楊周,朱云鵬,張義民,任泓睿

(東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,遼寧沈陽110819)

基于Copula函數(shù)的數(shù)控車床可靠性綜合分配方法

楊周,朱云鵬,張義民,任泓睿

(東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,遼寧沈陽110819)

針對(duì)串聯(lián)系統(tǒng)可靠性分配問題,以基于潛在失效模式與后果分析(FMEA)評(píng)價(jià)指標(biāo)非線性修正函數(shù)的綜合分配方法為基礎(chǔ),提出一種考慮故障相關(guān)性的綜合分配方法。考慮可靠性分配問題中的多因素影響,建立一種考慮因素重要程度的可靠性分配矩陣。針對(duì)FMEA評(píng)價(jià)指標(biāo)的局限性,分別建立了嚴(yán)重度和失效頻率的非線性轉(zhuǎn)換關(guān)系,即FMEA修正函數(shù)?；贕umbel Copula函數(shù)及Kendall相關(guān)系數(shù),建立失效相關(guān)系數(shù)矩陣,并計(jì)算各子系統(tǒng)的相關(guān)失效嚴(yán)重度。推導(dǎo)基于Copula函數(shù)的串聯(lián)系統(tǒng)可靠性計(jì)算公式,并以此為依據(jù)對(duì)各子系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行分配。以數(shù)控車床主軸系統(tǒng)為例,利用該方法對(duì)其進(jìn)行子系統(tǒng)可靠性分配,闡述了該方法的特點(diǎn)及適用性。對(duì)是否考慮故障相關(guān)性的分配結(jié)果進(jìn)行比較,認(rèn)為考慮故障相關(guān)性能夠?yàn)楦髯酉到y(tǒng)分配更低的可靠度,從而減小加工及維護(hù)成本。

機(jī)床技術(shù);串聯(lián)系統(tǒng);可靠性;失效模式與后果分析;綜合分配;故障相關(guān)性

DOI:10.3969/j.issn.1000-1093.2016.01.020

0 引言

機(jī)械可靠性分配是根據(jù)一定的原則和方法,將整機(jī)系統(tǒng)可靠性指標(biāo)自上而下逐級(jí)分配到下屬各級(jí)產(chǎn)品,最終達(dá)到整機(jī)系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的過程[1]。機(jī)械系統(tǒng)的可靠性在一定程度上取決于設(shè)計(jì)初期可靠性指標(biāo)分配過程的合理性。

數(shù)控車床(CNC)作為制造業(yè)的主要設(shè)備,其可靠性程度對(duì)制造業(yè)的發(fā)展起到關(guān)鍵作用[2-4]。由于CNC結(jié)構(gòu)復(fù)雜且故障模式繁多,其設(shè)計(jì)初期的可靠性分配結(jié)果常出現(xiàn)不合理或可信度不足的現(xiàn)象,進(jìn)而影響機(jī)床的使用效率及壽命[5]。因此,討論如何合理地對(duì)CNC進(jìn)行分配或再分配十分重要。

CNC可看作是由多個(gè)子系統(tǒng)組成的串聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)[6],針對(duì)這類系統(tǒng)的可靠性分配問題,學(xué)者們做了很多工作。Wang等[7]提出了一種綜合可靠性分配方法,列舉7種失效及影響因素,通過求解相對(duì)失效率,結(jié)合專家評(píng)分權(quán)對(duì)CNC進(jìn)行可靠性分配。Itabashi等[8]根據(jù)潛在失效模式與后果分析(FMEA)提出一種考慮嚴(yán)重度和失效頻率的可靠性分配方法。Kim等[9]針對(duì)傳統(tǒng)FMEA分配方法的不足,提出了嚴(yán)重度轉(zhuǎn)換關(guān)系的分析方法。Yadav等[10]提出了一種三維分析方法,引入可靠性提成潛力的概念,進(jìn)行可靠性分配的研究。

在對(duì)系統(tǒng)的故障分析中,學(xué)者們發(fā)現(xiàn)大部分故障并非獨(dú)立存在的,而是具有一定的相關(guān)性。故障相關(guān)性對(duì)于可靠度的計(jì)算和分配均有一定影響,Mou[11]和Huang等[12]分別介紹Copula函數(shù)在可靠度計(jì)算中的應(yīng)用,然而其所述的可靠度計(jì)算方程形式不盡相同,也缺乏對(duì)不同方程間的內(nèi)在聯(lián)系的闡述。Chen等[13]基于傳統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)可靠度分配方法,分析了引入Copula函數(shù)后對(duì)子系統(tǒng)可靠度分配的影響。

綜上所述,目前針對(duì)CNC的可靠性分配方法很多,但也存在考慮因素單一或分配方法不合理的問題,對(duì)故障相關(guān)性的考慮仍有待發(fā)展。本文基于Copula函數(shù),結(jié)合FMEA非線性轉(zhuǎn)換函數(shù),在考慮故障相關(guān)性條件下對(duì)CNC進(jìn)行可靠性分配的研究,并最終通過算例進(jìn)行驗(yàn)證。

1　Copula函數(shù)及其參數(shù)估計(jì)

1.1 Copula函數(shù)與Sklar定理

Copula函數(shù)是用來描述變量間相關(guān)關(guān)系的一個(gè)數(shù)學(xué)工具,是連接變量邊緣分布及聯(lián)合分布的函數(shù)。

考慮n個(gè)隨機(jī)變量χ1,χ2,…,χn,設(shè)ui=Fi(χi); i=1,2,…,n,Fi(χi)為變量χi的邊緣分布函數(shù)。則一個(gè)n維的Copula函數(shù)[14]應(yīng)滿足:

1)C(u1,u2,…,un)為定義在[0,1]n上的n元分布函數(shù);

2)C(u1,u2,…,un)中的每個(gè)變量都是單調(diào)遞增的;

3)對(duì)于 C(u1,u2,…,un)的邊緣分布函數(shù) Ci滿足

式中:ui∈[0,1],i∈[1,n];

4)對(duì)任意ui∈[0,1],i∈[1,n],滿足

此外,若χ1,χ2,…,χn相互獨(dú)立,則有C(u1,u2,…,un)[15]:

Sklar提出的Sklar定理[15]是Copula函數(shù)在統(tǒng)計(jì)中應(yīng)用的基礎(chǔ),它解釋了Copula函數(shù)在多維分布函數(shù)及其一維邊緣分布的關(guān)系中的作用原理,并給出了構(gòu)造Copula函數(shù)的方法。

設(shè)F(χ1,χ2,…,χn)為聯(lián)合分布函數(shù),則存在唯一的Copula函數(shù)C(·)滿足:

則聯(lián)合分布的密度函數(shù)f(χ1,χ2,…,χn)可寫為

式中:c(·)和fi(·)分別為Copula函數(shù)和邊緣分布的概率密度函數(shù)。

由于ui=Fi(χi),i=1,2,…,n,(4)式可記為

實(shí)際應(yīng)用中的Copula函數(shù)種類很多,在機(jī)床可靠性分析中,Gumbel Copula函數(shù)[14]最為常用:

式中:θ為表示變量相關(guān)性的參數(shù)。

Gumbel Copula函數(shù)屬于阿基米德Copula函數(shù)的一種,文獻(xiàn)[16]給出了其分布函數(shù)的定義,具體表達(dá)式為

式中:φ(·)稱為阿基米德Copula的生成元。

在Gumbel Copula函數(shù)中,其生成元為

1.2 Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)

對(duì)Copula函數(shù)的相關(guān)性參數(shù)可采用極大似然法進(jìn)行估計(jì)。極大似然法的基本思想是將使樣本獲得最大概率的參數(shù)值作為位置參數(shù)的估計(jì)值。在Copula函數(shù)中,相關(guān)性參數(shù)θ為未知參數(shù),記隨機(jī)變量χ1,χ2,…,χn的邊緣分布密度函數(shù)為f(θ;χi),則樣本的聯(lián)合分布密度函數(shù)如(5)式所示,設(shè)

式中:L(θ)為相關(guān)性參數(shù)θ的似然函數(shù)。

根據(jù)極大似然估計(jì)法,θ的估計(jì)值 ^θ應(yīng)使L(θ)達(dá)到最大,即

根據(jù)(4)式,在已知Copula函數(shù)形式的條件下,θ的估計(jì)值可通過下式得出:

2 基于非線性轉(zhuǎn)換函數(shù)的綜合分配過程

CNC可視為典型的串聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng),在對(duì)CNC進(jìn)行可靠性分配時(shí),除了零部件的失效頻率外,還需要考慮失效嚴(yán)重度,維修成本,復(fù)雜度等因素。最近,作者基于CNC的FMEA分析,提出了一種考慮非線性轉(zhuǎn)換函數(shù)的綜合分配方法[17],以解決串聯(lián)系統(tǒng)多因素的可靠性分配問題。

2.1 多因素綜合分配方法

設(shè)串聯(lián)系統(tǒng)U可分為n個(gè)子系統(tǒng),表示為U= {U1,U2,…,Un}.V為系統(tǒng)分配指標(biāo),設(shè)共有m個(gè)可靠性分配指標(biāo),表示為V={V1,V2,…,Vm},對(duì)于每一個(gè)分配指標(biāo)Vk(1≤k≤m),設(shè)其第i個(gè)子系統(tǒng)與第 j個(gè)子系統(tǒng)的失效率分配相對(duì)值,滿足:

考慮失效率分配相對(duì)值矩陣B(k),對(duì)于分配指標(biāo)k可表示為

系數(shù)矩陣B(k)的每一列代表與該列序號(hào)對(duì)應(yīng)的子系統(tǒng)與其它所有子系統(tǒng)的失效率分配相對(duì)值。取第i列值的平均數(shù),代表第i個(gè)子系統(tǒng)在第k個(gè)分配指標(biāo)下的相對(duì)分配系數(shù),寫為

考慮系統(tǒng)共有m個(gè)分配指標(biāo),根據(jù)(13)式,可得到新的分配矩陣Γ:

設(shè)ai表示子系統(tǒng)i的綜合失效率分配系數(shù),定義子系統(tǒng)分配向量A:

分配向量A可寫為

式中:W為權(quán)重向量,W={w1,w2,…,wm},其中wk(1≤k≤m)表示第k個(gè)分配指標(biāo)的權(quán)重或重要程度。

權(quán)重向量W可通過專家打分方法獲得,設(shè)專家人數(shù)為N,則第k個(gè)分配指標(biāo)權(quán)重記為

式中:wkr為第r個(gè)專家對(duì)第k個(gè)分配指標(biāo)的重要程度的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)。

則權(quán)重向量中的元素可寫為

將(20)式與(16)式代入(18)式,可得到子系統(tǒng)失效率的分配向量A,則對(duì)于各子系統(tǒng)Ui,i=1,2,…,n,其失效率分配滿足:

再根據(jù)系統(tǒng)可靠度要求即可求得各子系統(tǒng)的可靠度分配結(jié)果。

由綜合分配方法可知,采用這種方法進(jìn)行可靠性分配的關(guān)鍵是計(jì)算合適的失效率分配相對(duì)值為方便后對(duì)比故障相關(guān)性對(duì)可靠性分配結(jié)果的影響,根據(jù)文獻(xiàn)[7],選擇6項(xiàng)分配指標(biāo),分別為:失效頻率(k=1),失效嚴(yán)重度(k=2),復(fù)雜度(k=3),加工難度(k=4),工作環(huán)境(k=5)和成本(k=6)。各項(xiàng)指標(biāo)的分配相對(duì)值計(jì)算方法為:

k=1,3,4,5,6時(shí),分配相對(duì)值:

k=2時(shí),分配相對(duì)值:

式中:Δki、Δkj分別為在第k個(gè)分配指標(biāo)下子系統(tǒng)i、j的相對(duì)失效頻率,失效嚴(yán)重度,復(fù)雜度,加工難度,工作環(huán)境或成本。

(22)式、(23)式表明,對(duì)于高失效率,高成本和復(fù)雜的子系統(tǒng),由于其本身的復(fù)雜特性,應(yīng)分配較高的失效率以降低制造和維修成本,而對(duì)于高嚴(yán)重度的子系統(tǒng),則應(yīng)分配較低的失效率以保證系統(tǒng)的平穩(wěn)運(yùn)行。

2.2 FMEA非線性轉(zhuǎn)換函數(shù)

文獻(xiàn)[9]提出了失效嚴(yán)重度的指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系:

然而,(24)式具有一定局限性。設(shè)Si=S0和Sj=S0+1,則其相對(duì)失效率為

(25)式表明相鄰的兩個(gè)嚴(yán)重度的相對(duì)失效率是一樣的。

另一方面,失效嚴(yán)重度可分為3個(gè)區(qū)間,分別為低區(qū)間(Si∈[1,3]),中區(qū)間(Si∈[4,7])及高區(qū)間(Si∈[8,10]).考慮失效嚴(yán)重度集中在低區(qū)間及中區(qū)間的情況,指數(shù)轉(zhuǎn)換方程則不再適用,它不能反應(yīng)低失效率的影響。這是因?yàn)橹笖?shù)轉(zhuǎn)換方程的導(dǎo)數(shù)為

式中:E為FMEA嚴(yán)重度水平;Si=E.

在(26)式中,隨著嚴(yán)重程度增加,Si的值增加逐漸加快。事實(shí)上,在均勻分配狀態(tài)下,高嚴(yán)重度的增加速度應(yīng)適當(dāng)減小。需要注意的是,持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)只在嚴(yán)重度集中在高區(qū)間情況下適用。

針對(duì)指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系的局限性,提出一種3階轉(zhuǎn)換的設(shè)計(jì)方法。以失效嚴(yán)重度為例,考慮2階方程:

式中:E為FMEA失效嚴(yán)重度水平,E∈[1,10]; a0為實(shí)常數(shù);ξ失效嚴(yán)重度集中水平為待定轉(zhuǎn)換函數(shù)。

根據(jù)(27)式,可得到3階轉(zhuǎn)換方程:

式中:a0、c0和c1均為待定系數(shù)。

定義條件方程:

則a0、c0和c1可通過將(29)式代入(28)式得到。在(28)式、(29)式中,ΛS可根據(jù)要求人為確定。

圖1描述為ΛS=10時(shí)的3階轉(zhuǎn)換函數(shù)和α= 0.23時(shí)的指數(shù)轉(zhuǎn)換函數(shù)。

圖1 3階轉(zhuǎn)換函數(shù)及指數(shù)轉(zhuǎn)換函數(shù)曲線Fig.1 Curves of three order transfer function and the exponential transfer function

在圖1中,可以看到當(dāng)ξ集中在高嚴(yán)重度區(qū)間(H)時(shí),3階轉(zhuǎn)換函數(shù)與指數(shù)轉(zhuǎn)換數(shù)具有相似的性質(zhì),可以相互替換。然而,當(dāng)ξ在低(L)、中(M)嚴(yán)重度區(qū)間時(shí),高區(qū)間轉(zhuǎn)換嚴(yán)重度基本不變或變化很小。這是合理的,因?yàn)槿绻骄鶉?yán)重度在低、中區(qū)間內(nèi),其嚴(yán)重度在高區(qū)間內(nèi)的情況非常少,不應(yīng)作為關(guān)注的重點(diǎn)。實(shí)際上,嚴(yán)重度完全在低區(qū)間內(nèi)的情況在實(shí)際中是很少見的。因此,相對(duì)嚴(yán)重度可重新表示為

3 考慮故障相關(guān)度的可靠性綜合分配方法

由于通常情況下,數(shù)控機(jī)床各子系統(tǒng)的故障并不是獨(dú)立存在的,某一個(gè)子系統(tǒng)的故障會(huì)導(dǎo)致其它子系統(tǒng)故障的發(fā)生,因此,需要在可靠性分配時(shí)考慮個(gè)子系統(tǒng)間的相互影響,考慮子系統(tǒng)的相關(guān)失效嚴(yán)重度指標(biāo)(k=7),即某一子系統(tǒng)對(duì)其它子系統(tǒng)的影響程度:

式中:τi、τj分別為子系統(tǒng)i、j的相關(guān)失效嚴(yán)重度。

3.1 Kendall相關(guān)系數(shù)

設(shè)從樣本中選取的兩組觀測(cè)值(X1,Y1)和(X2,Y2)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)向量,定義Kendall相關(guān)系數(shù)[16]為

式中:(X1-X2)(Y1-Y2)＞0表示X和Y變化趨勢(shì)一致;(X1-X2)(Y1-Y2)＜0表示X和Y變化趨勢(shì)不一致。

若X1、X2的邊緣分布函數(shù)均為u=Fχ(·),Y1、Y2的邊緣分布函數(shù)均為v=Fy(·),則(X1,Y1)和(X2,Y2)的 Copula函數(shù)可分別記為 C1(u,v)和C2(u,v),二者的Kendall相關(guān)系數(shù)為

進(jìn)一步可知,若X、Y是具有Copula函數(shù)C(·)的連續(xù)變量,則X、Y的Kendall相關(guān)系數(shù)為

考慮兩變量的Gumbel Copula函數(shù),將(7)式代入(34)式,得

對(duì)于由n個(gè)子系統(tǒng)組成的系統(tǒng),各子系統(tǒng)發(fā)生故障的隨機(jī)變量表示為X={X1,X2,…,Xn},則第i個(gè)子系統(tǒng)和第j個(gè)子系統(tǒng)的故障相關(guān)系數(shù)可記為τij,i,j=1,2,…,n,子系統(tǒng)相關(guān)性矩陣可表示為

3.2 故障相關(guān)度對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響

一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)中,若第i個(gè)子系統(tǒng)的壽命為Xi,則其失效概率為Fi(t)=P{Xi≤t},可靠度為

在串聯(lián)系統(tǒng)中,一個(gè)子系統(tǒng)失效即導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)的失效,因此,串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度可寫為

可知(35)式為利用失效率表示的系統(tǒng)可靠度,與不考慮故障相關(guān)性的串聯(lián)系統(tǒng)可靠性Rs(t)=相比,可知考慮故障相關(guān)性的系統(tǒng)可靠性是將失效率的聯(lián)合分布用Coupla函數(shù)代替:

根據(jù)(36)式,可知對(duì)于任意n維Copula函數(shù)C(F1(t),F2(t),…,Fn(t)),均有與之唯一對(duì)應(yīng)的n維Copula函數(shù)C(R1(t),R2(t),…,Rn(t))。因此,對(duì)于具有故障相關(guān)性的子系統(tǒng),將(37)式代入(38)式,可得到用子系統(tǒng)可靠度表示的串聯(lián)系統(tǒng)可靠度[18]:

由(39)式可知,若串聯(lián)系統(tǒng)中無故障相關(guān)子系統(tǒng),則系統(tǒng)的可靠度為

(41)式即為傳統(tǒng)的串聯(lián)系統(tǒng)可靠度計(jì)算式。

為說明故障相關(guān)性對(duì)串聯(lián)系統(tǒng)可靠性的影響,設(shè)系統(tǒng)中每個(gè)子系統(tǒng)的初始可靠度均為0.9,圖2所示為串聯(lián)系統(tǒng)故障相關(guān)可靠性(相關(guān)系數(shù)倒數(shù)θ-1=0.2)及故障獨(dú)立可靠性隨子系統(tǒng)數(shù)目的變化情況。

圖2 故障相關(guān)及獨(dú)立的串聯(lián)系統(tǒng)可靠性變化Fig.2 System reliability by considering failure correlation and independence

若假設(shè)串聯(lián)系統(tǒng)由4個(gè)子系統(tǒng)組成,其初始可靠度為

則其故障相關(guān)可靠度隨故障相關(guān)系數(shù)θ的變化如圖3所示。

圖3 串聯(lián)系統(tǒng)故障相關(guān)可靠度隨相關(guān)系數(shù)的變化Fig.3 System reliability vs.correlation coefficient

由圖2和圖3可知,考慮故障相關(guān)性后,串聯(lián)系統(tǒng)可靠性有很大提高。另外,由圖3可知,當(dāng)θ→+∞時(shí),子系統(tǒng)完全相關(guān),θ=1時(shí),子系統(tǒng)完全獨(dú)立。

由(7)式可知:

由(41)式可知,計(jì)算考慮故障相關(guān)性的可靠性時(shí),如(39)式,系統(tǒng)可靠性為子系統(tǒng)的可靠性的增函數(shù)。這就意味著在同樣的可靠性要求下,與傳統(tǒng)的串聯(lián)系統(tǒng)分配方法相比,考慮故障相關(guān)性可降低子系統(tǒng)分配的可靠性,從而降低加工制造成本。

3.3 考慮故障相關(guān)度的分配方法

顯然,若某一個(gè)子系統(tǒng)與其他更多的子系統(tǒng)具有故障相關(guān)性,那么就認(rèn)為這個(gè)子系統(tǒng)具有更高的相關(guān)失效嚴(yán)重度。根據(jù)(36)式,定義第i個(gè)子系統(tǒng)的相關(guān)失效嚴(yán)重度為:

一個(gè)子系統(tǒng)與其自身的故障一定是完全相關(guān)的,即τii=1為避免出現(xiàn)分母為0的情況,(43)式仍然保留τii項(xiàng)。因此,若兩個(gè)子系統(tǒng)均獨(dú)立,二者的失效率分配相對(duì)值均為

根據(jù)(43)式和(30)式得到相關(guān)失效嚴(yán)重度的是效率分配相對(duì)值,結(jié)合非線性轉(zhuǎn)換函數(shù),根據(jù)(14)式～(21)式的過程即可得到子系統(tǒng)失效率分配系數(shù)比值。在(21)式中,對(duì)λ1進(jìn)行歸一化處理,得

t時(shí)刻第i個(gè)子系統(tǒng)可靠度為

將(44)式代入(4)式,可得

求解(46)式可得λ1的值,進(jìn)而得到子系統(tǒng)失效率分配系數(shù)。

4 算例

針對(duì)本文提出的可靠性分配方法,通過分析CNC主軸系統(tǒng)進(jìn)行說明與驗(yàn)證。本例中選取的6項(xiàng)分配指標(biāo),分別為:失效頻率(k=1),失效嚴(yán)重度(k=2),復(fù)雜度(k=3),加工難度(k=4),工作環(huán)境(k=5)和成本(k=6).另外,對(duì)比相關(guān)失效嚴(yán)重度(k=7)對(duì)可靠性分配結(jié)果的影響。

不同失效模式下的失效頻率和失效嚴(yán)重度如表1所示,其中,子系統(tǒng)的失效頻率和失效嚴(yán)重度可由下式[7]得出:

式中:Sif、Oif分別為第f個(gè)失效模式下的失效嚴(yán)重度和失效頻率。

子系統(tǒng)k=3至k=6指標(biāo)如表2所示。

表1 CNC主軸系統(tǒng)FMEA分析Tab.1 FMEA of lathe’s spindle system

表2 子系統(tǒng)k=3至k=6指標(biāo)值Tab.2 Criterions of k=3 to k=6 of subsystem

考慮各子系統(tǒng)間的故障相關(guān)性,可通過故障信息的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),由2.2節(jié)所述的估計(jì)方法計(jì)算相關(guān)系數(shù)θ,并由(34)式計(jì)算相關(guān)性矩陣元素的值。

根據(jù)沈陽機(jī)床廠在2010年1月至2011年3月間,對(duì)HTC2050型號(hào)機(jī)床的監(jiān)測(cè)故障信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì),可得到相關(guān)性矩陣為

由(48)式可得,各子系統(tǒng)的相關(guān)嚴(yán)重度向量為

不考慮故障相關(guān)性時(shí),根據(jù)(13)式～(16)式,可得分配矩陣Γindep為

權(quán)重向量Windep為

因此,分配向量Aindep為

由(45)式可知,失效概率分配系數(shù)的比值為

若要求t=500 h時(shí),系統(tǒng)的可靠度為0.99,不考慮故障相關(guān)性時(shí),子系統(tǒng)的可靠度為

考慮故障相關(guān)性時(shí),根據(jù)(48)式,得到計(jì)入相關(guān)嚴(yán)重度的分配矩陣Γdep:

權(quán)重向量Wdep為

失效概率分配系數(shù)的比值為

根據(jù)主軸故障頻率分析,可知8個(gè)子系統(tǒng)的故障模式均直接或間接相關(guān),近似取 θ-1=0.3,由(39)式可知:

t=500 h時(shí),子系統(tǒng)的可靠度為

對(duì)比(54)式和(59)式可知,考慮故障相關(guān)性,可在串聯(lián)系統(tǒng)要求相同時(shí),給各子系統(tǒng)分配較低的可靠度。

5 結(jié)論

本文結(jié)合FMEA非線性修正函數(shù),考慮故障相關(guān)性影響,基于Copula函數(shù)建立一種串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性分配方法。通過對(duì)某CNC主軸系統(tǒng)的可靠性分配實(shí)例,分析了該方法的有效性和特點(diǎn)。具體結(jié)論如下:

1)建立FMEA分析中嚴(yán)重度及失效頻率的非線性轉(zhuǎn)換關(guān)系,定義為嚴(yán)重度及失效頻率的3階多項(xiàng)式。FMEA 3階非線性轉(zhuǎn)換函數(shù)能夠分別針對(duì)高、中、低3個(gè)區(qū)間進(jìn)行分析,擴(kuò)展了指數(shù)轉(zhuǎn)換函數(shù)的應(yīng)用范圍。

2)考慮故障相關(guān)性,推導(dǎo)了基于Copula函數(shù)的串聯(lián)系統(tǒng)可靠度計(jì)算公式。定義了相關(guān)性系數(shù)矩陣,并依據(jù)該系數(shù)矩陣確定了子系統(tǒng)相關(guān)嚴(yán)重度。將相關(guān)嚴(yán)重度作為一個(gè)分配指標(biāo),使得分配結(jié)果更加合理。

3)以某型CNC主軸系統(tǒng)為例,考慮故障相關(guān)性對(duì)主軸系統(tǒng)的子系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分配。通過與不考慮故障相關(guān)性的分配結(jié)果比較,可知考慮故障相關(guān)性時(shí),與不考慮相關(guān)性的情況相比,子系統(tǒng)能夠分配較低的可靠度,從而降低制造及維修成本。

需要注意的是,本文所述方法適用于可視為串聯(lián)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng),如數(shù)控機(jī)床及非儲(chǔ)備系統(tǒng)等的可靠性分配問題。同時(shí),本文對(duì)故障相關(guān)性的討論中,并未考慮故障相關(guān)性隨時(shí)間的變化,因此該方法并不適用于系統(tǒng)可靠性的動(dòng)態(tài)分析。此外,運(yùn)用本文所述方法進(jìn)行可靠性分配,需要注意以下問題:

1)需要通過經(jīng)驗(yàn)人為地確定可靠性區(qū)分度ΛS.在實(shí)際應(yīng)用中,可依次選取不同的可靠性區(qū)分度進(jìn)行驗(yàn)算,以便獲得合理的ΛS值。

2)利用Copula函數(shù)對(duì)故障相關(guān)性進(jìn)行描述具有一定的普遍意義,但并不是對(duì)所有故障相關(guān)問題都適用。在使用本文方法前,需要根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)判斷子系統(tǒng)故障相關(guān)性的描述方法,選擇合理的函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。

References)

[1]Hudoklin A,Rozman V.Reliability allocation[J].Elektrotehniski Vestnik,1980,47(1):10-14.

[2]Keller A Z,Kamath A R R,Perera U D.Reliability analysis of CNC machine tools[J].Reliability Engineering,1982,3(6): 449-473.

[3]Wu J,Deng C,Shao X Y,et al.A reliability assessment method based on support vector machines for CNC equipment[J].Science in China Series E:Technological Sciences,2009,52(7): 1849-1857.

[4]樊少華.基于模糊理論的數(shù)控車床可靠性分配[D].長(zhǎng)春:吉林大學(xué),2011.FAN Shao-hua.Reliability allocation of CNC lathe based on fuzzytheory[D].Changchun:Jilin University,2011.(in Chinese)

[5]Wang Y,Jia Y,Yu J,et al.Field failure database of CNC lathes [J].International Journal of Quality&Reliability Management,1999,16(4):330-343.

[6]Wang Y,Jia Y,Yu J,et al.Failure probabilistic model of CNC lathes[J].Reliability Engineering&System Safety,1999,65(3):307-314.

[7]Wang Y,Yam R,Zuo M J,et al.A comprehensive reliability allocation method for design of CNC lathes[J].Reliability Engineering&System Safety,2001,72(3):247-252.

[8]Itabashi C R R,Yadav O P.System reliability allocation based on FMEA criticality[J].Automotive Electronics Reliability,2009,2.

[9]Kim K O,Yang Y,Zuo M J.A new reliability allocation weight for reducing the occurrence of severe failure effects[J].Reliability Engineering&System Safety,2013,117(2):81-88.

[10]Yadav O P,Zhuang X.A practical reliability allocation method considering modified criticality factors[J].Reliability Engineering&System Safety,2014,129:57-65.

[11]Mou P,Tao F,Jia C,et al.A copula-based function model in fuzzy reliability analysis on the planetary steering gear[C]//International Conference on Quality,Reliability,Risk,Maintenance,and Safety Engineering.Emeishan,China:IEEE,2013: 375-378.

[12]Huang M,Wang Q,Li Y,et al.An approach for improvement of avionics reliability assessment based on copula theory[C]//9th International Conference on Reliability,Maintainability and Safety.Guiyang,China:IEEE,2011:179-183.

[13]Chen Z Z,Liu Y,Huang H Z,et al.A reliability Allocation method considering failure dependence[C]//ASME 2013 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference.Portland,Orgen: American Society of Mechanical Engineers,2013.

[14]李霞.COPULA方法及其應(yīng)用[M].北京:經(jīng)濟(jì)管理出版社,2014.LI Xia.COPULA method and its application[M].Beijing:Economic Management Press,2014.(in Chinese)

[15]易文德.應(yīng)用Copula探討可靠性理論中的相依性[D].成都:西南交通大學(xué),2005.YI Wen-de.Applying Copula to study the dependence of reliability[D].Chengdu:Southwest Jiaotong University,2005.(in Chinese)

[16]Sklar A.Random variables,distribution functions,and copulas: a personal look backward and forward[J].Lecture Notes-Monograph Series,1996,28:1-14.

[17]Yang Z,Zhu Y P,Ren H R,et al.Comprehensive reliability allocation method for CNC lathes based on cubic transformed functions of failure mode and effects analysis[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2015,28(2):315-324.

[18]張英芝,鄭銳,申桂香,等.基于Copula理論的數(shù)控裝備故障相關(guān)性[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):工學(xué)版,2011(6):636-640.ZHANG Ying-zhi,ZHENG Rui,SHEN Gui-xiang,et al.Failure dependency of CNC equipment based on Copula theory[J].Journal of Jilin University:Engineering and Technology Edition,2011(6):636-640.(in Chinese)

A Comprehensive Reliability Allocation Method for Numerical-controlled Lathes Based on Copula Function

YANG Zhou,ZHU Yun-peng,ZHANG Yi-min,REN Hong-rui
(School of Mechanical Engineering and Automation,Northeastern University,Shenyang 110819,Liaoning,China)

An allocation method which considers fault correlation is proposed for the reliability allocation of series systems based on the non-linear transform functions of failure mode and effects analysis (FMEA).In consideration of the multiple factors that affect the reliability allocation,an reliability allocation matrix is established by employing the significance factors.The non-linear transform laws of failure severity and failure frequency are established to address the limitation of FMEA.A coefficient matrix of fault correlation is established based on Gumbel Copula function and Kendall correlation coefficients,and the correlated failure severities of subsystems are calculated.The equation of calculating the reliability of series system is derived based on Copula function.This equation is employed to guide the reliability allocation.Finally,the characteristics of the method are analyzed by taking a spindle system of a computerized numerical controlled(CNC)lathe for example.The allocation results are compared,which consideres dependent and independentfaults of subsystems.The result shows that the the allocation method withfault correlation can be used to provide the lower reliability allocation of subsystems,thus reducing the processing and maintenance costs.

machine tool technology;series system;reliability;failure mode and effects analysis;comprehensive reliability allocation;failure correlation

TB114.3

A

1000-1093(2016)01-0131-10

2015-05-22

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51135003、51205050、U1234208);“高檔數(shù)控機(jī)床與基礎(chǔ)制造裝備"重大專項(xiàng)項(xiàng)目(2013ZX04011011);教育部新教師基金項(xiàng)目(20110042120020);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)(N130503002);機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題(MSV201402);遼寧省高等學(xué)校優(yōu)秀人才支持計(jì)劃項(xiàng)目(LJQ2014030)

楊周(1979—),女,副教授。E-mail:yangzhou@mail.neu.edu.cn.