王琳琳，盧玫，黃鑒，崔闖

（上海理工大學(xué)，能源與動(dòng)力工程學(xué)院，熱工程研究所，上海200093）

1 引 言

世界衛(wèi)生組織預(yù)測21世紀(jì)惡性腫瘤將成為人類“第一殺手”，故癌癥控制及治療已成為全球性的衛(wèi)生戰(zhàn)略重點(diǎn)。紅外熱成像技術(shù)是非接觸遙感檢測，對被測目標(biāo)無損害，重復(fù)性強(qiáng)，能直觀的體現(xiàn)被測范圍內(nèi)的溫度值，利用熱像圖獲取表面溫度信息進(jìn)而獲取腫瘤相關(guān)信息的做法，可以作為一個(gè)含有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱反問題。這是一個(gè)極有意義的研究方向[1-2]。通過研究生物傳熱及其醫(yī)學(xué)應(yīng)用，建立人體傳熱模型，實(shí)現(xiàn)早期病變細(xì)胞和人體內(nèi)部異常熱源的定量診斷[3-4]。

研究者求解導(dǎo)熱反問題時(shí)用到的優(yōu)化算法有遺傳算法[5]，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[6]，模式搜索法[7]等。蟻群算法[8]具有自組織性和較強(qiáng)的魯棒性，且易于實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算等特點(diǎn)，目前已經(jīng)滲透到多個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域[9-10]。

本研究以紅外熱像儀檢測腫瘤為應(yīng)用背景，建立石蠟?zāi)Ｐ?，通過紅外測溫技術(shù)，利用改進(jìn)蟻群算法來反演二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的熱源強(qiáng)度和表面換熱系數(shù)，并研究溫度測點(diǎn)選取對反演結(jié)果的影響。

2 導(dǎo)熱反問題模型

本研究討論的導(dǎo)熱反問題物理模型見圖1。一截面形狀為矩形、兩端絕熱的柱體中有一個(gè)位置確定、熱源強(qiáng)度q未知的線熱源，柱體置于溫度為tf的環(huán)境中。

圖1 二維導(dǎo)熱問題物理模型Fig 1 Physicalmodel of 2D heat conduction problem

由于柱體兩端絕熱，上述導(dǎo)熱問題可以簡化為含有內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，對應(yīng)的導(dǎo)熱微分方程為：

對于熱源項(xiàng)，其值如下：

邊界條件為：

由于式（1）、式（2）、式（3）中熱源強(qiáng)度 q和表面換熱系數(shù)h未知，故求解時(shí)必需增加式（4）所示的補(bǔ)充條件。

式（1）-式（3）中，λ為導(dǎo)熱系數(shù)，W／（m·℃）；t為溫度，℃；Φ為點(diǎn)熱源強(qiáng)度，W／m2；h為表面換熱系數(shù)，W／（m2·℃）；tf為環(huán)境溫度，℃；ti為實(shí)驗(yàn)測得的測點(diǎn)溫度值，℃。

把每次計(jì)算迭代得到熱源強(qiáng)度Φ和換熱系數(shù)h代入到式（1）～式（3）所描述的導(dǎo)熱正問題中，計(jì)算得到導(dǎo)熱區(qū)域的溫度場，并找出對應(yīng)各測點(diǎn)的溫度計(jì)算值tci，與式（4）給出的實(shí)測溫度值ti建立式（5）所示目標(biāo)函數(shù)J。當(dāng)J小于一預(yù)設(shè)給定值時(shí)，對應(yīng)的Φ和h即為反演結(jié)果。

3 改進(jìn)蟻群算法

螞蟻在尋找食物時(shí)，能在它所經(jīng)過的路徑上留下分泌物質(zhì)—信息素，這種信息素可被一定范圍內(nèi)的其他螞蟻覺察到，隨著越來越多的螞蟻通過該路徑，信息素的濃度也越來越大，從而表現(xiàn)出強(qiáng)大的尋優(yōu)能力。

求解熱源強(qiáng)度和物體表面換熱系數(shù)屬于連續(xù)域優(yōu)化問題，其解空間是一種區(qū)域性的表達(dá)方式，而不是以離散的點(diǎn)集來表示的，因此，本研究采用基于網(wǎng)格劃分策略的連續(xù)域改進(jìn)蟻群算法進(jìn)行求解，即在變量區(qū)域內(nèi)分割網(wǎng)格，螞蟻在各個(gè)空間網(wǎng)格點(diǎn)之間移動(dòng)，并在各網(wǎng)格點(diǎn)上留下信息素，以此影響后續(xù)螞蟻的移動(dòng)方向。循環(huán)一段時(shí)間后，目標(biāo)函數(shù)值小的網(wǎng)格區(qū)域信息素濃度比較大，找出該網(wǎng)格區(qū)域，并在此網(wǎng)格區(qū)域附近細(xì)分網(wǎng)格。不斷重復(fù)這一過程，直到滿足算法的停止條件為止。

圖2 解空間組成Fig 2 The state space of the solution

設(shè)n個(gè)反演參數(shù)構(gòu)成一個(gè)n級決策問題，每一個(gè)變量的求解區(qū)域分成N等份，N＋1個(gè)節(jié)點(diǎn)。這樣n級決策問題的解空間由（N＋1）×n個(gè)節(jié)點(diǎn)組成，如圖2所示，每個(gè)節(jié)點(diǎn)對應(yīng)一條路徑。

螞蟻從第1級到第n級之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率可按下式進(jìn)行計(jì)算：

式中τij為第j級第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的信息素強(qiáng)度，其更新方程為：

其中，ρ表示信息素?fù)]發(fā)系數(shù)；Q是螞蟻每次轉(zhuǎn)移過程中在路徑上所釋放的信息素總量；f為路徑的長度，其值為目標(biāo)函數(shù)值。

本研究反演參數(shù)為熱源強(qiáng)度q和表面換熱系數(shù)h，即n＝2。設(shè)x1為熱源強(qiáng)度；x2為換熱系數(shù)。粗略估計(jì)反演參數(shù)可能的取值范圍：xj，min≤xj≤ xj，max（j＝1，2）。其反演步驟如下：

（1）初始化每個(gè)節(jié)點(diǎn)的信息素ηij（0）＝C，設(shè)置Q，ρ，ε1，ε2，最大迭代次數(shù) Ncmax。

（2）設(shè)定 N，計(jì)算 Δxj，即 Δxj＝（xj，max-xj，min）／N（j＝1，2）；

（3）蟻群迭代次數(shù)Nc＝Nc＋1（Nc初始時(shí)刻為零），對每只螞蟻按式（6）選擇路徑，并將螞蟻選擇的路徑寫到禁忌表（記錄螞蟻已走過的路徑，避免重復(fù)計(jì)算）中。

（4）將所選路徑即螞蟻所找到的熱源強(qiáng)度q和表面換熱系數(shù)h帶入式（1）、式（2）、式（3）正問題計(jì)算，并利用式（5）所描述的計(jì)算目標(biāo)函數(shù)J。

（5）按式（7）更新所選路徑的信息素。

（6）若目標(biāo)函數(shù)值 J≤ε1（ε1為預(yù)設(shè)常數(shù)，用于結(jié)束計(jì)算），算法停止，否則進(jìn)行下一步。

（7）若目標(biāo)函數(shù)值 J≤ε2（ε2為預(yù)設(shè)常數(shù)，用于網(wǎng)格劃分，且 ε1＜ε2），進(jìn)行下一步，否則跳轉(zhuǎn)到9）。

（8）根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值，找到全局最優(yōu)螞蟻所走路徑 xj，縮小變量取值范圍：xj，min＝xj-ψ·Δxj、xj，max＝xj＋ψ·Δxj，其中 j＝1，2，跳轉(zhuǎn)到2）（ψ為常數(shù)）。

（9）若 Nc＜Ncmax成立轉(zhuǎn)到 3），否則，迭代結(jié)束。

4 實(shí)驗(yàn)及紅外測溫

石蠟是有機(jī)物，相對于金屬或者非金屬更接近于人體，且其導(dǎo)熱性能介于熱的良導(dǎo)體和不良導(dǎo)體之間；并且石蠟具有很好的可塑性，便于加工成形，因此，實(shí)驗(yàn)采用石蠟?zāi)M柱體試件，先制作一長×寬×高為0.3m×0.1m×0.1m的模具，在固定位置沿軸向，放入一根電阻絲，然后將石蠟加熱熔化成液體后澆注到模具中，冷卻固化。電阻絲直徑很小可忽略，其在柱體橫截面上的坐標(biāo)為（0.0605，0.0355）。

實(shí)驗(yàn)裝置見圖3，石蠟試件兩端貼有泡沫板用以絕熱，四個(gè)側(cè)表面處于自然對流的空氣中。電阻絲外接電源，通過調(diào)節(jié)電壓來控制加熱功率。接通電源保持4 h后，分別用電壓表、電流表測量加熱電壓和電流，用紅外熱像儀測量石蠟試件表面溫度，確保試件溫度場到達(dá)了穩(wěn)態(tài)。實(shí)驗(yàn)工況參數(shù)見表1，實(shí)驗(yàn)過程中石蠟試件未發(fā)生熔解。

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig 3 Experimental setup

表1 熱源參數(shù)及環(huán)境溫度表Table 1 Values of heat source and the environment tem perature

實(shí)驗(yàn)工況達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，用紅外熱像儀測得x＝0.1 m的表面上的紅外熱像圖，見圖4。取試件水平中心線上的點(diǎn)作溫度曲線，即如圖4下方曲線，可以看出，沿試件長度方向溫度基本一致，除兩端溫度有所下降外。

圖4 x＝0.1m的表面上的紅外熱像圖Fig 4 The infrared thermal image on the surface of x＝0.1m

在所取截面x＝0.1 m邊界選取多個(gè)測點(diǎn)，從紅外熱像圖上讀得溫度值，如圖5星號(hào)所示?？梢钥闯觯@些點(diǎn)上的溫度值沿邊界有一個(gè)總體變化的趨勢，在離熱源近的位置溫度比較高，之后向兩邊降低。但相鄰點(diǎn)上下有所波動(dòng)，這是由于表面光潔度不完全一致等原因造成的表面發(fā)射率不同引起的測溫誤差。將測點(diǎn)溫度進(jìn)行曲線擬合，取x＝0.1 m表面擬合曲線的點(diǎn)作為測點(diǎn)，位置及溫度見表2。

圖5 x＝0.1m的表面溫度分布圖Fig 5 Temperature profile on the surface of x＝0.1m

表2 x＝0.1m表面上的測點(diǎn)位置及溫度Table 2 Measuring points′position and temperature on the surface of x＝0.1m

5 計(jì)算結(jié)果

本研究計(jì)算中參數(shù)設(shè)置為：螞蟻個(gè)數(shù)m＝20，信息素?fù)]發(fā)系數(shù)ρ＝0.3，信息素Q＝20，N＝40，Ncmax＝30，熱源強(qiáng)度設(shè)定最小值 x1，min＝1，最大值 x1，max＝10，表面換熱系數(shù)最小值 x2，min＝1，最大值 x2，max＝10，ε1＝0.01，ε2＝0.05。

蟻群算法是一種概率算法，因此，搜索結(jié)果存在一定的偶然性。為了避免此類情況的發(fā)生，本研究在討論測點(diǎn)信息對計(jì)算結(jié)果的影響時(shí)，分別計(jì)算10次求其平均值。在用蟻群算法計(jì)算導(dǎo)熱反問題時(shí)，需要補(bǔ)充測點(diǎn)溫度，由于紅外熱像儀測溫是連續(xù)的，故反演時(shí)所選用的測點(diǎn)均布在試件表面豎直中心線上。為了了解測點(diǎn)個(gè)數(shù)對反演結(jié)果的影響，測點(diǎn)布置方式見表3。石蠟試件處于自然對流換熱的空氣中，不同測點(diǎn)位置及個(gè)數(shù)反演計(jì)算所得的熱源強(qiáng)度和表面換熱系數(shù)見表4。

表3 測點(diǎn)布置方式Table 3 Arrangement of measuring points

表4 不同測點(diǎn)布置方式的反演結(jié)果Table 4 Calculation results with different arrangement of measuring points

表5為測點(diǎn)布置不同時(shí)反演出熱源強(qiáng)度的誤差，可以看出，計(jì)算得到的熱源強(qiáng)度和真實(shí)值誤差最大時(shí)為4.554%，最小時(shí)只有0.056%，誤差比較小，且反演計(jì)算得到的物體表面換熱系數(shù)也在合理范圍內(nèi)，故計(jì)算結(jié)果可靠。因此，利用紅外熱像儀測量的溫度能夠反演出正確的熱源強(qiáng)度和表面換熱系數(shù)。

表5 不同測點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)反演出的熱源強(qiáng)度誤差Table 5 Error of calculation results in heat-source intensity with different number of measuring point

在相同測點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況下，在整個(gè)邊界上均勻布置測點(diǎn)（方式3）比在部分邊界上均勻布置測點(diǎn)（方式1、方式2），更能反映整體溫度場信息，則測點(diǎn)所具有的測量信息越多，使得導(dǎo)熱反問題更容易反演計(jì)算出準(zhǔn)確的熱源強(qiáng)度和表面換熱系數(shù)。不同測點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，比較方式3和方式4，在整個(gè)邊界上均勻布置測點(diǎn)的個(gè)數(shù)越多，其包含的測量信息越多，在反演導(dǎo)熱反問題時(shí)計(jì)算步數(shù)越少，反演結(jié)果越精確。

6 結(jié)論

本研究將供電的電熱絲放置在矩形柱狀石蠟試件中，利用石蠟?zāi)M柱體試件，供電的電熱絲模擬線熱源，建立含有內(nèi)熱源二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱模型。通過紅外熱像儀獲得試件表面的溫度場，并選用若干點(diǎn)溫度作為求解反問題的補(bǔ)充條件，結(jié)合蟻群算法，同時(shí)反演計(jì)算熱源強(qiáng)度和表面對流換熱系數(shù)，并討論了的不同的測點(diǎn)布置方式對反演結(jié)果的影響。計(jì)算結(jié)果表明：采用紅外熱像儀測溫，結(jié)合改進(jìn)蟻群算法可準(zhǔn)確地對熱源強(qiáng)度和表面換熱系數(shù)進(jìn)行反演識(shí)別。在整個(gè)邊界上均勻布置測點(diǎn)的個(gè)數(shù)越多，其包含的測量信息越多，在反演導(dǎo)熱反問題時(shí)計(jì)算步數(shù)越少，反演結(jié)果越精確。在測點(diǎn)個(gè)數(shù)相同時(shí)，在整個(gè)邊界上均勻布置測點(diǎn)比在部分邊界上均勻布置測點(diǎn)，更能反映整體溫度場信息，測點(diǎn)所具有的測量信息越多，使得導(dǎo)熱反問題更容易反演計(jì)算出準(zhǔn)確的結(jié)果。根據(jù)紅外熱像儀檢測數(shù)據(jù)反演識(shí)別內(nèi)熱源的參數(shù)，可為腫瘤紅外熱像檢測的有效定量分析提供理論依據(jù)。