田桂娥 謝 露 馬廣濤

(1.華北理工大學(xué)，河北 唐山 063000； 2.中鐵十一局集團(tuán)第一工程有限公司，湖北 襄陽(yáng) 441104; 3.河北省制圖院，河北 石家莊 050000)

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·測(cè)量·

高斯平均引數(shù)大地主題解算程序設(shè)計(jì)★

田桂娥1謝 露2馬廣濤3

(1.華北理工大學(xué)，河北 唐山 063000； 2.中鐵十一局集團(tuán)第一工程有限公司，湖北 襄陽(yáng) 441104; 3.河北省制圖院，河北 石家莊 050000)

介紹了大地主題解算基本方法，以Visual Studio 2010作為開發(fā)平臺(tái)，采用C#語(yǔ)言編寫，設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了一套基于高斯平均引數(shù)的大地主題解算實(shí)用程序，指出該程序功能強(qiáng)大，實(shí)現(xiàn)了單點(diǎn)和批量大地主題解算，能方便的將計(jì)算結(jié)果保存在文本，且精度滿足大地測(cè)量及相應(yīng)工程的需求。

大地主題解算，高斯平均引數(shù)法，Visual Studio 2010，批量解算

0 引言

在天文大地測(cè)量中，為了獲得點(diǎn)的大地坐標(biāo)，需要在橢球面上進(jìn)行控制點(diǎn)間的坐標(biāo)解算。橢球面上兩點(diǎn)間的大地坐標(biāo)(大地經(jīng)度、大地緯度)、大地線、大地方位角稱為大地元素，已知一些大地元素，推求另一些大地元素，通常稱為大地主題解算。大地主題解算包含大地主題正算和大地主題反算兩種，已知橢球面上一點(diǎn)P1的大地坐標(biāo)(L1，B1)，P1到P2點(diǎn)的大地線長(zhǎng)度S及其大地方位角A12，計(jì)算P2點(diǎn)的大地坐標(biāo)(L2，B2)和大地線長(zhǎng)度S在P2點(diǎn)的反方位角A21，稱為大地主題正解；反之，已知P1和P2點(diǎn)的大地坐標(biāo)(L1，B1)和(L2，B2)，計(jì)算P1至P2的大地線長(zhǎng)度S及其正反方位角A12和A21，稱為大地主題反解。由于橢球計(jì)算的復(fù)雜性，帶來(lái)大地主題解算的復(fù)雜性，有的需要進(jìn)行迭代計(jì)算逐步趨近，給人工計(jì)算帶來(lái)極大困難。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，計(jì)算機(jī)在大地主題解算上的應(yīng)用也得到了快速的發(fā)展，迭代計(jì)算已經(jīng)不再是難題，而且，可以根據(jù)精度的需要而自行確定迭代次數(shù)，極大的提高了計(jì)算效率。同時(shí)，隨著大地主題解算在空間技術(shù)領(lǐng)域的廣泛運(yùn)用，大地主題解算已經(jīng)成為一項(xiàng)重要的研究工作。

由于大地主題解算的目的和計(jì)算工具的不同，目前大地主題解算方法至少有70余種。根據(jù)解算方法的推導(dǎo)理論，這些解算方法大致可歸納為以下五類，即：1)以大地線在大地坐標(biāo)系中的微分方程為基礎(chǔ)，以高斯平均引數(shù)法為代表，這類方法僅適用于短距離大地主題解算；2)以白塞爾大地投影為基礎(chǔ)，與距離長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，其衍生公式有鑲嵌系數(shù)法，適用于任意長(zhǎng)度大地主題解算；3)利用地圖投影理論解算大地問(wèn)題，計(jì)算原理和白塞爾類似，但是其受距離限制，因此只有在特殊情況下使用才有利；4)對(duì)大地微分方程進(jìn)行數(shù)值積分的解法；5)依據(jù)大地線外的其他方程為基礎(chǔ)。

本文在Visual Studio 2010的平臺(tái)上，采用C#語(yǔ)言編寫，以高斯平均引數(shù)法大地主題解算為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了一套大地主題解算實(shí)用程序，為大地測(cè)量人員提供方便。

1 大地主題解算常用解法

1.1 高斯平均引數(shù)法正算

(1)

為了使級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)減少，收斂快，精度高，高斯平均引數(shù)公式將勒讓德級(jí)數(shù)由在P1點(diǎn)展開改為在大地線長(zhǎng)度中點(diǎn)M展開；其次，考慮到求定中點(diǎn)M的復(fù)雜性，將M點(diǎn)用大地線兩端點(diǎn)平均緯度及平均方位角相對(duì)應(yīng)的m點(diǎn)來(lái)代替，并借助迭代，順利實(shí)現(xiàn)大地主題正解。高斯平均引數(shù)法正算公式具體如下：

其中，B為大地緯度；L為大地經(jīng)度；A為大地方位角；Bm為P1和P2點(diǎn)平均緯度；Am為P1和P2的平均方位角，并有:

(2)

(3)

(4)

1.2 高斯平均引數(shù)法反算

已知經(jīng)差ΔL，緯差ΔB及平均緯度Bm，求S，A12，A21，首先根據(jù)正算公式(1)，推導(dǎo)求出S·sinAm，S·cosAm，ΔA″具體推導(dǎo)見孔祥元等編寫的“控制測(cè)量學(xué)(下冊(cè))”第三版，在此基礎(chǔ)上求解Am，具體如下：

(5)

根據(jù)求得的Am，求解S，A12，A21:

(6)

應(yīng)用上述公式時(shí)，應(yīng)注意判斷Am的象限。此套公式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，收斂速度快，無(wú)需迭代。

2 算例與結(jié)果分析

本文以Visual Studio 2010作為開發(fā)平臺(tái)，采用C#語(yǔ)言編寫，以高斯平均引數(shù)為基礎(chǔ)，可計(jì)算克拉索夫斯基橢球、1975國(guó)際75橢球、WGS84橢球、CGCS2000四個(gè)橢球下的大地主題正反算，程序界面清晰，容錯(cuò)性強(qiáng)，可實(shí)現(xiàn)單點(diǎn)和批量計(jì)算，同時(shí)可將計(jì)算結(jié)果保存為文本形式，簡(jiǎn)單方便。

本文大地主題正算中選取4個(gè)已知點(diǎn)(見表1)，已知數(shù)據(jù)D1，D2，D3，D4來(lái)源于參考文獻(xiàn)[4]。表2給出了4個(gè)已知點(diǎn)高斯平均引數(shù)大地主題正算的結(jié)果及誤差。從表2可以看到，4個(gè)已知點(diǎn)的大地經(jīng)緯度和大地方位角解算真誤差均在0.000 1″，最大的誤差為D3點(diǎn)的大地經(jīng)度之差ΔL2=0.000 8″，最小誤差為0；以上所有點(diǎn)間大地線長(zhǎng)度都在500 km以下，進(jìn)一步驗(yàn)證了高斯平均引數(shù)法適用于短距離大地主題解算的條件。

表1 大地主題解算正算已知數(shù)據(jù)

表2 高斯平均引數(shù)法大地主題解算正算結(jié)果

表3 高斯平均引數(shù)法大地主題解算反算結(jié)果

表3中選取了4套坐標(biāo)實(shí)例，每套坐標(biāo)中已知點(diǎn)間大地線長(zhǎng)度范圍為80 km～430 km不等。從表3中數(shù)據(jù)可以看到大地坐標(biāo)正反方位角的計(jì)算真誤差達(dá)到0.000 1″，距離真誤差達(dá)到米級(jí)。在4個(gè)實(shí)例中，例4誤差最大，無(wú)論距離、大地坐標(biāo)方位角誤差等均遠(yuǎn)超前3個(gè)例子的誤差。經(jīng)分析，例4中大地線長(zhǎng)度為1 000 km，超過(guò)了高斯平均引數(shù)法解算的范圍(500 km)，也就是可以說(shuō)明，本程序高斯平均引數(shù)大地主題解算的精度達(dá)到距離0.001 m，角度0.000 1″，同時(shí)也驗(yàn)證了高斯平均引數(shù)大地主題解算適用于短距離的大地主題解算，解算精度與距離有關(guān)。

程序運(yùn)行后，所有解算結(jié)果可以保存為報(bào)告輸出到指定位置，報(bào)告中詳細(xì)包含了大地主題解算的原始數(shù)據(jù)、解算結(jié)果、真誤差、計(jì)算橢球以及橢球參數(shù)、迭代次數(shù)等，極大的方便了大地工作者及相關(guān)工作人員。

3 結(jié)語(yǔ)

本文在以高斯平均引數(shù)法為基礎(chǔ)的大地主題解算程序，實(shí)現(xiàn)大地主題正反算精度達(dá)到角度0.000 1″、距離0.001 m，滿足大地測(cè)量的要求。程序運(yùn)行結(jié)果以報(bào)告形式輸出，內(nèi)容詳細(xì)，清晰，為大地測(cè)量工作者帶來(lái)極大方便。同時(shí)進(jìn)一步驗(yàn)證了高斯平均引數(shù)法適用于短距離大地主題解算，大地線長(zhǎng)度在500 km以內(nèi)的大地主題解算均能達(dá)到較高精度。

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Program designing of geodetic theme solution of Gauss mid-lattitud method★

Tian Gui’e1Xie Lu2Ma Guangtao3

(1.NorthChinaUniversityofScienceandTechnology,Tangshan063000,China;(2.No.1EngineeringCo.,LtdofCR11BG,Xiangyang441104,China;

3.HebeiMappingInstitute,Shijiazhuang050000,China)

In this thesis, it introduces the geodetic solution basic method, and then design a program based on Gauss mid-lattitud method against geodetic solution utility. The program that with Visual Studio 2010 as a development platform, the C# language to write. The program has powerful function, realizes the single point and the bulk earth theme solution, and can be convenient to save the calculation results in the text, to meet the requirements of geodetic surveying and the corresponding engineering.

solution to geodetic problem, Gauss mid-lattitud method, Visual Studio 2010, batch calculation

1009-6825(2016)27-0192-02

2016-07-13

★:國(guó)家自然基金項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：41574072)；華北理工大學(xué)教改項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：Qz1432-10)；河北省測(cè)繪實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心項(xiàng)目

田桂娥(1980- )，女，碩士，講師； 馬廣濤(1983- )，男，工程師

TU198

A