楊勇，劉文德

（哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱　150025）

線(xiàn)狀李超代數(shù)Ln，m上的Yang-Baxter方程

楊勇，劉文德

（哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150025）

在特征零的代數(shù)閉域上，首先做出Ln，m的一個(gè)空間的直和分解，從而將Ln，m上的Yang-Baxter方程的解分為若干情形.然后分別在每種情形下對(duì)Yang-Baxter方程進(jìn)行求解，進(jìn)而得到了Ln，m上的所有的Yang-Baxter方程的解的矩陣形式.

Yang-Baxter方程；冪零李超代數(shù)；線(xiàn)狀李超代數(shù)

1　引言

1960年，Baxter在研究波動(dòng)理論的積分方程時(shí)，提出了Rota-Baxter代數(shù)的概念［1］.這一理論在數(shù)學(xué)與物理的許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.在李代數(shù)與李超代數(shù)上，權(quán)0的Rota-Baxter算子即為經(jīng)典的Yang-Baxter方程的解，權(quán)1的Rota-Baxter算子即為變形的Yang-Baxter方程的解.近年來(lái)，許多學(xué)者刻畫(huà)了低維代數(shù)上的Rota-Baxter算子.例如，文獻(xiàn)［2］證明了有限維實(shí)可除代數(shù)上的Rota-Baxter算子都是平凡的，文獻(xiàn)［3］計(jì)算了線(xiàn)狀李超代數(shù)L1，2上的Yang-Baxter方程的解，文獻(xiàn)［4］刻畫(huà)了有限維Hamilton代數(shù)上的Rota-Baxter算子.由于其豐富的應(yīng)用價(jià)值，Yang-Baxter方程的研究成為了一個(gè)重要的研究課題.

1970年，Vergne在研究?jī)缌憷畲鷶?shù)簇的可約性時(shí)，提出了線(xiàn)狀李代數(shù)的概念并且指出任何一個(gè)線(xiàn)狀李代數(shù)都可由線(xiàn)狀李代數(shù)Ln的形變得到［5］.類(lèi)似于李代數(shù)的情形，任何一個(gè)線(xiàn)狀李超代數(shù)都可由線(xiàn)狀李超代數(shù)Ln，m的形變得到.線(xiàn)狀李超代數(shù)作為一類(lèi)特殊的冪零李代數(shù)，其研究成為了許多學(xué)者關(guān)注的重要課題.例如，文獻(xiàn)［6］對(duì)低維的線(xiàn)狀李超代數(shù)進(jìn)行了分類(lèi)，文獻(xiàn)［7］計(jì)算了線(xiàn)狀李超代數(shù)Ln，m的導(dǎo)子及保積Hom-結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)［8］刻畫(huà)了線(xiàn)狀李超代數(shù)Ln，m的極小忠實(shí)表示，文獻(xiàn)［9］給出了線(xiàn)狀李超代數(shù)Ln，m的無(wú)窮小形變.本文在特征零的代數(shù)閉域上，首先做出Ln，m的一個(gè)空間的直和分解，從而將Ln，m上的Yang-Baxter方程的解分為若干情形.然后分別在每種情形下對(duì)Yang-Baxter方程進(jìn)行求解，進(jìn)而得到了Ln，m上的所有的Yang-Baxter方程的解的矩陣形式.

2　基本概念和引理

定義2.1［9］設(shè)G是一個(gè)冪零李超代數(shù)，若存在正整數(shù)p，q，使得

其中

則稱(chēng)（p，q）為李超代數(shù)G的超冪零指數(shù).

定義2.2［9］設(shè)是一個(gè)冪零李超代數(shù)，其中dim G0=n，dim G1=m，如果G的超冪零指數(shù)為（n-1，m），則稱(chēng)G為線(xiàn)狀李超代數(shù).

定義2.3設(shè)R是李超代數(shù)G上的一個(gè)齊次的線(xiàn)性算子，如果對(duì)任意的x，y∈G，有

則稱(chēng)R是李超代數(shù)G上的Yang-Baxter方程的解.

3　主要結(jié)果及證明

本文約定F為特征零的代數(shù)閉域，設(shè)｛X0，X1，···，Xn|Xn+1，···，Xn+m｝是線(xiàn)狀李超代數(shù)F=Ln，m的標(biāo)準(zhǔn)基，其非零乘法為：［X0，Xi］=Xi+1，i∈｛1，···，n-1，n+1，···，n+m-1｝.

設(shè)F上的Yang-Baxter方程的解R在該組基下的矩陣是（aij），則有

令V0=span｛X1，···，Xn｝，V1=span｛Xn+1，···，Xn+m｝.

引理3.1設(shè)R是F上的線(xiàn)性算子，則對(duì)于任意的x，y∈F，有

引理3.2設(shè)R是F上的齊次的線(xiàn)性算子，則有以下兩個(gè)結(jié)論成立：

（1）若R是F上的偶的Yang-Baxter方程的解，則R（X2），···，R（Xn）∈V0.

（2）若R是F上的奇的Yang-Baxter方程的解，則R（Xn+2），···，R（Xn+m）∈V0.

引理3.3設(shè)R是F上的偶的線(xiàn)性算子，則有以下兩個(gè)結(jié)論成立：

引理3.4設(shè)R是F上的奇的線(xiàn)性算子，則有以下兩個(gè)結(jié)論成立：

證明此定理的證明，可仿照引理3.3的證明得到.

以下表達(dá)式中的x，y，αi，βj表示F上的任意元素，α表示F上的任意非零元素，?表示F上的任意元素或相應(yīng)階數(shù)的任意矩陣.

定理3.1設(shè)R是F上的偶的線(xiàn)性算子，則R是Yang-Baxter方程的解當(dāng)且僅當(dāng)R在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為以下兩類(lèi)矩陣之一：

定理3.2設(shè)R是F上的奇的線(xiàn)性算子，若R（Xn+1）∈V0，則R是F上的Yang-Baxter方程的解當(dāng)且僅當(dāng)R在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為以下矩陣：

定理3.3設(shè)R是F上的奇的線(xiàn)性算子，若R（Xn+1）/∈V0，則R是F上的Yang-Baxter方程的解當(dāng)且僅當(dāng)R在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為以下五類(lèi)矩陣之一：

［1］Baxter G.An analytic problem whose solution follows from a simple algebraic identity［J］.Pacific J.Math.，1960（10）：731-742.

［2］陳美微，劉文德.有限維實(shí)可除代數(shù)的Rota-Baxter算子［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2013，43（16）：243-247.

［3］焦陽(yáng)，劉文德.Filiform李超代數(shù)L1，2上的Yang-Baxter方程［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2014，44（17）：283-287.

［4］溫雅慧，劉文德.有限維Hamilton代數(shù)上的Rota-Baxter算子［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2013，43（23）：262-267.

［5］Vergne M.Cohomologie des algèbres de Lie nilpotentes.Apllicationà l'étude de la variété des algèbres de Lie nilpotentes［J］.（French）Bull.Soc.Math.France 1970（98）：81-116.

［6］Gilg M.Low-dimensional filiform Lie superalgebras［J］.Rev.Mat.Complut.，2001（14）：463-478.

［7］焦陽(yáng)，劉文德.Filiform李超代數(shù)Ln，m的導(dǎo)子和保積Hom-結(jié)構(gòu)［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2014，30（5）：534-543.

［8］Wang Q.Chen H，Liu W.On representations of the Filiform Lie superalgebras Ln，m［J］.J.Geom.Phys.，2015（97）：93-104.

［9］Khakimdjanov Y，Navarro R M.A complete description of all the infinitesimal deformations of the Lie superalgebras Ln，m［J］.J.Geom.Phys.，2010（60）：131-141.

2010 MSC:16T25

The Yang-Baxter equation of the filiform Lie superalgebras Ln，m

Yang Yong，Liu Wende
（School of Mathematical Sciences，Harbin Normal University，Harbin150025）

At first，we make a space direct sum decomposition of Ln，mover an algebraically closed field of characteristic zero，so the solutions of the Yang-Baxter equation of the filiform Lie superalgebras Ln，mwere divided into several situations.We solve the Yang-Baxter equation in each case，then we obtain all the solutions of the Yang-Baxter equation of the filiform Lie superalgebras Ln，min terms of the matrix form.

Yang-Baxter equation，nilpotent Lie superalgebra，filiform Lie superalgebra

O152.5

A

1008-5513（2016）05-0536-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.05.010

2016-04-05.

國(guó)家自然科學(xué)基金（11471090，11501151）；省自然科學(xué)基金（A2015003）.

楊勇（1992-），碩士生，研究方向：李代數(shù)與李超代數(shù).

劉文德（1965-），博士，教授，研究方向：李代數(shù)與李超代數(shù).