◇　甘肅　孫小剛

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標本兼治，藥到病除
——二次函數(shù)零點分布情況教后記

◇甘肅孫小剛

二次函數(shù)零點(一元二次方程根)的分布情況歷來是學生學習的一個難點,尤其是學生很難對具體問題中的限制條件挖掘完整和準確．教師在教這部分知識的過程中最普遍的方法是結(jié)合函數(shù)圖象來分析教學,有些題也可以用根與系數(shù)的關系來推理求解,在圖象的直觀引導下,學生很容易理解,但是在具體解題時還要結(jié)合判別式,失誤率很高.這種單純觀察圖象的方法就相當于治病中的“治標”．要想徹底解決學生在這個知識點的問題,結(jié)合圖象依據(jù)零點定理是一種“治本”的好方法．

零點定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,c也就是方程f(x)=0的根．零點定理的圖象解釋是:圖象連續(xù)不斷開,且在區(qū)間(a,b)上存在“變號零點”,即f(a)f(b)<0.

例1的“條件”有6類：

1) 一個零點大于1,另一個零點小于1. 由零點定理發(fā)現(xiàn),只需f(1)<0即滿足要求,可得出0

5) 2個零點都大于1,解法和思路與(4)相同,可得結(jié)論a>2.

以上6類問題主線就是零點定理的圖象解釋,老師先示范第1)類之后,其他5類由學生分組討論,最后各組展示他們挖掘的控制條件的含義,相互學習、共同分享．在此基礎上,老師再給予引導,考慮二次項系數(shù)含參數(shù)的情況．

當二次項系數(shù)不確定時,只需按照二次項系數(shù)分類之后,各類情況下的分析與上述思路相同．

例2的“實根分布情況”分以下6類討論：

1) 一個根小于1,另一個根大于1.

在二次函數(shù)中,二次項系數(shù)影響圖象的開口方向,開口方向不同,零點分布的控制條件也不同．本例中二次項系數(shù)未知,因此要分類討論．當m>0時,需f(1)<0;當m<0時,需f(1)>0,解得m>0或m<-4.

2) 一個根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一個根在區(qū)間(1,2)內(nèi). 類比于1),按照m>0和m<0分類討論得到

求解即可．

尚剩下4種分布情況：3) 一個根小于-1,另一個根大于0； 4) 2個根都大于1；5) 2個根都小于-1；6) 2個根都在區(qū)間(-1,1)內(nèi). 對這4類可以做類似的討論,不再贅述．另外,當一元二次方程有等根(或二次函數(shù)有一個零點)時的情況不能用零點定理,零點就在拋物線的頂點處,學生容易掌握．

圖象和判別式以及對稱軸是“表”,零點定理是“里”,表里兼顧,能使學生達到真正意義上的認識和理解,降低了學生理解的難度,提高了學生做題的準確率．可謂是標本兼治,藥到病除．

甘肅省嘉峪關市一中)