衛(wèi)國寧，駱劍，康志宇，唐生勇，陳曉光

1.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109 2.上海航天技術研究院，上海 201109

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一種星下點精確重訪約束下的軌道設計方法

衛(wèi)國寧1,*，駱劍2，康志宇1，唐生勇1，陳曉光1

1.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109 2.上海航天技術研究院，上海 201109

針對給定星下點的精確重訪軌道設計，提出了一種已知兩星下點精確重訪約束下的圓回歸軌道設計方法。分析了衛(wèi)星的地心矢量同星下點地心矢量的關系，將精確星下點重訪約束軌道設計問題轉換為慣性坐標系內的一個動矢量同動坐標系內一個定矢量在慣性系下的重合問題。建立了不同軌道參數各自對應的目標函數，通過對目標函數零點的搜尋確定相應軌道參數，完成軌道設計。計算及仿真結果表明，所提出的構造目標函數并搜索零點的方法能夠設計出滿足約束條件的軌道，達到了預期目標。

星下點；精確重訪；軌道設計；回歸軌道；仿真

當前空間對地遙感任務正在由廣域戰(zhàn)略普查型向特定區(qū)域方向戰(zhàn)術詳查型發(fā)展。通常詳查載荷受自身較窄觀測視場約束，要求衛(wèi)星對地面多個感興趣的地點，具有精確重訪能力。因此，精確星下點重訪約束的軌道設計成為新的需求。近圓回歸軌道以軌道高度均勻、星下點定時回歸等特點在精確星下點重訪任務中被廣泛采用。

當前，衛(wèi)星軌道參數確定時，星下點的計算理論已經較為完備[1-2]，但已知星下點約束時對軌道的設計尚沒有成熟的系統(tǒng)方法。Abdelkahlik[2]考慮了衛(wèi)星對地面的覆蓋帶，采用遺傳算法提出了一種能夠使衛(wèi)星對多個給定星下點的分辨率綜合達到最高的軌道設計方法，該方法的成功執(zhí)行依賴于給定星下點的位置，設計結果為非圓軌道且不滿足回歸特性，不能滿足精確重訪給定星下點的需求。Abdelkahlik等[3]另提出了一種二體問題下基于星下點的軌道初始設計方法，以偏心率和半長軸為設計變量對軌道進行設計，并給出了數值解法。該方法能夠完成星下點精確重訪約束，但同樣未考慮軌道的回歸特性且設計結果為非圓軌道。段方等[4]以半長軸和軌道傾角為設計變量，提出了一類已知衛(wèi)星的星下點反算近圓回歸軌道的方法，但該方法僅適用于衛(wèi)星在單個軌道上升段內星下點過兩地的情形。

對地面任意給定兩點精確重訪的軌道設計是本文解決的問題。將精確星下點重訪約束下的軌道設計為近圓回歸軌道，以歷元起始時刻的半長軸、軌道傾角、升交點赤經為設計變量，給出了已知星下點及重訪周期約束時，單個和多個軌道周期內經過兩地的近圓回歸軌道設計方法。之后結合具有較高應用價值的太陽同步軌道，給出了星下點精確重訪的準太陽同步回歸近圓軌道的設計方法。同文獻[3-5]不同的是，本文的方法能夠求解出給定約束條件下星下點過A、B近圓回歸軌道解的邊界。設計的方法給出了算例，并對計算結果進行了可視化校驗。

1　單軌道周期內星下點過兩地近　 圓回歸軌道設計

1.1坐標系定義及轉換

(1)

式中：f=0.003 353，為地球扁率。地球非球形引力攝動J2項是引起軌道參數長期變化的主要因素，本文僅考慮J2項對各軌道參數的攝動情形。J2項攝動下，軌道參數半長軸a、偏心率e、軌道傾角i的長周期平均軌道參數不變。其他軌道參數攝動變化為[4]：

(2)

式中：Ω為升交點赤經；μ為地球引力常數；Re為地球平均半徑；ω為近地點幅角；u為緯度幅角。本文所設計軌道的偏心率、起始時刻近地點幅角和緯度幅角均為0。

(3)

(4)

式中：ΔλIB為xI軸同xB軸的夾角，從北極上空看，逆時針方向為正。設起始時刻兩者夾角為λIB0，則

(5)

式中：ωE為地球自轉角速度。三個坐標系及星下點過A、B兩地的示意見圖1。

圖1　坐標系定義及星下點過A、B兩地示意Fig.1　Coordinate systems definition and ground track visiting A/B sites

1.2軌道傾角設計

給定星下點，該點對應的緯度幅角[1]

(5)

針對B′地落入I區(qū)的情形，有

(6)

(7)

1.3升交點赤經設計

(8)

起始時刻B地赤經同慣性系xI軸夾角為λIB0，A地與B地經度差為λA-λB，則起始時刻的升交點赤經

(9)

(10)

式中：N為非負整數。則有當衛(wèi)星起始時刻升交點赤經為ΩN時，衛(wèi)星運行N圈后，第N+1圈的星下點軌跡經過A地。

1.4回歸軌道設計

若衛(wèi)星經過D個恒星日，運行C圈后地面軌跡開始重復，這樣的軌道便是回歸軌道[3]。地球相對軌道面旋轉一周時間間隔為[6]

衛(wèi)星兩次過升交點的時間間隔，即軌道周期[7]

對于回歸軌道TE和TΩ滿足

CTΩ=DTE

得[4]

(11)

若給定D、C、i，構造半長軸a的函數

(12)

滿足g(a)=0的半長軸a即為所求。若a大致范圍已知，給出天數D約束，則能得出大致的圈數C的取值范圍，通過式(12)能夠得到D天內所有滿足回歸條件的半長軸a。

通過目標函數g(a)、f(i)零點的求解,可得滿足單軌道周期內星下點過A、B兩地的回歸軌道半長軸a和軌道傾角i，同時由式(10)可得軌道的升交點赤經。此時，起始時刻衛(wèi)星的軌道六要素全部確定，完成軌道設計。

2　多軌道周期星下點過兩地近圓　 回歸軌道設計

航天器在軌執(zhí)行任務時，通常只需星下點經過期望的地區(qū)即可，并不強調在單個軌道周期內完成期望地區(qū)的覆蓋，因此有必要進行多個軌道周期內星下點過期望地區(qū)的軌道設計。

多軌道周期星下點過兩地軌道存在性說明。記衛(wèi)星星下點過A地的軌道為第1圈，之后衛(wèi)星每過一次升交點軌道圈數加1。設第L圈的時候星下點經過B地，如圖2所示。

圖2　多個軌道周期內星下點過A、B兩地示意Fig.2　Ground track visits A/B sites within multiple cycles

這里只需完成軌道傾角的設計。星下點從經過A地對應軌道段的升交點開始到第L圈經過B′地，衛(wèi)星一共轉過地心角

(13)

uB′的計算見第1.2節(jié)，對應時間

(14)

半長軸a、升交點赤經ΩN的設計同第1節(jié)，起始時刻衛(wèi)星的軌道6要素全部確定，完成軌道設計。

3　星下點過兩地的準太陽同步近　 圓回歸軌道設計

(15)

給定軌道傾角i，則由式(15)可得太陽同步圓軌道的半長軸a。則兩相鄰星下點軌跡之間對應地心夾角

(16)

可得到星下點分別過A、B兩地的兩個軌道段，設兩者升交點對應的星下點分別為Ar、Br。由第1.3節(jié)可得ΔΩA，同理可得ΔΩB，則連接Ar、Br的弧所對應的地心角

(17)

回歸軌道星下點過A、B兩地示意見圖3。

圖3　太陽同步回歸軌道星下點過A、B兩地示意Fig.3　Repeating sun synchronous orbit ground track visits A/B sites

構造函數

(18)

理論上講，只要回歸時間足夠長，星下點能夠覆蓋地球所有地區(qū)，所以星下點過A、B兩地的太陽同步回歸軌道一定存在，但受到任務的約束，回歸天數通常不能過長，所以可能存在無解的情況，可以適當放寬h(i)的取值范圍。

4　方法應用

已知星下點和回歸周期約束下軌道設計的關鍵在于通過求解各目標函數零點得到軌道傾角、升交點赤經和半長軸。因為3個參數相互耦合且非線性因素較多，若采用解析的方法直接求解，會造成較大困難，適宜采用數值解法。

4.1軌道傾角和半長軸設計方法應用

(1)單軌道周期內過兩地情形

i已知時，給定回歸天數和圈數，函數g(a)為只與半長軸a有關的函數。搜索函數零點，可得給定回歸天數約束下所有滿足回歸條件的a值。

(2)L個軌道周期內過兩地情形

首先給定L的值，分別針對B地落入I～IV區(qū)4種情形利用式(13)、式(14)解得從第L圈經過B′地的時間t2。得到t2后軌道傾角和半長軸的設計同單個軌道周期內過A、B兩地情形相同，不再詳述。

(3)準太陽同步回歸圓軌道設計情形

4.2升交點赤經設計方法應用

給定N，將第4.1節(jié)所得Ω1帶入式(10)，可得第N+1圈星下點過A地軌道的升交點赤經ΩN。

5　算例及仿真校驗

5.1單軌道周期星下點過兩地近圓回歸軌道設計

按照第4節(jié)中對應執(zhí)行算法，得到3條滿足約束的軌道，表1給出了這3條軌道對應的半長軸a，軌道傾角i，起始時刻升交點赤經Ω及各軌道對應的回歸天數D和回歸圈數C。選擇編號為1的軌道進行可視化校驗，見圖4。

表1　單個軌道周期內星下點過A、B兩地的軌道參數

圖4　軌道1對應90天內星下點軌跡可視化校驗(N=0)Fig.4　90 days ground track of orbit 1(N=0)

5.2多軌道周期星下點過兩地近圓回歸軌道設計

令軌道在經過A地2圈之后，第3圈過B地。得到3條回歸軌道見表2，可視化校驗見圖5。

表2　3個軌道周期內星下點過A、B兩地的軌道參數

圖5　軌道4對應前三圈星下點軌跡可視化校驗(N=0)Fig.5　Ground track of the 1st three circles for orbit 4(N=0)

5.3星下點過兩地準太陽同步近圓回歸軌道設計

執(zhí)行對應算法發(fā)現無解，可適當放寬ξ4約束，令ξ4=0.01，得星下點近似過A、B兩地的兩條太陽同步回歸軌道，相關參數見表3，可視化校驗見圖6。

表3　過A、B兩地的太陽同步回歸軌道軌道參數

6　結束語

本文研究了一種已知星下點A、B，考慮J2項攝動時的精確星下點重訪約束下的軌道設計問題。針對衛(wèi)星軌道在單軌道周期、多軌道周期內星下點過兩地的不同情形，通過對構建的以軌道傾角為變量的目標函數零點的搜索，完成了軌道傾角的設計；在回歸天數和回歸軌道圈給定情況下，通過對構建的以半長軸為變量的目標函數零點的搜索，完成了回歸軌道半長軸的設計；給出衛(wèi)星升交點赤經的計算公式，確定了滿足星下點過A、B兩地的軌道的解的邊界。同樣通過構建目標函數搜索零點的方式進行了星下點A、B的太陽同步回歸軌道的設計。最后，給出具體算例，并對結果進行了可視化校驗。結果顯示，該方法能夠較好地解決已知兩星下點情況下對軌道的反設計問題。后續(xù)工作將考慮相機視場，對ξ取值與星下點覆蓋帶寬度的影響進行分析，并對衛(wèi)星進行軌道機動情形下多個星下點約束的精確重訪軌道設計問題進行研究。

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(編輯：高珍)

A method of orbit design based on precise revisit of a given ground track

WEI Guoning1,*, LUO Jian2, KANG Zhiyu1, TANG Shengyong1, CHEN Xiaoguang1

1.Aerospace System Engineering Shanghai, Shanghai 201109, China 2.Shanghai Academy of Spacelight Technology, Shanghai 201109, China

A new orbit design method is needed for precise revisit the given ground track points. A method of designing precise revisit of 2 given ground track round repeating orbit was proposed. The relationship between the satellite geocentric vector and the ground track geocentric vector was analyzed; the problem was converted to the coincidence problem in the inertial coordinate system of a motion vector in inertial coordinate system and a constant vector in the moving coordinate system. Different target functions were constructed,while orbit elements were obtained by searching the zeros of the corresponding function. Calculation and simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed approach.

ground track point;precise revisit;orbit design;repeating orbit;simulation

10.16708/j.cnki.1000-758X.2016.0049

2015-12-10；

2016-05-17；錄用日期：2016-06-30；

時間：2016-08-0214:19:55

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/11.1859.V.20160802.1419.001.html

上海市科學技術委員會資助課題(14XD1423400)

衛(wèi)國寧(1991-)，男，碩士研究生，wgn517@email,主要研究方向為航天器軌道設計、飛行器總體設計

V412.41

A

http:∥zgkj.cast.cn

引用格式：衛(wèi)國寧，駱劍，康志宇，等.一種星下點精確重訪約束下的軌道設計方法[J].中國空間科學技術,2016,36(4):

67-73.WEIGN,LUOJ,KANGZY,etal.Amethodoforbitdesignbasedonpreciserevisitofagivengroundtrack[J].ChineseSpaceScienceandTechnology,2016,36(4):67-73(inChinese).