馬麗娜，李書海

（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰　024000）

某些一致倒結(jié)構(gòu)的亞純多葉函數(shù)類的系數(shù)估計(jì)

馬麗娜，李書海

（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰024000）

利用從屬關(guān)系定義了某些新的一致倒結(jié)構(gòu)的星象，凸象，近于凸和擬凸函數(shù)類，并得到了相應(yīng)函數(shù)類的系數(shù)估計(jì).其結(jié)果改進(jìn)并推廣了一些已有結(jié)論.

解析函數(shù)；亞純；從屬；倒結(jié)構(gòu)；系數(shù)估計(jì)

1　引言

設(shè)H表示單位圓盤U=｛z∈C：|z|＜1｝內(nèi)解析且具有如下形式的函數(shù)族：

特別地，H中單葉函數(shù)全體記作A.

設(shè)函數(shù) f（z）和 g（z）在單位圓盤 U內(nèi)解析.如果存在 U內(nèi)的Schwarz函數(shù) ω（z），滿足：ω（0）=0，|ω（z）|＜1且f（z）=g（ω（z）），則稱f（z）從屬于g（z），記為f（z）?g（z）（見文獻(xiàn)［1］）.特別地，如果g（z）在U上是單葉的，則

令Σp表示在去心單位圓盤U?=｛z∈C：0＜|z|＜1｝=U｛0｝內(nèi)解析的一類亞純函數(shù)族，具有如下形式：

特別的，記Σ1=Σ.

令P表示一類解析函數(shù)，P中的函數(shù)p（z）具有如下形式：

函數(shù)f∈A稱為倒星象函數(shù)，如果滿足如下條件：

該函數(shù)類由文獻(xiàn)［2］于1992年引入并研究，1996年Kang等［3］推廣了其工作.此后，越來(lái)越多的學(xué)者對(duì)倒星象函數(shù)的情況進(jìn)行了研究.

2012年，文獻(xiàn)［4］將倒星象函數(shù)類推廣到亞純單葉函數(shù)類上.近來(lái)，Ma等［5，6］將倒星象函數(shù)類推廣到亞純p葉函數(shù)類上.

本文利用從屬關(guān)系，定義了亞純p葉函數(shù)類上的β階δ一致倒星象、一致倒凸象、一致近于凸、一致擬凸函數(shù)類如下.

定義1.1設(shè)

定義1.2設(shè)

本文對(duì)新引入的一致倒結(jié)構(gòu)的星象、凸象、近于凸、擬凸函數(shù)類，分別進(jìn)行了系數(shù)估計(jì)，所得結(jié)論改進(jìn)并推廣了一些已有結(jié)果.

2　主要結(jié)果

下面內(nèi)容中，除非特別說(shuō)明，假設(shè)-1≤D≤B＜A≤C≤1，δ≥0，δ≠1及pβ≠1.為了證明本文結(jié)論，需要如下引理.

引理2.1［7］令δ≥0及-1≤B＜A≤1.如果?（z）在U內(nèi)解析且滿足則有

證明 假設(shè)?-1=|?-1|ei?，?∈R，則|?-1|=（?-1）e-i?.從而得證.

引理2.2［8］如果p（z）∈P且則

引理2.3［9］設(shè)ω（z）=c1z+c2z2+···在單位圓盤U內(nèi)解析且|ω（z）|≤|z|，則

引理2.4［10］設(shè)ω（z）=c1z+c2z2+···在單位圓盤U內(nèi)解析且|ω（z）|≤|z|，則對(duì)于任意復(fù)數(shù)t，有

當(dāng)函數(shù)ω（z）=z或ω（z）=z2時(shí)，上面不等式等號(hào)成立.

定理2.1若f∈MSδ（p；β；A，B），則對(duì)于k≥1，有

及

推論2.1設(shè)f∈MKδ（p；β；A，B），則對(duì)于k≥1且k≠p，有

定理2.2設(shè)f∈MCSδ（p；β；A，B，C，D），則對(duì)于k≥1且k≠p，有

推論2.2設(shè)函數(shù)f∈MCKδ（p；β；A，B，C，D），則對(duì)于k≥1且k≠p，有

定理2.3設(shè)f（z）∈MSδ（p；β；A，B），則對(duì)于任意復(fù)數(shù)μ，有

證明 設(shè)f（z）∈MSδ（p；β；A，B），定義1.1和（4），根據(jù)從屬關(guān)系定義，存在一個(gè)Schwarz函數(shù)ω（z）=c1z+c2z2+···，滿足ω（0）=0及|ω（z）|＜1且

推論2.3設(shè)f（z）∈MKδ（p；β；A，B），則對(duì)于任意復(fù)數(shù)μ，有

定理2.4設(shè)f（z）∈MCSδ（p；β；A，B，C，D），則對(duì)于任意復(fù)數(shù)λ，有

特別的，當(dāng)A=C=1，B=D=-1時(shí)，有如下估計(jì).

推論2.4設(shè)f（z）∈MCSδ（p；β；1，-1，1，-1），則對(duì)于任意復(fù)數(shù)λ，有

［1］Duren P L.Univalent Functions［M］.New York：Springer-Verlag，1983.

［2］Yamakawa R.Certain subclasses of p-valently starlike functions with negative coefficients，in Current Topics in Analytic Function Theory（Srivastava H M and Owa S，Editors）［M］.London：World Scientific Publishing Company，1992：393-402.

［3］Kang J S，Owa S，Srivastava H M.Quasi-convolution properties of certain subclassses of analytic functions［J］.Bull.Belg.Math.Soc.，1996，3：603-608.

［4］Sun Yong，Kuang Weiping，Wang Zhigang.On meromorphic starlike functions of reciprocal order α［J］.Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society，2012，32（5）：469-477.

［5］Ma Lina，Li Shuhai.Some new subclasses of meromorphically multivalent functions defined by means of the Liu-Srivastava operator［J］.Bulletin of Mathematical Analysis and Applications，2013，5（2）：19-41.

［6］Ma Lina，Li Shuhai.Some properties of certain subclasses of meromorphically multivalent functions associated with the genaralized hypergeometric function［J］.Southeast Asian Bulletin of Mathematics，2014，38（3）：423-431.

［7］Li Shuhai，Tang Huo，Ao en.Majorization properties for certain new classes of analytic functions using the Sǎlǎgean operator［J］.Journal of Inequalities and Applications，2013，63：632-643.

［8］Geol R M，Mehrok B C.A subclass of starlike functions with respect to symmetric points［J］.Tamkang Journal of Mathematics，1982，13（1）：11-24.

［9］Fekete M，Szeg? G.Eine Bermerkung uber ungeraade schlichte funktionen［J］.Journal of the London Mathematical Society，1933，8（2）：85-89.

［10］Keogh F R，Merkes E P.A coefficient inequality for certain classes of analytic functions［J］.Proceedings of the American Mathematical Society，1969，20（1）：8-12.

2010 MSC:30C45，30C55

Coefficient estimates for certain classes of uniformly reciprocal meromorphic multivalent functions

Ma Lina，Li Shuhai
（School of Mathematics and Statistics，Chifeng University，Inner Mongolia024000，china）

Some new classes of meromorphically uniformly reciprocal starlike，convex，close-to-convex and quasi-convex functions defined by subordination are introduced and the coefficient estimates of the classes are obtained.The results present here improve and generalize some known results.

analytic functions，meromorphical，subordination，reciprocal，coefficient estimate

O174.51

A

1008-5513（2016）05-0515-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.05.008

2016-07-01.

內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目（NJZY16251）；國(guó)家自然科學(xué)基金（11561001）；內(nèi)蒙古自治區(qū)自然科學(xué)基金（2014MS0101）；內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目（2015NJZY240）.

馬麗娜（1982-），碩士，講師，研究方向：調(diào)和分析與復(fù)分析.