崔亞飛

（天津市耀華中學(xué), 天津 300040）

議一議“全球晝夜長短變化圖像”

崔亞飛

（天津市耀華中學(xué), 天津 300040）

作者對蔡華鑫老師的文章“圖析‘晝夜長短和正午太陽高度的變化’”中繪制的圖像及解讀產(chǎn)生了疑問。通過閱讀相關(guān)文獻(xiàn)，獲取晝夜長短的計(jì)算公式，并利用Excel等常用工具重新繪制圖像，得出并印證了“全球各緯度（除寒帶外）春秋分附近晝夜長短變化幅度較夏至冬至日附近大，圖像呈現(xiàn)光滑的正余弦形態(tài)”的結(jié)論，從而指出原文繪制的圖像存在的錯(cuò)誤。對全球不同緯度晝夜長短變化圖像疊加對比，從而更清楚地看到各緯度全年晝夜長短的變化趨勢。

晝夜長短；圖像

最近閱讀了本刊2015年第20期蔡華鑫老師的文章“圖析‘晝夜長短和正午太陽高度的變化’”。文中介紹了解決“晝夜長短和正午太陽高度的變化”一類問題的關(guān)鍵突破手段，并利用相關(guān)數(shù)據(jù)圖，分別對晝夜長短變化和正午太陽高度變化從空間分布和時(shí)間變化兩個(gè)不同維度進(jìn)行了分析。通過圖像數(shù)據(jù)分析，加深學(xué)習(xí)者對此類變化規(guī)律的理解。讀罷收獲頗多，對于自己的教學(xué)也很有幫助。

在該文中，蔡老師在數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上繪制了一些坐標(biāo)圖并對圖像進(jìn)行了解讀。例如：作者繪制了“太陽直射20°N時(shí)各緯度晝長分布示意圖”（見圖1）；“40°N地區(qū)晝長周年變化示意圖”（見圖2）。

圖1　太陽直射20°N時(shí)各緯度晝長分布示意圖

圖2　40°N地區(qū)晝長周年變化示意圖

針對圖1，作者介紹了太陽直射20°N時(shí)各緯度晝長分布的規(guī)律，并對圖像做了更有價(jià)值的解讀：曲線形態(tài)接近正切余切函數(shù)曲線；在極晝極夜現(xiàn)象范圍的最外圍線上，晝長的量變達(dá)到了一個(gè)極限，有一個(gè)突變；赤道這一緯度位置的特殊性，并不表現(xiàn)在量變的劇烈程度上，反而體現(xiàn)在微小緩和的量變中孕生了質(zhì)變。分析了這類圖像，我們就更明白，為什么討論晝夜長短變化一定要關(guān)注赤道和極晝極夜范圍邊界緯線（不僅僅是極圈）了。

在圖2中，作者繪制了40°N地區(qū)一年中晝長變化的曲線圖，并得出了有意思的結(jié)論?！拔覀儼l(fā)現(xiàn)，這條曲線也是饒有趣味的，它的形態(tài)更接近拼接在一起的兩個(gè)正切余切函數(shù)曲線，就像一個(gè)倒扣著的大括號，而不是想象中的應(yīng)該是呈正弦或者余弦函數(shù)曲線，更不是兩條對接的直線線段?！薄皥D像分析顯示，晝夜長短在兩至節(jié)氣前后的變化相對更快，并且兩至前后發(fā)生了一種轉(zhuǎn)折性的突變，而不是一般意義上的漸變，這在自然界的周期性變化現(xiàn)象中似乎并不常見；而兩分節(jié)氣的特殊性，也體現(xiàn)在微小量變導(dǎo)致質(zhì)變上?！?/p>

很顯然，作者注意到這兩個(gè)圖像中很突兀的“突變”，并對此進(jìn)行了解讀，用哲學(xué)中的量變質(zhì)變來解釋，并讓感興趣的讀者不妨再研究一番。筆者對此很感興趣，從整體上來看，第一個(gè)圖像看起來是很流暢的，第二個(gè)圖像就不太好看，“這在自然界的周期性變化現(xiàn)象中似乎并不常見”，漸變過渡應(yīng)該是自然界的主旋律，那么圖2中的突變是事實(shí)如此，還是作者圖像畫錯(cuò)了呢？

我們在描點(diǎn)作圖中強(qiáng)調(diào)用平滑曲線連接，既然是平滑曲線就不會出現(xiàn)突變點(diǎn)。用數(shù)學(xué)來解釋，突變點(diǎn)就是圖像斜率的絕對值差異大。如果在繪圖中取的點(diǎn)數(shù)量有限，那么在繪圖中對于圖像走向難免會有主觀臆斷的情況出現(xiàn)。還是讓事實(shí)數(shù)據(jù)說話吧。

對于圖1所反映的突變問題，概括下來可以理解為：晝長隨緯度的變化幅度是赤道地區(qū)大，還是70°N（極晝極夜邊界緯線）大。

對于圖2所反映的突變問題，可以理解為：北緯40°N地區(qū)二分日附近晝長變化幅度大，還是二至日附近晝長變化幅度大。

本刊2013年第2期中陳寶鋼、楊秋平發(fā)表的“晝夜長短時(shí)間的時(shí)空變化探因及作圖計(jì)算”一文，文中統(tǒng)計(jì)天安門廣場二分二至日附近一個(gè)月內(nèi)，升旗時(shí)間變化數(shù)據(jù)，如圖3所示。

北京天安門廣場“二分二至”前后升旗時(shí)間月變化表（表中時(shí)間為“北京時(shí)間”）

結(jié)論是：一年中某地晝長時(shí)間的變化速度與太陽直射點(diǎn)一年中回歸運(yùn)動緯度位置變化量有著密切的一致性?！啊痢昂笾鄙潼c(diǎn)位于回歸線附近時(shí)緯度移動速度變化量小，此時(shí)北京的晝長時(shí)間變化速度也小；‘二分’前后直射點(diǎn)位于赤道附近時(shí)緯度移動速度變化量大，此時(shí)北京的晝長時(shí)間變化速度也大?！?/p>

以統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)得出的結(jié)論可以看出，圖2中二分日附近圖像斜率絕對值應(yīng)該大，二至日附近圖像的斜率絕對值小，這樣就不會出現(xiàn)蔡老師所擔(dān)心的“突變”問題了，圖像是光滑的曲線，且近似于正余弦曲線。關(guān)于量變與質(zhì)變的討論也就沒有必要了。

如果我們更深入一步去研究，其實(shí)一個(gè)地區(qū)晝夜長短是可以計(jì)算的。黨鋼軍老師在“地球上各地晝夜長短的計(jì)算公式”、李宇洋同學(xué)在“晝夜長短計(jì)算公式推導(dǎo)”中分別從數(shù)學(xué)老師和高中文科生的角度利用高中數(shù)學(xué)知識給出了推導(dǎo)公式。有了公式，我們就可以利用幾何畫板或Excel等常用工具較為精確地繪出圖像。

以黨鋼軍老師推導(dǎo)的公式為例：

公式中角的單位用度表示，時(shí)間單位用小時(shí)表示。式中φ為地理緯度，δ為太陽直射點(diǎn)緯度，當(dāng)φ、δ表示南緯時(shí)取負(fù)值，φ≠±90°；在δ=±23°26′時(shí)，|φ|≤66°34′，任何一天的δ可在天文年歷上查到。

在這個(gè)公式的基礎(chǔ)上，利用Excel的散點(diǎn)圖功能，當(dāng)太陽直射北緯20°時(shí)，δ=20°，繪制全球各緯度晝長分布圖（圖4）。

圖4　

根據(jù)上述公式，極晝極夜因?yàn)樘厥獠辉谟?jì)算范圍內(nèi)，故圖中北緯70°以北圖像變?yōu)?，此處應(yīng)為24小時(shí)。從圖中可以看出，晝長變化幅度是高緯度比赤道地區(qū)大，在極晝極夜的邊界地區(qū)南北緯70°附近斜率絕對值趨于無窮大。從中可以看出，蔡老師的第一個(gè)圖是正確的，曲線接近正余切的形態(tài)。但筆者不太同意量變引起質(zhì)變的說法，晝長向兩極是逐漸變化的，只不過不是線性，靠近兩極變化幅度大而已，平穩(wěn)過渡到了晝夜長短的最值。

根據(jù)公式繪制北緯40°地區(qū)全年晝長變化曲線如圖5所示。

分析圖像可知，在夏至日和冬至日，圖像的斜率絕對值較小，晝長變化幅度要小于春分日和秋分日，圖像呈正余弦函數(shù)形態(tài)，沒有出現(xiàn)所謂的突變點(diǎn)。這與上文中陳寶鋼老師的結(jié)論是一致的。這也說明了蔡老師在繪制圖2的時(shí)候出現(xiàn)了錯(cuò)誤。

把0°N、20°N、40°N、60°N、66.5°N、80°N的全年晝長變化曲線合成后如圖6所示，從中可以看出從赤道向兩極晝長的變化趨勢。這種趨勢是漸變的，符合自然界的一般規(guī)律。

圖5　

圖6　

筆者在耀華中學(xué)指導(dǎo)星緣天文社活動，對和高中地理相關(guān)的地理知識關(guān)注也較多，平時(shí)也搜集了一些有趣的小軟件。其中一個(gè)是內(nèi)布拉斯加大學(xué)林肯分校（UNL）制作的教學(xué)動畫，從中可以演示不同緯度晝長年變化曲線，有興趣的老師可以用來輔助教學(xué)。分享鏈接：http://pan.baidu.com/s/1sk4opwp，或手機(jī)掃描二維碼。

[1] 蔡華鑫.圖析“晝夜長短和正午太陽高度的變化”[J].地理教學(xué),2015,(20):45-47.

[2] 陳寶鋼,楊秋平.晝夜長短時(shí)間的時(shí)空變化探因及作圖計(jì)算[J].地理教學(xué),2013,(2):28-30.

[3] 黨鋼軍.地球上各地晝夜長短的計(jì)算公式[J].數(shù)學(xué)通訊,2003,(13):29-30.

[4] 李宇洋,陳艷紅,張引.晝夜長短計(jì)算公式推導(dǎo)[J].地球,2012,(12):105.