余云彩，胡宏昌

（湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石　435000）

NSD 序列加權(quán)和的中心極限定理及其在EV回歸模型中的應(yīng)用

余云彩，胡宏昌

（湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石435000）

基于負(fù)超可加相依（簡(jiǎn)稱為NSD）隨機(jī)序列的性質(zhì)及其一些不等式，利用隨機(jī)變量的截?cái)喾椒ń⒘薔SD隨機(jī)序列加權(quán)和的中心極限定理，從而推廣了負(fù)相協(xié)NA隨機(jī)序列的相應(yīng)結(jié)論.并將其應(yīng)用到變系數(shù)EV回歸模型，得到了未知參數(shù)LS估計(jì)的漸近正態(tài)性.

NSD隨機(jī)序列；中心極限定理；EV回歸模型；LS估計(jì)

1　引言

隨著NA隨機(jī)序列的廣泛研究，NSD這類較NA序列更為廣泛的隨機(jī)變量列逐漸得到重視.然而，許多NSD 隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)與NSD隨機(jī)序列加權(quán)和的收斂性有著密不可分的關(guān)系，如線性回歸模型中待估參數(shù)的漸近正態(tài)性，以及其大偏差性質(zhì)等.因此，研究NSD隨機(jī)序列加權(quán)和的中心極限定理并應(yīng)用到EV回歸模型中具有重大的理論與實(shí)際意義.

定義1.1［1］函數(shù)?：Rn→R，如果對(duì)所有的向量x，y∈Rn，滿足

其中，“∨”代表兩者之間的最大值，“∧”代表兩者之間的最小值，則稱?為超可加函數(shù).

定義1.2［1］稱隨機(jī)序列｛X1，X2，···，Xn｝為NSD序列，如果滿足

其中，X?1，X?2，···，X?n是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，對(duì)每個(gè)t，X?t與Xt有相同的分布，?是超可加函數(shù)，并且使得其期望存在.

NSD的概念最先由 Hu［1］引進(jìn)，文章指出 NSD不蘊(yùn)含 NA（Negative Association），C-hristofides［2］指出 NA蘊(yùn)含 NSD.針對(duì) NSD隨機(jī)序列加權(quán)和的強(qiáng)穩(wěn)定性研究，Shen［3］給出了 NSD隨機(jī)變量的 Rosenthal型矩不等式，并建立了 NSD隨機(jī)變量和的強(qiáng)收斂性.Eghbal［4］給出了NSD隨機(jī)變量加權(quán)二次型形式的兩個(gè)極大值不等式和強(qiáng)大數(shù)定律.Wang［5］探究了NSD隨機(jī)變量加權(quán)和的完全收斂性，并且把結(jié)果應(yīng)用到誤差為NSD 的EV回歸模型中，證明了LS估計(jì)的完全一致性.Wang［6］加強(qiáng)對(duì)矩的約束，討論了誤差為NSD的線性回歸模型的M估計(jì)的強(qiáng)相合性.本文則是在一定條件下探究NSD隨機(jī)序列加權(quán)和的中心極限定理，并將之應(yīng)用到EV回歸模型中，討論未知參數(shù)LS估計(jì)的漸近正態(tài)性.

考慮如下誤差為NSD的簡(jiǎn)單線性變系數(shù)EV模型：

其中，Yt，Xt，t=1，···，n為可觀測(cè)變量，xt，···，n為未知變量，α，β是未知參數(shù)，

為兩個(gè)獨(dú)立的NSD隨機(jī)變量序列.

模型（1.1）可寫成如下形式：

計(jì)算可得，α，β的LS估計(jì)為：

其中

變系數(shù)EV回歸模型由Deaton［7］提出之后，其漸近性得到廣泛關(guān)注.在誤差獨(dú)立的情形下，Cui［8］證明了EV模型M估計(jì)的漸近正態(tài)性.Miao［9］建立了簡(jiǎn)單線性變系數(shù)EV模型LS估計(jì)的中心極限定理.Miao［10］得到了變系數(shù)EV模型未知參數(shù)LS估計(jì)的中偏差原理.Liu［11］證明了LS估計(jì)的一致性，得到強(qiáng)收斂與弱收斂具有等價(jià)性的結(jié)論，并證明具有相合性的充要條件是

然而在實(shí)際中，獨(dú)立條件過(guò)于理想，學(xué)者們將視野拓展到相依誤差下EV模型的研究.Fan［12］在誤差項(xiàng)為平穩(wěn) α混合序列的情形下，得到了 EV模型 LS估計(jì)的漸近正態(tài)性.在誤差為平穩(wěn) NA序列的情形下，Miao［13］討論了EV模型LS估計(jì)的強(qiáng)相合和漸近正態(tài)性.Hu［14］在AR（1）誤差下建立了EV模型Huber-Dutter估計(jì)的漸近正態(tài)性.胡宏昌［15］研究了AANA隨機(jī)序列加權(quán)和的強(qiáng)收斂速度.在誤差為嚴(yán)平穩(wěn)NSD序列的情形下，Wang［6］討論了EV模型LS估計(jì)的完全收斂性.作為NSD序列加權(quán)和中心極限定理的一個(gè)應(yīng)用，本文考慮如下模型：

其中，｛et，1≤t≤n｝，｛δt，1≤t≤n｝均為平穩(wěn)的NSD隨機(jī)序列，并有

2　主要結(jié)果

定理 2.1設(shè)｛Xj，j≥1｝為NSD隨機(jī)變量序列滿足如下條件：

注2.1條件（A1）是對(duì)誤差項(xiàng)最基本的假設(shè).條件（A2）和（A3）在相依誤差的研究問(wèn)題上經(jīng)常使用，如Baek［16］，Liang［17］針對(duì)NA隨機(jī)變量序列加權(quán)和的中心極限定理時(shí)提出了此條件.條件（A4）是對(duì)權(quán)的一個(gè)常見約束，Liang［17］用到了此條件，所以我們所提出的條件是合理且容易滿足的.

定理2.3在定理2.1的條件下，如果滿足

則有

注2.2條件（B1），（B2）滿足式（1.3），Miao［13］在證明誤差為嚴(yán)平穩(wěn)NA序列的EV模型LS估計(jì)漸近正態(tài)性時(shí)用到，并且文中要求這一比較強(qiáng)的條件，Wang［6］在討論誤差為嚴(yán)平穩(wěn)NSD序列的EV模型LS估計(jì)強(qiáng)收斂性時(shí)也有用到.條件（B3）中vt為NSD隨機(jī)變量，可看作一個(gè)無(wú)窮小的權(quán)，這里要求其方差有界較為合理，如NA這類特別的NSD隨機(jī)序列在嚴(yán)平穩(wěn)和τ=1時(shí)，就有條件（2.7），詳細(xì)見Miao［13］.條件（2.8）事實(shí)上只需有界即可，故本文的條件較為合理.

3　定理的證明

上述定理的證明需要如下重要引理，在證明過(guò)程中C，C1，C2均表示絕對(duì)常數(shù).

引理3.1［1］設(shè)｛X1，X2，···，Xn；n≥1｝是 NSD隨機(jī)序列 ，則有下列性質(zhì)：

（1）f1，f2，···是非降的連續(xù)函數(shù) ，則 ｛fn（Xn），n≥1｝仍是 NSD隨機(jī)變量序列.

（2）｛-X1，-X2，···，-Xn｝仍是NSD隨機(jī)變量序列.

（3）對(duì)任意的x1，x2，···，xn都有

（4）假設(shè)｛Yn，n≥1｝為NSD隨機(jī)序列，并且｛Xn，n≥1｝與｛Yn，n≥1｝間相互獨(dú)立，那么｛X1+Y1，X2+Y2，···，Xn+Yn｝仍是NSD隨機(jī)變量序列.

引理3.2［3］設(shè)｛Xn，n≥1｝是NSD隨機(jī)序列，滿足EXj=0，對(duì)某個(gè)p≥2，有E|Xn|p＜∞，那么對(duì)于所有n和p≥2，存在只依賴于p的正數(shù)Cp，使得

引理3.3［18］設(shè)（X，Y）是NSD隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布為F（x，y），X和Y的邊緣分布分別是FX（x），F(xiàn)Y（y），如果E|XY|，E|X|和E|Y|都有界，那么

引理3.4設(shè)X1，···，Xn為NSD隨機(jī)序列，滿足則對(duì)任意實(shí)數(shù)rj， j=1，···，n，都有

現(xiàn)取f（X）=exp（irX），g（Y）=exp（isY），那么‖f′（X）‖∞≤1＜∞，‖g′（Y）‖∞≤1＜∞，所以由式（3.3）可知，對(duì)任意的實(shí)數(shù)r，s都有

下面采用數(shù)學(xué)歸納法

I）當(dāng)n=1時(shí)，由條件（A1）知，結(jié)論成立.

II）當(dāng)n=2時(shí)，由式（3.4）可知，結(jié)論也成立.

III）當(dāng)n＞2時(shí)，假設(shè)對(duì)所有的n≤M都使得結(jié)論成立，令n=M+1.

假設(shè)ε2=1，δ2=1，k∈｛1，···，M｝，所以總存在這樣的值，使得

引理3.5［19］假設(shè)對(duì)每個(gè)一致度量ρ滿足?ε＞0，有

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2010 MSC:62F12

A CLT for weighted sums of NSD random sequences and its application in the EV regression model

Yu Yuncai，Hu Hongchang
（School of Mathematics and Statistics，Hubei Normal University，Huangshi435000，China）

By using the properties and some inequalities of negatively superadditive dependent（NSD）random sequences and the trunkated method，a central limit theorem for weighted sums of NSD random sequences is discussed，which generalizes and improves corresponding conclusions for negatively associated（NA）random sequences.As an application，the asymptotic normality of LS estimators of the unknown parameters in the variable coefficients EV regression model with NSD errors is obtained as well，which generalizes corresponding conclusions of negatively associated random sequences.

NSD random sequences，central limit theorem，EV model，LS estimators

O 212.1

A

1008-5513（2016）05-0525-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.05.009

2016-04-29.

國(guó)家自然科學(xué)基金（11471105）；湖北師范大學(xué)優(yōu)秀創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)資助項(xiàng)目（T201505）.

余云彩（1990-），碩士生，研究方向：回歸分析，時(shí)間序列分析.