張欣欣,閆雷,武海軍,黃風(fēng)雷

(1.北京理工大學(xué)爆炸科學(xué)與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100081; 2.山東特種工業(yè)集團(tuán)有限公司,山東淄博255201)

考慮剪脹效應(yīng)的混凝土動(dòng)態(tài)球形空腔膨脹理論

張欣欣1,閆雷2,武海軍1,黃風(fēng)雷1

(1.北京理工大學(xué)爆炸科學(xué)與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100081; 2.山東特種工業(yè)集團(tuán)有限公司,山東淄博255201)

在考慮混凝土的壓縮和擴(kuò)容特性條件下,建立了動(dòng)態(tài)球形空腔膨脹理論,其中完整的靶體響應(yīng)為密實(shí)區(qū)-擴(kuò)容區(qū)-開裂區(qū)-彈性區(qū),在擴(kuò)容區(qū)采用擴(kuò)容方程?；谏鲜隼碚摰玫搅丝涨槐砻鎽?yīng)力與膨脹速度的表達(dá)式,使用侵徹方程計(jì)算不同工況的侵徹深度并與試驗(yàn)值作對(duì)比,同時(shí)對(duì)混凝土強(qiáng)度參數(shù)和壓縮系數(shù)對(duì)彈體侵徹深度的影響規(guī)律進(jìn)行研究。結(jié)果表明:該模型可以較好預(yù)測(cè)侵徹深度,具有一定的合理性;混凝土強(qiáng)度參數(shù)中壓力硬化系數(shù)對(duì)侵徹深度的影響較大,隨著彈體初速度增大應(yīng)考慮混凝土材料的剪切飽和性質(zhì);隨著壓縮系數(shù)不斷減小,混凝土材料由壓縮轉(zhuǎn)為膨脹狀態(tài),導(dǎo)致空腔表面應(yīng)力增加,侵徹深度降低。

兵器科學(xué)與技術(shù);混凝土;球形空腔膨脹理論;剪脹效應(yīng);侵徹

DOI:10.3969/j.issn.1000-1093.2016.01.007

0 引言

空腔膨脹理論是一種最基本的理論方法用來求解侵徹過程中彈體表面的受力情況?？涨慌蛎浝碚撟畛跤葿ishop等[1]提出,他們于1945年建立了準(zhǔn)靜態(tài)空腔膨脹理論,用于研究錐形頭部沖桿的受力。之后Goodier[2]最先把該理論應(yīng)用于彈體侵徹上,通過一系列合理的假設(shè),對(duì)球形空腔膨脹理論進(jìn)行修改,得到了球形彈體在靶體中總阻力,再由運(yùn)動(dòng)方程得到了侵徹規(guī)律。Forrestal等[3]對(duì)可壓縮彈塑性靶體進(jìn)行球形空腔膨脹分析,得到了空腔表面應(yīng)力與膨脹速度之間的關(guān)系,其中靶體采用線性靜水壓力-體積應(yīng)變關(guān)系以及Tresca屈服準(zhǔn)則,靶體響應(yīng)為塑性區(qū)-彈性區(qū)。Forrestal等[4]采用線性靜水壓力-體積應(yīng)變關(guān)系及帶拉伸破壞的Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則對(duì)混凝土的球形空腔膨脹進(jìn)行研究,得到了可壓縮及不可壓縮情況下空腔表面應(yīng)力和膨脹速度的關(guān)系式。Satapathy[5]在文獻(xiàn)[3-4,6-7]的研究基礎(chǔ)之上采用Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則對(duì)陶瓷材料進(jìn)行了球形空腔膨脹分析。李志康等[8]在前人研究成果的基礎(chǔ)上,基于簡(jiǎn)化后的Holmguist-Johnson-Cook三段式靜水壓力-體積應(yīng)變關(guān)系以及Mohr-Coulomb Tresca-limit屈服準(zhǔn)則建立了比較完備的空腔膨脹模型。

上述文獻(xiàn)中描述混凝土的靜水壓力和體積應(yīng)變的方程均為壓縮方程,而在混凝土試件的三軸壓縮試驗(yàn)中可觀察到混凝土的剪切擴(kuò)容現(xiàn)象,即隨著靜水壓力的增大,混凝土體積呈現(xiàn)膨脹狀態(tài)。

Thomas等[9]分別采用不同的加載路徑(靜水壓加載,三軸加載,比例加載)對(duì)混凝土實(shí)際變形進(jìn)行試驗(yàn),由試驗(yàn)結(jié)果可得,混凝土材料在靜水壓加載情況下,所受各向應(yīng)力均相等,材料一直呈現(xiàn)壓縮狀態(tài),但在三軸加載時(shí),隨著偏應(yīng)力的出現(xiàn)并逐漸增大混凝土材料會(huì)由壓縮轉(zhuǎn)向膨脹狀態(tài)。Xuan等[10]分別對(duì)不同飽和度的混凝土進(jìn)行三軸試驗(yàn),結(jié)果顯示,材料在偏應(yīng)力的作用下會(huì)出現(xiàn)剪脹現(xiàn)象,并且壓縮-擴(kuò)容的轉(zhuǎn)折應(yīng)力點(diǎn)和材料的屈服極限相近。He等[11]和Guo等[12]分別建立了考慮混凝土剪脹效應(yīng)的動(dòng)態(tài)球形和柱形空腔膨脹模型,該模型采用彈性-開裂-密實(shí)分區(qū),并且在密實(shí)區(qū)引入擴(kuò)容方程,使用該模型計(jì)算得到的侵徹深度值和試驗(yàn)結(jié)果較符合,表明模型具有一定合理性。

由文獻(xiàn)[13-14]可得,在較高靜水壓加載下,混凝土靶體擴(kuò)容特性消失,只呈現(xiàn)壓縮狀態(tài)。因此本文在上述研究的基礎(chǔ)上,同時(shí)考慮混凝土材料的壓縮和擴(kuò)容特性,建立了動(dòng)態(tài)球形空腔膨脹模型,將靶體分為密實(shí)區(qū)、擴(kuò)容區(qū)、開裂區(qū)以及彈性區(qū),在擴(kuò)容區(qū)采用擴(kuò)容方程,在密實(shí)區(qū)采用壓縮方程,得到空腔表面徑向應(yīng)力和膨脹速度的擬合表達(dá)式,利用侵徹公式對(duì)卵形彈體的侵徹深度進(jìn)行計(jì)算并與試驗(yàn)值作對(duì)比,同時(shí)研究混凝土強(qiáng)度參數(shù)及壓縮系數(shù)對(duì)侵徹深度的影響規(guī)律。

1 球形空腔膨脹理論

本文在前人研究的基礎(chǔ)上,同時(shí)考慮混凝土的壓縮及擴(kuò)容特性,形成新的空腔膨脹理論。該模型具有彈性區(qū)、開裂區(qū)、擴(kuò)容區(qū)以及密實(shí)區(qū),空腔膨脹分區(qū)形式如圖1所示。

圖1 動(dòng)態(tài)球形空腔膨脹分區(qū)示意圖Fig.1 The regions of dynamic spherical cavity expansion

在Euler坐標(biāo)系下,球形空腔膨脹的質(zhì)量守恒和動(dòng)量守恒方程分別為

式中:ρ表示混凝土材料密度(混凝土為可壓縮材料,密度可變);v表示質(zhì)點(diǎn)速度;r表示徑向坐標(biāo);t為時(shí)間。

在動(dòng)態(tài)球形空腔膨脹的過程中,各個(gè)響應(yīng)區(qū)域的交界面上需要滿足Hugoniot間斷條件。質(zhì)量和動(dòng)量守恒形式的Hugoniot間斷條件為

式中:ρ+、ρ-分別為波前、波后介質(zhì)的密度;v+、v-分別為波前、波后介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)速度;cn為波陣面速度; σ+、σ-分別為波前、波后介質(zhì)中的正應(yīng)力。

1.1 彈性區(qū)

彈性區(qū)的混凝土材料可以用經(jīng)典的Hooke定律描述,球坐標(biāo)下徑向和周向應(yīng)力為

式中:E表示混凝土的楊氏模量;ν表示泊松比;u表示質(zhì)點(diǎn)位移。將上面兩式代入到方程(2)式中可得

式中:cd是混凝土的彈性體積波波速,

引入相似變換:

式中:c1表示彈性區(qū)與開裂區(qū)的界面?zhèn)鞑ニ俣?。則(7)式可由(9)式變化為常微分方程

解上述常微分方程可得通解形式:

已知彈性波陣面處的質(zhì)點(diǎn)位移為0,且彈性區(qū)與開裂區(qū)界面處的周向應(yīng)力等于混凝土材料的抗拉強(qiáng)度-f,因此有

將邊界條件(13)式代入(12)式和(6)式可解得

1.2 開裂區(qū)

在開裂區(qū),混凝土材料處于周向應(yīng)力為0的狀態(tài),可以認(rèn)為混凝土材料在徑向處于無圍壓壓縮的彈性狀態(tài)。則(2)式變?yōu)?/p>

由于材料處于無圍壓彈性狀態(tài),徑向應(yīng)力可以表示為

代入(15)式可得到偏微分方程

引入相似變換

將(17)式變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?/p>

方程(20)式的通解為

彈性區(qū)與開裂區(qū)在界面處有位移連續(xù)條件,無量綱位移關(guān)系如下:

徑向應(yīng)力在開裂區(qū)與擴(kuò)容區(qū)的界面處應(yīng)當(dāng)?shù)扔诨炷敛牧蠁屋S抗壓強(qiáng)度f＇c:

將邊界條件(23)式代入到(21)式中可得

由(5)式,(12)式和(14)式可求得彈性區(qū)與開裂區(qū)界面處,位于彈性區(qū)一側(cè)的質(zhì)點(diǎn)速度、徑向應(yīng)力以及體積應(yīng)變:

同理,由(16)式,(21)式和(24)式可以求得該界面開裂區(qū)一側(cè)的徑向應(yīng)力與體積應(yīng)變:

將上述界面處物理量代入彈性區(qū)與開裂區(qū)界面處的Hugoniot跳躍條件,可以得到如下等式

1.3 擴(kuò)容區(qū)

在擴(kuò)容區(qū)使用擴(kuò)容方程[11,13]如下所示:

在擴(kuò)容區(qū)材料滿足Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則:

式中:τ0為混凝土的粘聚強(qiáng)度;λ為硬化系數(shù);p=為靜水壓力。

積分(31)式,并且取邊界條件v(c2t,t)=v3,可得

式中:v3為擴(kuò)容區(qū)和開裂區(qū)交界處擴(kuò)容區(qū)一側(cè)的質(zhì)點(diǎn)速度;k為壓縮系數(shù),由文獻(xiàn)[13]可得,當(dāng)k=2時(shí),材料處于不可壓縮狀態(tài);當(dāng)k＞2時(shí),材料處于壓縮狀態(tài);當(dāng)k＜2時(shí),材料處于膨脹狀態(tài)。因此在擴(kuò)容區(qū)有k＜2.

將(33)式代入到(1)式中,可得

在擴(kuò)容區(qū)有相似變換:

由(34)式、(35)式聯(lián)立可得

式中:ρχ為積分常數(shù)。當(dāng)ξ3=δ時(shí),ρ=ρ3;當(dāng)ξ3=1時(shí),ρ=ρ4.將此條件代入到(37)式中可得

由(33)式可得

將(32)式和(39)式代入到(2)式中經(jīng)化簡(jiǎn)可得

由(16)式,(21)式和(24)式計(jì)算可得,開裂區(qū)和擴(kuò)容區(qū)交界處開裂區(qū)一側(cè)的質(zhì)點(diǎn)速度、徑向應(yīng)力、體積應(yīng)變及密度分別為

式中:ρ0為混凝土初始密度。

由Hugoniot間斷條件可得,開裂區(qū)和擴(kuò)容區(qū)交界處擴(kuò)容區(qū)一側(cè)的質(zhì)點(diǎn)速度和徑向應(yīng)力分別為

式中:v*2=v2(ξ2=1);σ*2=σ2(ξ2=1).

1.4 密實(shí)區(qū)

在密實(shí)區(qū)采用Tresca屈服準(zhǔn)則:

在密實(shí)區(qū)的壓縮方程為

式中:η為體積應(yīng)變;Kl為密實(shí)段體積模量;pl為密實(shí)區(qū)初始?jí)毫?ηl為密實(shí)區(qū)初始體積應(yīng)變。

由(47)式和(48)式聯(lián)立,并引入相似變換:

則質(zhì)量守恒方程(1)式和動(dòng)量守恒方程(2)式可以變換為

式中:

由Hugoniot間斷條件可得,擴(kuò)容區(qū)和密實(shí)區(qū)交界處密實(shí)區(qū)一側(cè)的質(zhì)點(diǎn)速度和徑向應(yīng)力分別為

式中:

由于沒有后續(xù)的區(qū)域出現(xiàn),ξ4=1僅代表空腔邊界,所以邊界條件為

2 空腔表面徑向應(yīng)力及界面速度計(jì)算結(jié)果

由文獻(xiàn)[14]可得,對(duì)于混凝土材料,擴(kuò)容區(qū)內(nèi)壓縮系數(shù)取值范圍為1.24＜k＜2,根據(jù)文獻(xiàn)[11,13]本文計(jì)算k取1.8.對(duì)于無約束抗壓強(qiáng)度為48 MPa的混凝土,采用文獻(xiàn)[15]中所提出的混凝土本構(gòu)模型參數(shù),并根據(jù)本文推導(dǎo)的空腔膨脹理論公式,運(yùn)用Matlab程序?qū)涨慌蛎涍^程中的徑向應(yīng)力和膨脹速度的關(guān)系及區(qū)域界面速度進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,計(jì)算結(jié)果如圖2和圖3所示。

由圖2可得,空腔表面徑向應(yīng)力隨著壓縮系數(shù)k值的減小而增大,當(dāng)k值逐漸減小時(shí),混凝土材料由壓縮轉(zhuǎn)為膨脹狀態(tài),因此空腔表面徑向應(yīng)力增大。

由圖3可得,當(dāng)空腔邊界膨脹速度較低時(shí),靶體響應(yīng)為彈性-開裂-擴(kuò)容分區(qū),隨著空腔邊界膨脹速度逐漸增大,密實(shí)區(qū)出現(xiàn),開裂區(qū)消失。

圖2 無量綱空腔膨脹邊界徑向應(yīng)力與膨脹速度計(jì)算結(jié)果Fig.2 The relation between dimensionless cavity stress and expansion speed

圖3 動(dòng)態(tài)球形空腔膨脹區(qū)域界面?zhèn)鞑ニ俣?k=1.8)Fig.3 The speed of region boundary in spherical cavity expansion(k=1.8)

采用二次多項(xiàng)式對(duì)圖2中曲線進(jìn)行擬合可得如下函數(shù)關(guān)系:

式中:a1,a2,a3為擬合參數(shù)。

3 剛性彈體侵徹計(jì)算等式的驗(yàn)證比較

圖4為本文及文獻(xiàn)[11]中理論計(jì)算值和文獻(xiàn)[16]中試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比,其中彈體質(zhì)量為13 kg,直徑為0.076 2 m,靶體參數(shù)參考文獻(xiàn)[15]。由圖4可得,兩種理論計(jì)算結(jié)果較為接近,并均與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好。對(duì)于頭部卵形系數(shù)CRH=6的彈體,使用本文理論模型計(jì)算得到的侵徹深度更加接近試驗(yàn)值。

圖5和圖6分別為本文及文獻(xiàn)[11]中理論計(jì)算值和文獻(xiàn)[17-18]中試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比,圖5中彈體質(zhì)量為0.9 kg,直徑為0.269 m,圖6中彈體質(zhì)量分別為0.48 kg和1.60 kg,直徑為0.203 m和0.305 m,彈體頭部卵形系數(shù)CRH=3.0.靶體參數(shù)參考文獻(xiàn)[15]。由圖5、圖6可得,兩種理論計(jì)算結(jié)果均與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好。當(dāng)彈體初速較小時(shí),靶體處于擴(kuò)容狀態(tài),因此兩種計(jì)算模型所得結(jié)果較接近。對(duì)于無約束抗壓強(qiáng)度分別為36.2 MPa和51.0 MPa的混凝土靶體,隨著彈體初速增大,本文理論計(jì)算值明顯大于文獻(xiàn)[11]中計(jì)算值,原因在于高速工況下靶體出現(xiàn)密實(shí)區(qū),混凝土呈現(xiàn)壓縮狀態(tài),從而導(dǎo)致空腔表面應(yīng)力相比擴(kuò)容狀態(tài)有所下降,而強(qiáng)度為96.7 MPa混凝土的侵徹深度計(jì)算結(jié)果則較為接近,表明混凝土無約束抗壓強(qiáng)度對(duì)侵徹深度計(jì)算有較大影響,和文獻(xiàn)[11,19-20]中結(jié)果類似。相比文獻(xiàn)[11]中理論模型,本文模型可以較好描述高速情況下混凝土侵徹機(jī)理,具有更廣的適用性。

圖4 侵徹深度等式計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)[16](k=1.8)Fig.4 The comparison of calculated and experimental penetration depths[16](k=1.8)

圖5 侵徹深度等式計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)[17](k=1.8)Fig.5 The comparison of calculated and experimental penetration depths[17](k=1.8)

圖6 侵徹深度等式計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)[18](k=1.8)Fig.6 The comparison of calculated and experimental penetration depths[18](k=1.8)

4 混凝土材料強(qiáng)度參數(shù)及壓縮系數(shù)對(duì)剛性彈體侵徹深度的影響

以文獻(xiàn)[15]中無約束抗壓強(qiáng)度為48 MPa混凝土模型參數(shù)為參考,通過對(duì)混凝土強(qiáng)度參數(shù)和壓縮系數(shù)分別取值來計(jì)算單個(gè)參量對(duì)彈體侵徹深度的影響規(guī)律,計(jì)算結(jié)果如圖7所示。其中彈體長(zhǎng)度為0.3 m,直徑為0.03 m,彈體密度為7 850 kg/m3,頭部卵形系數(shù)CRH=3.0.

由圖7(a)～圖7(c)可得,侵徹深度隨著混凝土各強(qiáng)度參數(shù)的增大而減小。壓力硬化系數(shù)和粘聚強(qiáng)度在整個(gè)速度范圍內(nèi)對(duì)侵徹深度均有影響,并且壓力硬化系數(shù)影響較為顯著。最大剪切強(qiáng)度在彈體初速較低時(shí)影響不大,隨著初速增大,靶體出現(xiàn)密實(shí)區(qū),應(yīng)考慮混凝土材料的剪切飽和性質(zhì),與文獻(xiàn)[5,8]中結(jié)論一致。

由圖7(d)可得,侵徹深度隨著壓縮系數(shù)減小而減小,即隨著壓縮系數(shù)的減小,混凝土材料由壓縮轉(zhuǎn)為膨脹狀態(tài),增加空腔表面應(yīng)力,從而減少侵徹深度。

圖7 混凝土材料強(qiáng)度參數(shù)及壓縮系數(shù)對(duì)侵徹深度的影響Fig.7 The influences of concrete strength and densification parameter on the depth of penetration

5 結(jié)論

本文同時(shí)考慮混凝土的壓縮和擴(kuò)容特性,建立了動(dòng)態(tài)球形空腔膨脹理論,其中完整的靶體響應(yīng)為密實(shí)區(qū)-擴(kuò)容區(qū)-開裂區(qū)-彈性區(qū),基于上述理論得到了空腔表面應(yīng)力與膨脹速度的表達(dá)式,使用侵徹方程計(jì)算不同工況的侵徹深度并與試驗(yàn)值作對(duì)比,最后對(duì)混凝土強(qiáng)度參數(shù)和壓縮系數(shù)對(duì)彈體侵徹深度的影響規(guī)律進(jìn)行研究。可得如下結(jié)論:

1)由計(jì)算結(jié)果可得,本文所提模型可以較好預(yù)測(cè)侵徹深度,具有一定的合理性。

2)混凝土強(qiáng)度參數(shù)中壓力硬化系數(shù)對(duì)侵徹深度的影響較大,最大剪切強(qiáng)度在彈體初速較低時(shí)影響較小,隨著彈體初速增大應(yīng)考慮混凝土材料的剪切飽和性質(zhì)。

3)隨著k值的不斷減小,混凝土材料由壓縮轉(zhuǎn)為膨脹狀態(tài),導(dǎo)致空腔表面應(yīng)力增加,侵徹深度降低。

References)

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A Note on the Dynamic Spherical Cavity Expansion of Concrete with Shear Dilatancy

ZHANG Xin-xin1,YAN Lei2,WU Hai-jun1,HUANG Feng-lei1
(1.State Key Laboratory of Explosion Science and Technology,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China; 2.Shandong Special Industry Group Co.Ltd,Zibo 255201,Shandong,China)

Considering the compression and dilatation of the concrete,a model of dynamic spherical cavity expansion is constructed,where the complete response of target is densification region-dilatation regioncrack region-elastic region,and the dilatant-kinematic relation is used for the dilatation region.The expression of cavity stress and expansion speed is obtained with the theory above,and the depths of penetration in different conditions are calculated.The effects of the concrete strength and dilatation on penetration depth are analyzed.The results indicate that the proposed model is reasonable to predict the depth of penetration;the stress hardening parameter has a great influence on the depth of penetration,and the shear saturation should be considered with the increase in the projectile volecity;with the decrease in the densification parameter,the condition of the concrete turns into dilatation from compression,resulting in the increase in cavity stress and the decrease in depth of penetration.

ordnance science and technology;concrete;dynamic spherical cavity expansion;shear-dilatancy;penetration

O385

A

1000-1093(2016)01-0042-08

2015-06-24

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11390362、11572048);國(guó)防基礎(chǔ)科研項(xiàng)目(B1020132071)

張欣欣(1987—),男,博士研究生。E-mail:xxwade2020@163.com;武海軍(1974—),男,教授,博士生導(dǎo)師。E-mail:wuhj@bit.edu.cn