，既有利于學(xué)生提高成績，也有利于學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展。

［1］林祥允.微積分思想在高中物理教學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用［J］.新教育，2012.

［1］張振.在高中物理中應(yīng)用微積分的研究［J］.物理教師，2010.

·編輯張慧