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        線(xiàn)狀李超代數(shù)Ln,m上的Yang-Baxter方程

        2016-11-11 02:04:40楊勇劉文德
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)

        楊勇,劉文德

        (哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150025)

        線(xiàn)狀李超代數(shù)Ln,m上的Yang-Baxter方程

        楊勇,劉文德

        (哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱150025)

        在特征零的代數(shù)閉域上,首先做出Ln,m的一個(gè)空間的直和分解,從而將Ln,m上的Yang-Baxter方程的解分為若干情形.然后分別在每種情形下對(duì)Yang-Baxter方程進(jìn)行求解,進(jìn)而得到了Ln,m上的所有的Yang-Baxter方程的解的矩陣形式.

        Yang-Baxter方程;冪零李超代數(shù);線(xiàn)狀李超代數(shù)

        1 引言

        1960年,Baxter在研究波動(dòng)理論的積分方程時(shí),提出了Rota-Baxter代數(shù)的概念[1].這一理論在數(shù)學(xué)與物理的許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.在李代數(shù)與李超代數(shù)上,權(quán)0的Rota-Baxter算子即為經(jīng)典的Yang-Baxter方程的解,權(quán)1的Rota-Baxter算子即為變形的Yang-Baxter方程的解.近年來(lái),許多學(xué)者刻畫(huà)了低維代數(shù)上的Rota-Baxter算子.例如,文獻(xiàn)[2]證明了有限維實(shí)可除代數(shù)上的Rota-Baxter算子都是平凡的,文獻(xiàn)[3]計(jì)算了線(xiàn)狀李超代數(shù)L1,2上的Yang-Baxter方程的解,文獻(xiàn)[4]刻畫(huà)了有限維Hamilton代數(shù)上的Rota-Baxter算子.由于其豐富的應(yīng)用價(jià)值,Yang-Baxter方程的研究成為了一個(gè)重要的研究課題.

        1970年,Vergne在研究?jī)缌憷畲鷶?shù)簇的可約性時(shí),提出了線(xiàn)狀李代數(shù)的概念并且指出任何一個(gè)線(xiàn)狀李代數(shù)都可由線(xiàn)狀李代數(shù)Ln的形變得到[5].類(lèi)似于李代數(shù)的情形,任何一個(gè)線(xiàn)狀李超代數(shù)都可由線(xiàn)狀李超代數(shù)Ln,m的形變得到.線(xiàn)狀李超代數(shù)作為一類(lèi)特殊的冪零李代數(shù),其研究成為了許多學(xué)者關(guān)注的重要課題.例如,文獻(xiàn)[6]對(duì)低維的線(xiàn)狀李超代數(shù)進(jìn)行了分類(lèi),文獻(xiàn)[7]計(jì)算了線(xiàn)狀李超代數(shù)Ln,m的導(dǎo)子及保積Hom-結(jié)構(gòu),文獻(xiàn)[8]刻畫(huà)了線(xiàn)狀李超代數(shù)Ln,m的極小忠實(shí)表示,文獻(xiàn)[9]給出了線(xiàn)狀李超代數(shù)Ln,m的無(wú)窮小形變.本文在特征零的代數(shù)閉域上,首先做出Ln,m的一個(gè)空間的直和分解,從而將Ln,m上的Yang-Baxter方程的解分為若干情形.然后分別在每種情形下對(duì)Yang-Baxter方程進(jìn)行求解,進(jìn)而得到了Ln,m上的所有的Yang-Baxter方程的解的矩陣形式.

        2 基本概念和引理

        定義2.1[9]設(shè)G是一個(gè)冪零李超代數(shù),若存在正整數(shù)p,q,使得

        其中

        則稱(chēng)(p,q)為李超代數(shù)G的超冪零指數(shù).

        定義2.2[9]設(shè)是一個(gè)冪零李超代數(shù),其中dim G0=n,dim G1=m,如果G的超冪零指數(shù)為(n-1,m),則稱(chēng)G為線(xiàn)狀李超代數(shù).

        定義2.3設(shè)R是李超代數(shù)G上的一個(gè)齊次的線(xiàn)性算子,如果對(duì)任意的x,y∈G,有

        則稱(chēng)R是李超代數(shù)G上的Yang-Baxter方程的解.

        3 主要結(jié)果及證明

        本文約定F為特征零的代數(shù)閉域,設(shè){X0,X1,···,Xn|Xn+1,···,Xn+m}是線(xiàn)狀李超代數(shù)F=Ln,m的標(biāo)準(zhǔn)基,其非零乘法為:[X0,Xi]=Xi+1,i∈{1,···,n-1,n+1,···,n+m-1}.

        設(shè)F上的Yang-Baxter方程的解R在該組基下的矩陣是(aij),則有

        令V0=span{X1,···,Xn},V1=span{Xn+1,···,Xn+m}.

        引理3.1設(shè)R是F上的線(xiàn)性算子,則對(duì)于任意的x,y∈F,有

        引理3.2設(shè)R是F上的齊次的線(xiàn)性算子,則有以下兩個(gè)結(jié)論成立:

        (1)若R是F上的偶的Yang-Baxter方程的解,則R(X2),···,R(Xn)∈V0.

        (2)若R是F上的奇的Yang-Baxter方程的解,則R(Xn+2),···,R(Xn+m)∈V0.

        引理3.3設(shè)R是F上的偶的線(xiàn)性算子,則有以下兩個(gè)結(jié)論成立:

        引理3.4設(shè)R是F上的奇的線(xiàn)性算子,則有以下兩個(gè)結(jié)論成立:

        證明此定理的證明,可仿照引理3.3的證明得到.

        以下表達(dá)式中的x,y,αi,βj表示F上的任意元素,α表示F上的任意非零元素,?表示F上的任意元素或相應(yīng)階數(shù)的任意矩陣.

        定理3.1設(shè)R是F上的偶的線(xiàn)性算子,則R是Yang-Baxter方程的解當(dāng)且僅當(dāng)R在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為以下兩類(lèi)矩陣之一:

        定理3.2設(shè)R是F上的奇的線(xiàn)性算子,若R(Xn+1)∈V0,則R是F上的Yang-Baxter方程的解當(dāng)且僅當(dāng)R在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為以下矩陣:

        定理3.3設(shè)R是F上的奇的線(xiàn)性算子,若R(Xn+1)/∈V0,則R是F上的Yang-Baxter方程的解當(dāng)且僅當(dāng)R在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為以下五類(lèi)矩陣之一:

        [1]Baxter G.An analytic problem whose solution follows from a simple algebraic identity[J].Pacific J.Math.,1960(10):731-742.

        [2]陳美微,劉文德.有限維實(shí)可除代數(shù)的Rota-Baxter算子[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2013,43(16):243-247.

        [3]焦陽(yáng),劉文德.Filiform李超代數(shù)L1,2上的Yang-Baxter方程[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2014,44(17):283-287.

        [4]溫雅慧,劉文德.有限維Hamilton代數(shù)上的Rota-Baxter算子[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2013,43(23):262-267.

        [5]Vergne M.Cohomologie des algèbres de Lie nilpotentes.Apllicationà l'étude de la variété des algèbres de Lie nilpotentes[J].(French)Bull.Soc.Math.France 1970(98):81-116.

        [6]Gilg M.Low-dimensional filiform Lie superalgebras[J].Rev.Mat.Complut.,2001(14):463-478.

        [7]焦陽(yáng),劉文德.Filiform李超代數(shù)Ln,m的導(dǎo)子和保積Hom-結(jié)構(gòu)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2014,30(5):534-543.

        [8]Wang Q.Chen H,Liu W.On representations of the Filiform Lie superalgebras Ln,m[J].J.Geom.Phys.,2015(97):93-104.

        [9]Khakimdjanov Y,Navarro R M.A complete description of all the infinitesimal deformations of the Lie superalgebras Ln,m[J].J.Geom.Phys.,2010(60):131-141.

        2010 MSC:16T25

        The Yang-Baxter equation of the filiform Lie superalgebras Ln,m

        Yang Yong,Liu Wende
        (School of Mathematical Sciences,Harbin Normal University,Harbin150025)

        At first,we make a space direct sum decomposition of Ln,mover an algebraically closed field of characteristic zero,so the solutions of the Yang-Baxter equation of the filiform Lie superalgebras Ln,mwere divided into several situations.We solve the Yang-Baxter equation in each case,then we obtain all the solutions of the Yang-Baxter equation of the filiform Lie superalgebras Ln,min terms of the matrix form.

        Yang-Baxter equation,nilpotent Lie superalgebra,filiform Lie superalgebra

        O152.5

        A

        1008-5513(2016)05-0536-10

        10.3969/j.issn.1008-5513.2016.05.010

        2016-04-05.

        國(guó)家自然科學(xué)基金(11471090,11501151);省自然科學(xué)基金(A2015003).

        楊勇(1992-),碩士生,研究方向:李代數(shù)與李超代數(shù).

        劉文德(1965-),博士,教授,研究方向:李代數(shù)與李超代數(shù).

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        數(shù)學(xué)到底有什么用?
        新民周刊(2016年15期)2016-04-19 15:47:52
        我難過(guò),因?yàn)槲铱吹綌?shù)學(xué)就難過(guò)
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