李春梅，段雪峰，彭振赟，江祝靈

（桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林　541004）

一類廣義Lyapunov矩陣方程的正定解

李春梅，段雪峰，彭振赟，江祝靈

（桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林541004）

研究了雙線性系統(tǒng)中的一類廣義Lyapunov矩陣方程的正定解.基于混合單調(diào)算子不動點(diǎn)定理，給出新的存在正定解的充分條件，構(gòu)造了求其正定解的不動點(diǎn)迭代方法，并給出了迭代誤差估計公式.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明新方法是可行的.

廣義Lyapunov矩陣方程；雙線性系統(tǒng)；正定解；充分條件；迭代方法

1　引言

本文研究如下廣義Lyapunov矩陣方程：

的正定解，其中A，N1，N2，···，Nm是n×n階實(shí)矩陣，Q是n×n階對稱正定矩陣.令

則雙線性系統(tǒng)

的可達(dá)格拉姆矩陣P就是廣義Lyapunov矩陣方程（1.1）的正定解，其中Q=BBT.因此，廣義Lyapunov矩陣方程（1.1）的正定解在雙線性系統(tǒng)的可達(dá)格拉姆矩陣的計算中起著重要作用，詳見文獻(xiàn)［1-3］.

自從上個世紀(jì)開始，人們對標(biāo)準(zhǔn)的Lyapunov矩陣方程（即矩陣方程（1.1）在m=0時的情形）進(jìn)行了系統(tǒng)深入的研究，發(fā)展了許多有效的數(shù)值方法.這些迭代方法主要分為直接法和迭代法兩大類，直接法主要利用矩陣分解、分塊技術(shù)，矩陣廣義逆和矩陣直積給出解析解的方法，比如：Bartels-Stewart方法［4］，Hammarling方法［5］等，而迭代方法（如：Krylov子空間方法［6］，ADI方法［7］，矩陣符號函數(shù)法［8］和保結(jié)構(gòu)算法［910］）主要是建立某種迭代格式，讓迭代格式產(chǎn)生的序列收斂于Lyapunov矩陣方程的解.然而廣義Lyapunov矩陣方程（1.1）在m≥1時的可解性理論和數(shù)值方法相對比較少，其主要原因是矩陣方程（1.1）的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，難以刻畫它的正定解.文［1］給出了矩陣方程（1.1）存在正定解的充分條件，然而這些條件建立在抽象的線性算子理論和譜分析的基礎(chǔ)之上.通過矩陣?yán)彼阕雍蚄ronecker積，文［1112］將矩陣方程（1.1）轉(zhuǎn)化成線性方程組，給出了一些有解的充分條件，還設(shè)計了一種參數(shù)迭代求解方法.

據(jù)我們所知，廣義Lyapunov矩陣方程（1.1）的正定解的存在性還是一個難題.本文將利用混合單調(diào)算子不動點(diǎn)定理，給出一個新的存在正定解的充分條件，構(gòu)造了求其正定解的不動點(diǎn)迭代方法，并給出了迭代誤差估計公式.

2　預(yù)備知識

本文用Rn×n表示n×n階實(shí)矩陣構(gòu)成的集合，SRn×n表示n×n階對稱矩陣組成的集合.B＞0（B≥0）表示矩陣B對稱正定（半正定）.B＞C（B≥C）表示矩陣B-C正定（半正定）.如果矩陣X滿足B＜X＜C，我們記為X∈（B，C）.λ1（B）和λn（B）分別表示n×n對稱矩陣B的最大和最小特征值.表示n×n階半正定矩陣構(gòu)成的集合.BT表示矩陣B的轉(zhuǎn)置，Om×n表示m×n階零矩陣.‖B‖表示矩陣B的譜范數(shù).對于n×n階正定矩陣Q，Q-范數(shù)定義如下

集合SRn×n上定義了Q-范數(shù)就形成一個完備的度量空間（詳見文獻(xiàn)［1］）.

引理 2.1［13］設(shè)A和B是n×n階正定矩陣，則0≤Tr（AB）≤‖A‖Tr（B）.

引理 2.2（混合單調(diào)算子不動點(diǎn)定理［14］）設(shè)（W，≤）是一個偏序集，d是W上的度量，它使得W構(gòu)成一個完備的度量空間.設(shè)映射F：W×W→W連續(xù)且在集合W上混合單調(diào).假如存在δ∈［0，1）對所有的x≥u和y≤v滿足

如果

（i）存在x0，y0∈W 使得x0≤F（x0，y0）和y0≥F（y0，x0）成立；

（ii）任何一對元素都有上界和下界，即對任意（x，y）∈W×W 都存在 z1和 z2使得x，y≤z1和x，y≥z2成立；那么存在唯一的使得

另外，由xk+1=F（xk，yk）和yk+1=F（yk，xk）產(chǎn)生的序列｛xk｝和｛yk｝收斂于它的誤差估計式為

這里映射F：W×W→W混合單調(diào)的意思是映射F（x，y）關(guān)于x單調(diào)遞增，關(guān)于y單調(diào)遞減，即

3　主要結(jié)論

本節(jié)中，我們利用混合單調(diào)算子的不動點(diǎn)定理得到矩陣方程（1.1）存在對稱正定解的新的充分條件，構(gòu)造一種迭代方法計算其對稱正定解，同時迭代方法的誤差估計公式也被給出.

定理 3.1設(shè)F=A+In.如果

4　數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)將利用數(shù)值例子驗(yàn)證迭代方法（3.2）的可行性.實(shí)驗(yàn)程序都是用MATLAB R2010a編寫.對于迭代方法（3.2），我們定義相對誤差

所有實(shí)驗(yàn)的停機(jī)標(biāo)準(zhǔn)為R（Xk）≤1.0×10-10，R（Yk）≤1.0×10-10.

例4.1考慮廣義Lyapunov方程：

（1）設(shè)n=8，容易驗(yàn)證定理3.1的條件滿足，則可利用迭代方法（3.2）計算矩陣方程（4.1）的唯一正定解迭代3 0步后，得到它的相對殘差為R（X30）≈8.58×10-11.

（2）設(shè)n=100或300，容易驗(yàn)證定理3.1的條件滿足，則可利用迭代方法（3.2）計算矩陣方程（4.1）的唯一正定解相對殘差R（Xk）和R（Yk）的收斂曲線見圖1.

圖1　相對殘差R（Xk）和R（Yk）的收斂曲線

例4.1說明如果A，Nj和Q滿足定理3.1的條件，則由迭代方法（3.2）產(chǎn)生的矩陣序列｛Xk｝和｛Yk｝都收斂于矩陣方程（1.1）的唯一正定解

5　結(jié)論

本文研究了雙線性系統(tǒng)模型降階中的一類廣義Lyapunov方程.利用混合單調(diào)算子的不動點(diǎn)定理得到了該方程存在唯一正定解的充分條件，構(gòu)造了迭代求解方法，并給出了迭代方法的誤差估計公式.文章最后利用數(shù)值例子驗(yàn)證了迭代方法的可行性.

［1］Benner P，Damm T.Lyapunov equations，energy functions，and Model order reduction of bilinear and stochastic systems［J］.SIAM J.Control Opt.，2011，40：686-711.

［2］Ferrante A，Ntogramatzidis L.The generalised discrete algebraic Riccati equation in linear-quadratic optimal control［J］.Automatica，2013，49：471-478.

［3］Zhang L，Lam J.On H2model reduction of bilinear systems［J］.Automatica，2002，38：205-216.

［4］Bartels R，Stewart G.Solution of the matrix equation AX+XB=C：Algorithm 432［J］.Com.ACM，1972，15：820-826.

［5］Liu Xiping，Jia Mei.Multiple solutions for fractional differential equations with nonlinear boundary conditions［J］.Computers Mathematics with Applications，2010，59（8）：2880-2886.

［6］Jaimoukha I M，Kasenally E M.Krylov subspace methods for solving large Lyapunov equations［J］.SIAM J Numer Anal，1994，31：227-251.

［7］Lu A，Waachspress E L.Solution of Lyapunov equations by alternating direction implicit iteration［J］.Comput.Math.Appl.，2011，21：3-58.

［8］Beavers A N，Demman J E D.A new solution method for the Lyapunov matrix equation［J］.SIAM J Matrix Anal Appl，1975，29：416-421.

［9］黃敬頻，于艷.四元素矩陣方程的復(fù)轉(zhuǎn)化及保結(jié)構(gòu)算法［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2008，24：321-326.

［10］黃敬頻.四元素矩陣方程AX+Y B=C的兩種最佳逼近解［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2004，20：109-114.

［11］黃敬頻.求解混合型Lyapunov矩陣方程的參數(shù)迭代法［J］.計算數(shù)學(xué)，2007，29：285-292.

［12］黃敬頻.一類混合型Lyapunov矩陣方程的對稱正定解［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2008，25：313-320.

［13］Ran A C M，Reurings M C B.A fixed point theorem in partially ordered sets and some applications to matrix equations［J］.Proceedings of AMS，2004，132：1435-1443.

［14］Bhaskar T G，Lakshmikantham V.Fixed point theory in partially ordered metric spaces and applications［J］.Nonlinear Analysis，2006，65：1379-1393.

［15］Agarwal R P，Meehan M，Regan D.Fixed Point Theory and Applications［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2011，45-113.

2010 MSC:15A24，65F30，93A15

Positive definite solution of a class of generalized Lyapunov equation

Li Chunmei，Duan Xuefeng，Peng Zhenyun，Jiang Zhuling
（School of Mathematics and Computational Science，Guilin University of Electronic Technology，Guilin 541004，China）

In this paper，we consider the positive definite solution of a class of generalized Lyapunov matrix equation，which arises in the bilinear systems.Based on the fixed point theorem for mixed monotone operator，a new sufficient condition for the existence of a unique positive definite solution is derived.A fixed point iterative method is proposed to compute the unique positive definite solution，and its error estimation is also given.Finally，a numerical example is presented to illustrate the feasibility of the proposed method.

generalized Lyapunov equation，bilinear system，positive definite solution，sufficient condition，iterative method

O178

A

1008-5513（2016）05-0505-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.05.007

2016-06-30.

國家自然科學(xué)基金（11561015；11301107；11261014）；廣西自然科學(xué)基金（2016GXNSFFA380009；2016GXNSFAA380074）.

李春梅（1984-），碩士，講師，研究方向：數(shù)值代數(shù).