郭育紅

（河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 張掖　734000）

關(guān)于兩類(lèi)color有序分拆的一個(gè)恒等式

郭育紅

（河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 張掖734000）

考慮了正整數(shù)n的有序分拆中，分部量1有兩種形式的情形，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)等于第2n+1個(gè)Fiboacci數(shù)F2n+1.進(jìn)一步得到了一個(gè)涉及正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)與正整數(shù)的n-color有序分拆數(shù)之間的一個(gè)恒等式.并且給出了正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)的一個(gè)顯式計(jì)數(shù)公式.

n-color有序分拆；Fibonacco數(shù)；恒等式；組合雙射

1　引言

在經(jīng)典的分拆理論中，MacMahon［1］第一次定義了正整數(shù)的有序分拆.即在正整數(shù)的分拆中考慮了分部量的次序.例如，4的無(wú)序分拆有：

共5個(gè)；而 4的有序分拆有：

共 8個(gè).有序分拆也可以表示成向量的形式.例如，上述4的8個(gè)有序分拆可記為：

Agarwal和Andrews在文獻(xiàn)［2］中拓廣了正整數(shù)無(wú)序分拆的概念，給出了正整數(shù)的 n-color無(wú)序分拆.即在正整數(shù)ν的無(wú)序分拆中對(duì)于每一個(gè)分部量n著n種不同的顏色.他們將這n種顏色用下標(biāo)表示為：n1，n2，···，nn.例如，3的n-color無(wú)序分拆有：共 6個(gè).在2000年，Agarwal［3］又定義了n-color有序分拆.例如，3有8個(gè)n-color有序分拆：

近年來(lái)，對(duì)于正整數(shù)的 n-color有序分拆的研究產(chǎn)生了許多研究成果［3-13］.關(guān)于正整數(shù)的n-color有序分拆數(shù)有下面的結(jié)論.

定理1.1［3］設(shè)C（ν）表示ν的n-color有序分拆數(shù)，C（m，ν）表示ν分成m個(gè)分部量的n-color有序分拆數(shù)，C（m，q）和C（q）分別表示C（m，ν）和C（ν）的生成函數(shù).則

這里Fn是第n個(gè)Fibonacci數(shù).

定義1.1［3］Fibonacci數(shù)列是指：F0=0，F(xiàn)1=1，且滿足：

2013年，Shapcott在文獻(xiàn)［14］中給出了正整數(shù)的n-color有序分拆的一種符號(hào)表示，他利用一串符號(hào)“×”和“-”表示正整數(shù)的n-color有序分拆，即對(duì)于正整數(shù)的n-color有序分拆的一個(gè)分部量λi，1≤i≤λ，用一串含有（λ-1）個(gè)-”和一個(gè)“×”的符號(hào)來(lái)表示，其中“×”所在的第i個(gè)位置表示分部量著第i種顏色；而兩個(gè)分部量之間用一個(gè)“×”分割.例如，3的一個(gè)n-color有序分拆21+11可表示成：

利用這種“×”和“-”符號(hào)表示，Shapcott建立了正整數(shù)的n-color有序分拆數(shù)與正整數(shù)的分部量是1或 2的稱(chēng)為1-2有序分拆的分拆數(shù)、分部量是奇數(shù)的稱(chēng)為奇有序分拆的分拆數(shù)、分部量大于1的有序分拆數(shù)之間的一些恒等式.

2015年，Munagi和Sellers在文獻(xiàn)［15］中給出了正整數(shù)的 Inplace有序分拆的幾個(gè)恒等式.所謂正整數(shù)的有序分拆中分部量λ出現(xiàn) Inplace j次是指在該分拆中，分部量λ連續(xù)出現(xiàn)j次.例如，分拆

就是一個(gè)偶分部量出現(xiàn) Inplace偶數(shù)次的有序分拆.

同時(shí)，文獻(xiàn)［15］中給出了下面的關(guān)于Inplace有序分拆的恒等式.

定理 1.2［15］設(shè)n≥1，正整數(shù)n的奇分部量出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的有序分拆數(shù)等于正整數(shù)2n的奇分部量有兩種形式的有序分拆數(shù).

在文獻(xiàn)［15］中，作者將奇分部量有兩種形式也看成一類(lèi)color有序分拆，并將分部量λ有兩種形式表示成：λ，λ?.

本文考慮了正整數(shù)n的有序分拆中，分部量1有兩種形式的情形，我們發(fā)現(xiàn)正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)等于第2n+1個(gè)Fiboacci數(shù)F2n+1.于是結(jié)合定理1.1中的（4）式給出的正整數(shù)的n-color有序分拆數(shù)與 Fibonacci數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而我們研究了這兩類(lèi)color有序分拆，得到了一個(gè)涉及正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)與正整數(shù)的n-color有序分拆數(shù)之間的一個(gè)恒等式.并且給出了正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)的一個(gè)顯式計(jì)數(shù)公式.

2　主要結(jié)果

首先，討論正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆，我們?nèi)匝赜梦墨I(xiàn)［13］中記號(hào)，即用1，1?表示分部量1的兩種形式.我們考慮其生成函數(shù).

第2n+1個(gè) Fibonacci數(shù)的生成函數(shù)是

于是，有下面的結(jié)論.

個(gè)Fibonacci數(shù).則

這里ν＞0.

Fibonacci數(shù)與正整數(shù)的1-2有序分拆數(shù)之間存在著熟悉的關(guān)系式.

引理 2.1［14］設(shè)C1-2（ν）表示正整數(shù) ν的1-2有序分拆數(shù)，F(xiàn)n表示第n個(gè) Fibonacci數(shù).則

這里ν＞0.

自然地，我們考慮正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆與1-2有序分拆之間的關(guān)系，容易得到了下面的一個(gè)恒等式.

定理 2.2設(shè)C21（ν）表示正整數(shù)ν的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)，C1-2（ν）表示正整數(shù) ν的1-2有序分拆數(shù).則

這里ν＞0.

我們給出該恒等式的組合雙射證明.

證明我們將正整數(shù)ν的分部量1有兩種形式的有序分拆分成以下兩類(lèi)：

（A）ν的分拆中分部量都是1；

（B）ν的分拆中分部量至少有一個(gè)不等于1.

對(duì)于（A）類(lèi)中的有序分拆，按照Munagi和Sellers在文獻(xiàn)［13］對(duì)定理1.2的證明中給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系：即把ν的分拆中分部量1對(duì)應(yīng)成2ν的分拆的分部量2；把分部量1?對(duì)應(yīng)成2ν的分拆中的分部量“1，1”.我們知道，這類(lèi)分拆對(duì)應(yīng)著2ν的 1-2有序分拆中分部量1出現(xiàn) Inplace偶數(shù)次的分拆.

對(duì)于（B）類(lèi)中的有序分拆，仍然按照Munagi和Sellers的方法，把ν的分拆中分部量1對(duì)應(yīng)成2ν的分拆的分部量2；把分部量1?對(duì)應(yīng)成2ν的分拆中的分部量1，1，把分部量λ＞1對(duì)應(yīng)成2ν的分拆中的分部量2λ.于是我們知道這類(lèi)分拆對(duì)應(yīng)著2ν的不含大于1的奇分部量，且分部量1出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的分拆，但是不包括分拆

這時(shí)設(shè)

是2ν的不含大于 1的奇分部量，且分部量1出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的分拆，我們做如下變換：若λi=1，2，保留該分部量不變；當(dāng)λi=2k，k＞1時(shí)，將λi分拆成：

這樣我們就得到了2ν的1-2有序分拆，且分部量1不是出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的分拆.這是因?yàn)榉植穰林腥绻蟹植苛?，則分部量1是出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的，而將與分部量1相鄰的偶分部量2k分拆成形式

時(shí)，就破壞了分部量1出現(xiàn)的 Inplace偶數(shù)性；如果在分拆α中兩個(gè)相鄰的分部量都是大于2的偶數(shù)λi，λj，此時(shí)將λi，λj分拆成形式時(shí)，自然破壞了分部量1出現(xiàn)的 Inplace偶數(shù)性.

故（B）類(lèi)中產(chǎn)生了2ν的1-2有序分拆中，分部量1不是出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的分拆.顯然，該對(duì)應(yīng)關(guān)系是一一的，反之亦然.

綜合（A）類(lèi)，（B）類(lèi)知結(jié)論成立.接下來(lái)我們考慮正整數(shù)的n-color有序分拆，由定理1.1中的（4）式，得到下面的推論.

推論 2.1設(shè)C（ν）表示正整數(shù)ν的n-color有序分拆數(shù)，F(xiàn)n表示第n個(gè)Fibonacci數(shù).則

定理2.3設(shè)C′（ν）表示正整數(shù)ν的右端分部量不是11的n-color有序分拆數(shù)，C21（ν）表示正整數(shù)ν的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù).則

給出該關(guān)系式的組合證明.

證明事實(shí)上，由定理2.2我們知道：ν的分部量1有兩種形式的有序分拆對(duì)應(yīng)著2ν的右端分部量不是11的n-color有序分拆.接下來(lái)，我們用Shapcott在文獻(xiàn)［12］中給出的方法再建立正整數(shù)2ν的1-2有序分拆與正整數(shù)ν+1的右端分部量不是11的n-color有序分拆之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)于2ν的任意一個(gè)1-2有序分拆，我們將分部量1表示成“×”，分部量2表示成“-”，就得到一個(gè)“×”和“-”符號(hào)圖.然后在“×”和“-”符號(hào)圖中考慮最右端的符號(hào)，如果最右端符號(hào)是“×”，我們將“×”換成“-”；如果最右端符號(hào)是“-”，我們就添上“×”.接下來(lái)，在得到的“×”和“-”符號(hào)圖中按照從左向右的順序?qū)ⅰ啊痢焙汀?”符號(hào)圖變換成正整數(shù)的n-color有序分拆，其中“×”所在的位置j表示分部量著j色，而兩個(gè)相鄰的“×”，右邊的一個(gè)表示兩個(gè)分部量的分割點(diǎn).這樣我們就得到了ν+1的右端分部量不是11的n-color有序分拆.這樣我們就將ν的分部量1有兩種形式的有序分拆對(duì)應(yīng)到ν+1的右端分部量不是11的n-color有序分拆.反之亦然.故結(jié)論成立.

給出一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明上述對(duì)應(yīng)關(guān)系.

例 2.1取ν=3，則3的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)與4的右端分部量不是11的n-color有序分拆之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：

利用正整數(shù)ν的n-color有序分拆的計(jì)數(shù)公式

還得到了正整數(shù)ν的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)C21（ν）的顯式計(jì)數(shù)公式.推論 2.2設(shè)C21（ν）表示正整數(shù)ν的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù).則

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2010 MSC:05A17，05A19

A identity about two classes of color compositions

Guo Yuhong
（School of Mathematics and Statistics，Hexi University，Zhangye734000，China）

In this paper，we considered the compositions with the part 1 has two kinds，and found that the number of compositions with the part 1 has two kinds equals the（2n+1）thFibonacci number F2n+1.Furthermore，we obtained an identity between the number of compositions of n when part 1 can be of two kinds and the number of n-color compositions.And we also give an explicit counting formula of the number of compositions of n when part 1 can be of two kinds.

n-color compositions，the Fibonacci number，identity，combinatorial bijection

O157

A

1008-5513（2016）05-0441-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.05.001

2016-07-22.

國(guó)家自然科學(xué)基金（11461020）.

郭育紅（1970-），碩士，教授，研究方向：組合數(shù)學(xué).