林靜+唐國強+覃良文

摘 要 在金融時間序列中，一組金融序列可被視為由不同時間段的分段函數擬合連接而成.利用3σ準則確定分段函數的臨界點，并根據AIC準則及調整后R2對分段點進行驗證，從而分段點把數據分割成兩部分.對兩序列分別用合適的函數進行擬合，并用ARMA-GARCH模型對殘差序列進行修正.由上證綜合指數數據的實證分析結果表明：3σ準則能很好地檢索出臨界點，同時建立的分段函數模型預測效果要優(yōu)于ARMA與EGARCH模型，以及ARMA-GARCH模型的引入對模型的精確度有所提高.所介紹的方法簡單易懂、便于操作、精度高，為金融投資者和學者提供參考價值.

關鍵詞 應用統(tǒng)計數學；分段擬合；拉依達準則；GARCH模型；臨界點

中圖分類號 F224 文獻標識碼 A

Abstract In the financial time series， a group of financial sequence can be used as a function， in which piecewise fitting connection is made in different time periods. The Pauta criterion was exploited to determine the critical point of piecewise functions， according to AIC guidelines and coefficient of determination after adjustment to test breaking point， thus the staging point split the data into two parts. Two sequences were fitted with the appropriate function， and ARMA-GARCH model was used to amend the residual sequence. The empirical results of Shanghai composite index show that the 3 σ guidelines can retrieve critical point commendably. At the same time， the forecasting efficiency of piecewise function model is better than ARMA model and EGARCH model. Also， the precision of the model is improved by the introduction of ARMA-GARCH model. Moreover， the method is simple， easy to understand and operate， and accurate， which provides reference value for financial investors and scholars.

Key words Application of statistical； Sub-fitting； Pauta criterion； GARCH model； Critical point

1 引 言

從金融數據產生至今，對金融數據的分析一直是金融研究領域中一個倍受關注的焦點[1].運用科學的預測方法對金融序列進行預測具有十分重要的意義.從序列趨勢波動的視角分析，序列的走勢往往會呈現(xiàn)短期的上升或下降.在分析金融序列波動的趨勢的基礎上，提出了建立分段函數來對序列進行擬合.以分段函數的分段點作為突破點，在不同的時間區(qū)域中擬合合適的函數.

在分析較為復雜的數據時，往往采用分段曲線在區(qū)間內進行擬合逼近.趙麗坤和劉陽（2010）[2]指出分段函數是指自變量在不同范圍取值時，有著不同的對應法則的一種函數，即用幾個或無窮個解析式來近似表示曲線的函數.在實際生活中，很多問題都是多方面的，要考慮全面時常離不開分類討論的思想，此時在解決日常生活中的問題（如，移動通話收費標準、個人應納稅所得稅額、購物等）通常需要用到分段函數的模型函數.張興元 （2007） [3]為了克服分段曲線擬合方法中存在不連續(xù)性與不可導性的缺陷，提出了一種分段函數的光滑算法，該方法在凸輪實驗數據分段曲線擬合中得到了很好的擬合效果；劉麗坤和劉陽（2010） [4]采用系統(tǒng)工程的方法，并建立分段函數模型，和結合風險評價的復合方法對風險項目各階段做出動態(tài)的決策.對于分段函數研究，很多學者是側重于理論上對分段函數的求導與連續(xù)性來確定分段點的某個角度的定性認識，缺乏一定的說服力，而在文章中從定量的角度上確定分段點，引入拉依達準則進行確認分段點，使得分段函數模型更具有有效性與說服力.對于拉依達準則的研究，往往被應用于異常值的確定.陳俊等（2007） [5]在研究捕食模型的高精度參數估計中，針對時間變量出現(xiàn)的誤差，采用了拉依達準則進行篩選，最終提出了一種較為簡單的參數分段的動態(tài)估計算法.最近30年來，GARCH模型的應用在金融領域中發(fā)揮了較好的作用.劉青 （2015） [6]對上證綜合指數收益率建立GARCH族模型進行比較，結果表明指數GARCH（EGARCH）模型可更好的預測資產收益率的波動過程.

借鑒以上研究中的一些基本成果，建立合理的預測模型，并與文獻[6]推薦建立的EGARCH模型作對比，結果表明修正后的模型精度優(yōu)于修正前的模型和EGARCH模型.文中的創(chuàng)新點在于運用拉依達準則確定分段函數的分段點和運用ARMA-GARCH模型修正殘差序列.對分段點的確定實際上是逐步擬合合適的模型，找出異常的殘差值.異常的殘差對應的樣本值是嚴重地偏離預測值，表明該樣本點不宜于在該曲線上或者是不宜于用該曲線去擬合該樣本點.異常值的判斷，往往可以采用拉依達準則來確定.endprint

3 基于3σ準則的分段擬合

及模型修正的建模分析

3.1 數據的選取

在文章中，把上證綜合指數作為研究對象進行說明文章的思想.上證綜合指數是由上海證券交易所編制，用于體現(xiàn)上海證券市場層次豐富及行業(yè)拓展的市場結構和變化特征，同時是國際資本市場的一個重要參考數字[9].為了驗證3σ準則用于分段擬合與ARMA-GARCH的修正模型的有效性，文中數據來源于同花順金融網（數據來源路徑：http：//q.10jqka.com.cn/stock/zs/szzs/）.利用收集到2014年6月3日到2016年4月30日的上證綜合指數收盤價數據進行建模分析，總計469個數據（記為序列X，作為訓練集，見圖1所示）.而2016年5月3日至2016年5月30日的上證綜合指數數據為樣本外檢驗數據，共20個數據.利用計量經濟分析軟件Eviews6.0和RStudio軟件完成上證綜合指數的建模過程.3.2 分段函數臨界點的確定（3σ準則）

從圖1中，可觀察序列X前面一部分數據與后面一部分數據的波動情況不一致，總體上是先上升后下降，則采取分段函數的方法把數據分成兩部分進行建模.但是，對于分段函數的臨界點的確定成為了文章的關鍵.

對前面50%數據（1-235）進行指數、二次函數、線性函數、對數函數、冪函數進行擬合，結果發(fā)現(xiàn)二次函數的擬合效果最好，求出預測值，并算出前面235個樣本殘差序列的3σ區(qū)間（-411.495，413.352），以及全部數據的殘差.由表1可知，在第一擬合時，發(fā)現(xiàn)第259號殘差的值不介于殘差序列的3σ區(qū)間，則緊接著對前面258個樣本重新擬合；從而得到前面258個樣本殘差序列的3σ區(qū)間為（-424.447，427.146），但是第259號殘差值開始就不介于該區(qū)間內，則擬合結束，臨界點為t=259.

方差方程中的ARCH和GARCH項的系數都是統(tǒng)計顯著的，并且AIC和SIC值均變小，R方達到0.16.用以上ARMA（2，2）-GARCH（1，1）模型作殘差序列的修正模型，擬合效果是比較理想的，走勢基本一致，兩曲線基本是重合的（見圖2）.因此引入ARMA-GARCH模型作修正模型能夠更好的擬合數據，有助于提高模型的精度.

3.5 預測模型的有效性比較

綜合式（3，4，5），可得出文章的最終模型，與對上證綜合指數建立的ARMA模型做對比，并對樣本外的數據進行預測，結果見下圖3.

從圖3可知，修正后的模型預測值以及走勢最接近于上證綜合指數收盤價實際值，而修正前的模型預測值和ARIMA（4，1，4）模型的預測值較為接近，EGARCH模型偏離實際值較大，均不如文中介紹的修正前與修正后的模型接近.經過計算2016年5月份20期四種模型的殘余誤差絕對值的和∑20i=1εi，其值依次分別為1 205.18，1 876.51，1 879.02，2 617.32.

由此可見，修正后模型的誤差值最小，其次為修正前的模型，再者為ARIMA模型.在四種模型的比較中，修正后的模型對實際收盤價的預測性能要優(yōu)于常規(guī)建立的ARIMA模型、EGARCH模型和修正前的模型；而修正前的分段函數模型的預測效果稍微比ARIMA模型要好，但是效果不是很明顯.從方法的角度出發(fā)，引入ARMA-GARCH模型對分段函數模型殘差做修正模型的預測效果有所提高；同時，用3σ準則確定臨界點來建立的分段函數也可以提高模型的精度.四種模型所預測的二十期的預測值及其95%置信度區(qū)間如表6所示：

4 結 論

針對文章提出的模型修正以及樣本區(qū)間確定的問題，采取了3σ準則確定樣本區(qū)間的選擇，并運用ARMA-GARCH模型對殘差進行擬合，從而起到了模型修正的作用，有效地降低了誤差值.根據上證綜合指數的走勢以及波動情況，從觀察的視角出發(fā)，建立分段函數模型可能會比其他模型更有說服力.通過基于拉依達準則對上證綜合指數建立分段函數，然后運用ARMA-GARCH模型對殘差序列擬合，并與殘差修正前模型、ARMA模型和EGARCH模型作對比，得出以下結論：

1）對于分段函數的分段點的確定是十分困難的，而文中提出引入3σ準則的方法恰好可以克服了這個問題，為文章后面分段擬合做鋪墊，可以提高模型的精度，同時也為投資者提供了一種較為簡單的分段函數方法.

2）分段函數的殘差序列存在顯著的ARCH效應，建立ARMA-GARCH模型可以提高模型的精度；從模型比較的角度出發(fā)，修正后的模型的擬合效果和預測效果均優(yōu)于其他三種模型.通過修正前與修正后的模型對比，結果顯示引入ARMA-GARCH模型對殘差序列進行修正可以提高模型的精度，降低模型的誤差，該修正方法可以給廣大學者作參考.

參考文獻

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