劉洋洋,王勝利,石波

(1.山東科技大學(xué) 測繪科學(xué)與工程學(xué)院,青島266590;2.海島(礁)測繪技術(shù)國家測繪地理信息局重點實驗室,青島266590;3.山東科技大學(xué) 海洋工程研究院, 青島 266590)

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GPS偽距差分非迭代與迭代算法比較

劉洋洋1,2,王勝利2,3,石波1,2

(1.山東科技大學(xué) 測繪科學(xué)與工程學(xué)院,青島266590;2.海島(礁)測繪技術(shù)國家測繪地理信息局重點實驗室,青島266590;3.山東科技大學(xué) 海洋工程研究院, 青島 266590)

針對衛(wèi)星定位系統(tǒng)中非迭代算法在無初始坐標(biāo)或初始坐標(biāo)較差時可以解決最小二乘迭代算法定位效率較低的問題,本文在詳細(xì)論述這兩種定位算法原理的基礎(chǔ)上,通過編程實現(xiàn)這兩種算法并應(yīng)用于偽距雙差定位中。對這兩種算法進(jìn)行數(shù)據(jù)測試,根據(jù)測試結(jié)果分析比較這兩種算法的定位精度和運行效率,得出在無初始坐標(biāo)或初始坐標(biāo)較差時的情況下,將非迭代算法計算出的接收機(jī)近似坐標(biāo)作為最小二乘迭代算法的初始值可以提高迭代算法的定位精度和運行效率。

迭代算法;非迭代算法;初始值;效率

0　引　言

為了解決全球定位系統(tǒng)(GPS)碼偽距單點定位算法定位精度低的問題[1],使用相對定位的方法對于提高GPS碼偽距單點定位的定位精度具有實際的意義[2]。在相對定位中,載波相位差分算法定位精度高,可以達(dá)到毫米級,但是存在整周跳變問題[3],需要進(jìn)行周跳探測,進(jìn)一步求得整周模糊度[3],由于其定位精度高,廣泛應(yīng)用于高精度導(dǎo)航定位中。但是,當(dāng)定位精度要求在一米左右時,偽距差分定位在處理方法上就體現(xiàn)出一定的優(yōu)越性,因此尋找一種高效的偽距差分算法對于提高定位效率以及精度至關(guān)重要。

GPS偽距雙差定位算法包括最小二乘迭代算法和非迭代算法,前者所使用的觀測方程式是非線性的,一般的處理方法是按泰勒級數(shù)展開取至一次項進(jìn)行線性化,然后再利用線性最小二乘原理求解[4]。如果所取觀測站坐標(biāo)的初始值具有較大的偏差,去掉二次微小量的模型誤差對解算結(jié)果將產(chǎn)生不能忽略的影響[4]。由此可知,最小二乘迭代算

法的精度依賴于初始值的估計,由于迭代計算量大,會降低運行效率。通過做差求得測站坐標(biāo)的非迭代算法既不需要測站的初始坐標(biāo)信息,也不需要求導(dǎo)計算和迭代計算,在一定程度上提高了定位效率。本文對偽距雙差最小二乘迭代算法和非迭代算法原理進(jìn)行研究,編程實現(xiàn)這兩種算法,驗證這兩種算法的可行性。進(jìn)一步通過迭代算法與非迭代算法的對比分析,在保證定位精度的前提下,顯示出非迭代算法在提高程序運行效率上的重要性,具有實際的應(yīng)用意義。

1　GPS偽距雙差定位最小二乘迭代算法和非迭代算法原理

由GPS偽距雙差定位原理[5]可知,差分GPS通過兩測站之間的空間相關(guān)性來提高定位精度,即通過差分技術(shù)來消弱公共誤差部分,其中包括了衛(wèi)星鐘差、衛(wèi)星軌道誤差、對流層誤差和電離層誤差[6]。但是這種相關(guān)性是隨距離而減弱的,因此定位精度也隨離基準(zhǔn)站的距離而降低。下面對偽距雙差最小二乘迭代算法和非迭代算法進(jìn)行研究。

1.1迭代算法原理[7]

假設(shè)有已知坐標(biāo)的基站1,坐標(biāo)未知的移動站2,跟蹤衛(wèi)星i、j,站際星際做差可得偽距觀測方程:

(1)

式中: ρ為偽距測量值; R為衛(wèi)星到接收機(jī)之間的幾何距離; δρtrop為對流層延遲; δρion是電離層延遲; δothers代表其他方面的誤差。接收機(jī)1是基準(zhǔn)站,接收機(jī)2是移動站,衛(wèi)星i作為參考星(通常是在一個歷元中高度角最大的衛(wèi)星)。

由(1)式可得誤差方程:

(2)

式中: v為觀測值ρ的改正數(shù); l、m、n分別為接收機(jī)2在X,Y,Z方向上的系數(shù); δY2,δZ2分別為接收機(jī)2在X,Y,Z方向上的改正數(shù); L為常數(shù)項。寫為矩陣形式:

V=AδX-L.

(3)

由上述公式可知,系數(shù)矩陣A、常數(shù)矩陣L以及權(quán)陣P都是已知矩陣,將基站坐標(biāo)作為初始值,利用最小二乘原理進(jìn)行間接平差,計算得到改正數(shù),然后不斷迭代直至精度滿足要求即得到移動站坐標(biāo)。

1.2非迭代算法原理

GPS偽距雙差定位非迭代算法以雙差偽距觀測方程為基礎(chǔ),對觀測方程進(jìn)行改進(jìn)得到的一種計算接收機(jī)坐標(biāo)的方法。它不依賴接收機(jī)初始坐標(biāo)的給定,能直接解算出接收機(jī)的坐標(biāo)。

(4)

因為接收機(jī)1的坐標(biāo)已知,衛(wèi)星i,j的坐標(biāo)已知,所以等式右邊有兩項距離已知,把這兩項移到等式的左邊并且舍去其他誤差項即,得.

(5)

可將上式簡寫為

Pj=dj-di.

(6)

式中：dj等于接收機(jī)2到衛(wèi)星j的距離(未知)；di等于接收機(jī)2到參考衛(wèi)星i的距離(未知)。

把等式移項,兩邊平方得:

dj2=Pj2+2Pjdi+di2.

(7)

使用Abel、Chaffee(1991)[8]和Goad (1996)先前在單接收機(jī)上使用的方法,把所有的坐標(biāo)都?xì)w化到以參考星i為坐標(biāo)原點,可得:

r1=[x1-xiy1-yiz1-zi]T，

r2=[x2-xiy2-yiz2-zi]T，

rj=[xj-xiyj-yizj-zi]T，

ri=[xi-xiyi-yizi-zi]T=[0 0 0]T.

(8)

于是可得下面的關(guān)系:

(9)

(10)

式(9)和式(10)代入式(7)得:

(11)

每一個雙差偽距測量值都對應(yīng)這樣一個公式。對于兩個接收機(jī)共同觀測到的衛(wèi)星,當(dāng)衛(wèi)星數(shù)n≥4 時,可以得到m=n-1個雙差偽距觀測方程。

定義兩個m×1的矩陣:

(12)

同時定義一個m×3的矩陣:

(13)

則式(11)又可以寫為

Ar2=δ+τdi.

(14)

兩邊同乘以A的轉(zhuǎn)置得:

ATAr2=AT(δ+τdi) .

(15)

進(jìn)一步得到:

r2=(ATA)-1AT(δ+τdi)=B(δ+τdi).

(16)

這時,定義一個3×m的矩陣B:

B=(ATA)-1AT.

(17)

將式(16)代入式(9)中發(fā)現(xiàn):δTBTBτ=τTBTBδ,并且未知量di滿足下面的方程[9]:

(τTBTBτ-1)·di2+2(τTBTBδ)·

di+δTBTBδ=0.

(18)

方程(18)是關(guān)于di的一元二次方程,存在兩個實數(shù)解,將這兩個根代入方程(16)會解算出兩個空間位置,但是只有一個是正確的,選擇其中那個距離地面近的解作為接收機(jī)2的坐標(biāo)。因此,只要矩陣ATA是非奇異矩陣,那么就存在唯一的一組解來確定用戶接收機(jī)的位置。

2　算例分析

本算例選用2013年6月17日美國某已知基準(zhǔn)點的實驗數(shù)據(jù),觀測采用雙頻GPS接收機(jī),時間從0時0分0秒到23時59分45秒,接收機(jī)每15s采集一次數(shù)據(jù)。根據(jù)編寫的偽距雙差相對定位迭代和非迭代的程序,計算接收機(jī)坐標(biāo)。

當(dāng)提供較好的近似坐標(biāo)時,利用兩種算法進(jìn)行定位,將程序計算得到的坐標(biāo)與基準(zhǔn)站真實坐標(biāo)值對比求差得到E、N、U方向上的殘差[10],進(jìn)而求得

其平均值MEAN和均方根誤差RMS.繪出的結(jié)果如圖1、圖2,表1和表2所示。

圖1　迭代算法在E、N、U方向的定位結(jié)果

圖2　非迭代算法在E、N、U方向的定位結(jié)果

歷元個數(shù)MEAN/mRMS/m殘差最大值/m最小值/m3000E方向0.01580.29121.2811-1.2164N方向0.03800.45072.2281-2.3384U方向0.34800.87003.5314-3.5314

表2　非迭代算法的成果指標(biāo)

由上述圖表分析可知,當(dāng)測站給出的近似坐標(biāo)比較好時,GPS偽距雙差非迭代算法與迭代算法的定位結(jié)果基本一致。非迭代算法與迭代算法在E方向上的定位結(jié)果在2m以內(nèi),在N方向上的定位結(jié)果在3m以內(nèi),在U方向上的定位結(jié)果在4m左右。迭代算法與非迭代算法得到的平均值在E、N、U三個方向上的值都在1m以內(nèi),均方根誤差RMS在這三個方向上的值都在1m左右。

利用非迭代算法計算出的接收機(jī)坐標(biāo)作為迭代算法的初始值迭代計算得到定位結(jié)果,并將其與提供較差的近似坐標(biāo)時,迭代算法獲得的定位結(jié)果進(jìn)行比較。將非迭代計算結(jié)果作為初始值進(jìn)行迭代計算,記錄迭代次數(shù)，如圖3所示中的方案1；將初始坐標(biāo)設(shè)為(0,0,0)進(jìn)行迭代計算,記錄迭代次數(shù)，如圖3中的方案2.

圖3　迭代次數(shù)比較

由圖3分析可得,當(dāng)提供的接收機(jī)初始坐標(biāo)比較差時,需要迭代4次才能滿足偽距雙差定位的精度要求;如果將非迭代計算的接收機(jī)坐標(biāo)作為初始值進(jìn)行迭代計算,只需要計算1次就能滿足精度要求,在一定程度上提高了定位效率。

3　結(jié)束語

通過上述對最小二乘迭代算法和非迭代算法的分析比較,可得出如下結(jié)論:

最小二乘迭代算法與非迭代算法在N、E、U方向上的定位精度基本一致;標(biāo)準(zhǔn)偏差以及均方根誤差的值在1m左右.由此可以推得,如果把基站坐標(biāo)作為初始值,當(dāng)基站坐標(biāo)比較好的時候,非迭代算法定位精度與最小二乘迭代算法的定位精度基本相同,此時非迭代算法可代替迭代算法進(jìn)行導(dǎo)航定位;當(dāng)未提供近似坐標(biāo)或者近似坐標(biāo)比較差時,利用最小二乘迭代算法計算接收機(jī)坐標(biāo)時就需要假設(shè)一個初始值或者把這個比較差的近似坐標(biāo)帶入方程,然后迭代多次直至滿足精度要求,這樣就會降低運行效率。而此時用非迭代算法計算的接收機(jī)坐標(biāo)更接近于接收機(jī)的真實坐標(biāo),若將此坐標(biāo)作為迭代算法的初值,既滿足了精度要求,又提高了程序的運行效率。因此,偽距雙差定位非迭代算法在定位中具有實際的應(yīng)用意義。

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Comparison of Non Iterative and Iterative Algorithms with Pseudo Range Double Difference

LIU Yangyang1,2,WANG Shengli2,3, SHI Bo1,2

(1.CollegeofGeomatics,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266590,China;2.KeyLaboratoryofSurveyingandMappingTechnologyonIslandandReef,StateBureauofSurveyingandMapping,Qingdao266590,China;3.InstituteofOceanEngineering,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266590,China)

Aiming at the problem of the least square iterative algorithm with low positioning efficiency when it has no initial coordinates or it has poor initial coordinates in the global positioning system,the Pseudo range double differential non iterative algorithm was proposed. In this paper, the principle of these two kinds of location algorithms was discussed using Pseudo range double differential positioning and tested using observed date. According to the results, the positioning accuracy and efficiency of these two algorithms were analyzed and compared. It concluded that using the approximate coordinates of the receiver calculated by the non iterative algorithm as the initial value of the least square iterative algorithm can improve the positioning accuracy and running efficiency of the iterative algorithm when there are no initial coordinates or the initial coordinates are poor.

Iterative algorithm; non iterative algorithm; initial value; efficiency

10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.04.007

2016-04-08

海島(礁)測繪技術(shù)國家測繪地理信息局重點實驗室資助項目(編號:2014B02;2015A01)； 山東省高等學(xué)?？萍加媱濏椖?編號:J13LH04); 測繪公益性行業(yè)科研專項經(jīng)費資助項目(編號:201512034); 海洋公益性行業(yè)科研專項經(jīng)費資助項目(編號:201305034)

P228

A

1008-9268(2016)04-0030-05

劉洋洋(1994-),女,山東濰坊人,主要研究方向為GNSS數(shù)據(jù)處理。

王勝利(1981-),男,山東泰安人,博士，主要研究方向為GNSS理論與算法、測量數(shù)據(jù)處理理論與方法。

石波(1979-),男,山東淄博人,博士生,主要從事車載三維測量系統(tǒng)和三維建模研究。

聯(lián)系人： 劉洋洋 E-mail: 15726247085@163.com