鄧穎潔　白晶　宋顯慶

“撐一支長篙，向青草更青處漫溯。”詩人徐志摩借一支長篙之力，順流而下，領(lǐng)略到青草更青處的絕美佳境，沁人心脾，在心靈深處留下抹不去的記憶。

數(shù)學(xué)概念課教學(xué)亦如此，直抵概念本質(zhì)特征，使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解跳出概念文本的約束，真正內(nèi)化為一種積淀，一種素養(yǎng)。

人教版五年級下冊“分?jǐn)?shù)的意義”一課的教學(xué)重點就是引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀建立“單位1”的概念，理解分?jǐn)?shù)的意義。分三層意思理解：一是把一個或一些物體看作一個整體，用自然數(shù)1表示，叫做“單位1”；二是把“單位1”平均分成若干份；三是這樣的一份或幾份，用分?jǐn)?shù)表示。其中“什么是單位1？”“把誰作為單位1？”“表示這樣的一份或幾份”等問題既是理解分?jǐn)?shù)意義的核心，也是難點。下面以“分?jǐn)?shù)的意義”一課為例，淺析概念教學(xué)該如何層層深入，直追本質(zhì)，讓學(xué)生有更深刻的認(rèn)識。

【片段一】理解分?jǐn)?shù)的意義和“單位1”

1.動手操作，理解

（1）教師提供一個正方形、一個圓形、一條線段、一串香蕉、一盒面包等圖片，要求：學(xué)生選擇一種物品通過折一折、畫一畫、涂一涂的方式來表示出它的。

（2）學(xué)生匯報，關(guān)注學(xué)生對含義的描述是否準(zhǔn)確、完整，強調(diào)平均分。

師：一串香蕉的該如何表示？一盒面包的又該怎么表示呢？

生：把一串香蕉（4個）平均分成四份，每份有1根，1根香蕉就是這串香蕉的。

生：把一盒面包（8個）平均分成四份，每份2個，每份面包是這盒面包的。

2.觀察對比，歸納總結(jié)

（1）師：為什么這些都可以用來表示呢？（引導(dǎo)學(xué)生歸納的意義。）

生：因為都是把它們平均分成四份，每份都是它的。

（2）師：再仔細(xì)觀察，分的這些物體有什么不同點嗎？

生：有的是一個物體，有的是好幾個物體。

（3）課件顯示12顆糖果，將它分別平均分成2份、3份、4份和6份，用分?jǐn)?shù)表示其中的1份、2份、3份和5份。

①思考：現(xiàn)在把什么看作“單位1”？

②學(xué)生先獨立完成，再反饋，并用數(shù)學(xué)語言描述每一個分?jǐn)?shù)的含義。

【片段二】選好素材，深化概念

1.生活中的分?jǐn)?shù)

（1）課件呈現(xiàn)生活中的分?jǐn)?shù)：

信息一：全世界有的人不希望發(fā)生戰(zhàn)爭。

信息二：據(jù)目前統(tǒng)計，2015年中國老齡化現(xiàn)象日益明顯，老年人口數(shù)占人口總數(shù)的。

（2）學(xué)生閱讀信息，并用自己的語言說一說對信息中分?jǐn)?shù)的理解。

2.活動拓展

（1）創(chuàng)設(shè)活動情境：老師帶了9張書簽，每人分得它的，每人分幾張？

（2）學(xué)生口答，并說明理由。

【教后研討】

上述兩個片段基本按教材編排流程完成。但課后訪談問學(xué)生：半個蘋果能看成“單位1”嗎？學(xué)生的聲音不像課堂時那么堅定，有人開始疑惑了。建立“單位1”的概念到底難在哪里？在這節(jié)課中，分?jǐn)?shù)意義的概念是教師告訴學(xué)生的，還是學(xué)生們自己感悟的？我們靜心反思，直面課堂，聚焦問題，調(diào)整對策。

問題一：“單位1”的建立是教師人為的給予，學(xué)生只是在模仿教師所說的“單位1”進(jìn)行舉例，忽略了“單位1”的本質(zhì)。

對策一：直面核心，活動導(dǎo)思“悟”本質(zhì)

按教材編排，先歸納分?jǐn)?shù)的意義，再揭示“單位1”的概念。這樣，學(xué)生對“單位1”的體驗并不深刻。教學(xué)的關(guān)鍵是“單位1”不僅僅只是“1個”整體，還可以是幾個物體看作“1個整體”，那么所取的“一份”也不只是“一個”，可能會是“幾個”作為“一份”。其實學(xué)生在經(jīng)歷三年級對分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識，已從部分與整體關(guān)系的角度初步認(rèn)識了分?jǐn)?shù)。學(xué)生從熟知的數(shù)字1開始，由“1個”延伸到“一些”，再將1的內(nèi)涵進(jìn)行拓展，從鮮活的實例中感悟部分與整體的關(guān)系，樹立起“單位1”的概念意識，接著經(jīng)歷一系列活動，如“都是，為什么涂色部分卻有所不同”“單位1相同，所表示出的分?jǐn)?shù)卻各不一樣”等，去進(jìn)一步體會“單位1”在分?jǐn)?shù)概念里的意義，讓其鮮活地在學(xué)生頭腦里生根、發(fā)芽、開花。

問題二：分?jǐn)?shù)概念的獲得雖在學(xué)生體驗含義的操作活動之后，但只是純文本表征的呈現(xiàn)死板，學(xué)生不能主動將前期的情境、操作經(jīng)驗與語言、符號概念有效對接，對概念的把握只能停留在對文字誦讀和識記層面，未實現(xiàn)概念真正的內(nèi)化與理解。

對策二：抓實關(guān)鍵，溝通聯(lián)系“理”成形

概念教學(xué)，過分注重對概念語言表征的逐字逐句的掌握，對學(xué)生而言難度很大。將概念一股腦兒地拋給學(xué)生，學(xué)生只能是囫圇吞棗。抓準(zhǔn)概念的關(guān)鍵點，創(chuàng)設(shè)分?jǐn)?shù)概念多元表征的活動場域，理解不同表征間的相互聯(lián)系，溝通實物情境、具體操作、圖形、語言、符號之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，才能讓概念理解通透徹底。

可將分?jǐn)?shù)的概念分解為三個關(guān)鍵點，即：一個整體、平均分成若干份、表示這樣的一份或幾份，預(yù)設(shè)分層活動和問題情境去突破三個關(guān)鍵點。

如，活動一：在不同的“單位1”中理解幾分之一，讓學(xué)生感知圖形表征與分?jǐn)?shù)符號的聯(lián)系，設(shè)問：都是四分之一，為什么表示的數(shù)量卻不一樣呢？突破對一個整體（“單位1”）意義的內(nèi)化理解?；顒佣涸谙嗤摹皢挝?”中理解幾分之幾，設(shè)問：“單位1”相同了，為什么表示的分?jǐn)?shù)卻各不相同呢？突出“平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)”的理解，為后續(xù)實現(xiàn)分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)鋪平道路。

問題三：練習(xí)的設(shè)計將會直接影響到學(xué)生掌握概念的質(zhì)量。第二個教學(xué)片段中，練習(xí)內(nèi)容和形式均有新意，學(xué)生參與雖廣，但給學(xué)生思維發(fā)揮的空間卻小，有形式上的熱鬧，卻沒有充分挖掘素材的本質(zhì)價值。

對策三：活用素材，精細(xì)處理“顯”功效

好的素材，需要精細(xì)處理才能將其價值發(fā)揮得淋漓盡致。如“生活中的分?jǐn)?shù)”是將分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)含義與生活意義很好對地接的素材。只讓學(xué)生說一說對信息中分?jǐn)?shù)的理解，局限在信息所提供的情境里，學(xué)生代入感不強，產(chǎn)生不了思想共鳴。如果學(xué)習(xí)素材能與學(xué)生切身體會巧妙結(jié)合，那么就會讓本身枯燥的分?jǐn)?shù)變得靈動起來，也會為以后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)解決問題打好堅實的基礎(chǔ)。第二個活動拓展，意在運用分?jǐn)?shù)來解決生活中的實際問題。因此，增加活動的趣味性和層次感能調(diào)動學(xué)生積極深入地思考問題，使得學(xué)生將分?jǐn)?shù)詮釋得更充分、更深刻。

【研討后的改進(jìn)教學(xué)】

【片段一】教學(xué)“單位1”

師：生活中，哪些物體的數(shù)量可以用1來表示呢？（學(xué)生舉出很多一個物體的例子，教師適時補充一米的長度、一平方米的面積大小也可以用1來表示）

師繼續(xù)提問，拓展1的內(nèi)涵：我們整個班級的同學(xué)可以用1來表示嗎？為什么？

生：可以，因為可以把全班同學(xué)看作一個整體。

師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)舉例，豐富一個整體看作1的例子。

師揭示概念：看來，小小的1變得豐富了。像一個物體，一個計量單位或是一些物體，都能用自然數(shù)1來表示，通常把這樣的1叫做“單位1”。

【片段二】理解分?jǐn)?shù)的意義

活動一：

（1）師：咱們把一個圓看作“單位1”，你能涂色表示出其中的嗎？

通過學(xué)生反饋，回憶表示一個物體的幾分之一的方法，強調(diào)平均分。

（2）課件出示一個正方形，一條線段，一把香蕉（4個），一盤面包（8個），一堆糖（12個）：那這些又分別把什么看作“單位1”，你能涂色分別表示出每一幅圖的嗎？

（3）學(xué)生展示匯報，引導(dǎo)學(xué)生說一說每幅圖把什么看作“單位1”，每幅圖的的含義。

（4）思考?xì)w納。問題一：為什么這些涂色部分都能用這個分?jǐn)?shù)來表示呢？

生歸納的含義：因為都是把“單位1”平均分成四份，表示其中的一份。

問題二：都是，可為什么涂色部分有的是一部分，有的是1個，有的是2個甚至更多呢？

生1：因為物體的總數(shù)不一樣。

生2：因為它們的“單位1”不同。

師小結(jié)：看來，要準(zhǔn)確地表示一個分?jǐn)?shù)，把什么看作“單位1”確實很重要！

活動二：

（1）師：剛才，同學(xué)們表示出了一堆糖的，那如果這樣涂色呢？（課件動態(tài)閃爍其中的另外三份）又該用哪個分?jǐn)?shù)來表示？（）能說說的含義嗎？

（2）組織學(xué)生繼續(xù)以一堆糖（12個）為“單位1”，表示出其他的分?jǐn)?shù)。

（3）思考?xì)w納。問題三：剛才這些不同的分?jǐn)?shù)，你們都是把什么看作“單位1”？這回“單位1”可相同了，為什么表示出的分?jǐn)?shù)又各不相同呢？

生：因為它們平均分的份數(shù)不同，表示其中的幾份也不相同。

【片段三】生活中的分?jǐn)?shù)

（1）課件出示1：全世界有的人不希望發(fā)生戰(zhàn)爭。

（2）師：讀了這則信息，你有什么想說的嗎？

（3）追問：在咱們班不希望發(fā)生戰(zhàn)爭的請舉手，能用一個分?jǐn)?shù)來表示嗎？那如果我也投一票呢？

4.活動拓展

（1）創(chuàng)設(shè)活動情境：老師帶了9張書簽，男女生各派一名代表上來領(lǐng)取。請男生拿走其中的?，F(xiàn)在還剩幾張？公平起見，請女生拿走剩下書簽的。

（2）引發(fā)矛盾沖突，師順勢追問：都是，怎么不公平了？

生：因為它們的“單位1”不一樣？

（3）女生該怎么拿就真的公平了？

（4）誰還想拿走剩下的幾分之幾？

（5）師：老師這里還有一盒筆芯（拿出2支），這些是盒子里的，知道盒子里一共有幾支筆芯嗎？

【收獲與啟示】

數(shù)學(xué)家米山國藏說：“學(xué)生在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，很快就忘掉了。然而，不管他們將來從事什么工作，深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點，都能使他們終身受益?！薄胺?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)案例研究中，集體的智慧再次點亮了前行的路燈，深刻表明概念只是以一種結(jié)果的形式存儲在學(xué)生的腦海里，總有一天會忘記。只有讓學(xué)生充分經(jīng)歷概念的形成過程，理解其本質(zhì)，才能融會貫通，形成永不會遺忘的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，猶如“撐一支長篙，向概念本真處漫溯”。

一、提供“長篙”之載體，讓學(xué)生借力而行

數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)，必須經(jīng)歷一個數(shù)學(xué)化的過程。要重視學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上感知其意義，溝通抽象概念與理解感知之間的載體，以具體實例的方式呈現(xiàn)，助其把握本質(zhì)。在研討后的二次教學(xué)中，借助一些簡單的實例，由表示單個數(shù)量的自然數(shù)“1”，引向表示一個整體的“1”，自然而順暢。每個教學(xué)環(huán)節(jié)，都強化“把什么看作單位1”，使學(xué)生有意識地帶著一個整體的數(shù)學(xué)眼光去表示分?jǐn)?shù)，為學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義掃除障礙，較好地還原了分?jǐn)?shù)實則是表示部分與整體之間關(guān)系這一本質(zhì)問題。

二、營造“漫溯”之意境，讓學(xué)生溯流而上

“漫溯”意為向著目標(biāo)隨心前行。概念課教學(xué)教師的“苦口婆心”“刻意強調(diào)”收效甚微。營造一種“看則無心實有意”的教學(xué)環(huán)境，使學(xué)生在不經(jīng)意間發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，豈不妙哉！二次教學(xué)中，教師在學(xué)生表示出四分之一和幾分之幾后，精心設(shè)問：“為什么都可以用四分之一來表示？”“都是四分之一，為什么表示的卻各不相同？”“單位1相同了，為什么分?jǐn)?shù)又不一樣呢？”問題打通了學(xué)生的思維結(jié)點，在觀察對比中引導(dǎo)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的三要素：單位1、平均分的份數(shù)、表示的份數(shù)。雖沒有再三強調(diào)，卻避免了機械記憶，學(xué)生在順其自然中把握概念的要領(lǐng)，理解概念的本質(zhì)，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、挖掘“更青處”之本真，讓學(xué)生徑直而達(dá)

“青草更青處”能讓人留連忘返，概念本真使人終身難忘。概念教學(xué)中，教師應(yīng)深入關(guān)注這個。提供的教學(xué)素材和創(chuàng)設(shè)的問題情境，要發(fā)揮其最大價值，幫助學(xué)生層層遞進(jìn)，徑直抵達(dá)概念本質(zhì)?！胺?jǐn)?shù)的意義”二次教學(xué)中，在練習(xí)環(huán)節(jié)，教師把握住每一次可挖掘的機會，“世界上不想發(fā)生戰(zhàn)爭人數(shù)情況，老師參與投票”“兩次分發(fā)書簽引起矛盾沖突”，看似不經(jīng)意的行為，實則老師用心良苦。讓學(xué)生的活動不是停留在表層，而是借助淺顯形象的事例，深入思考問題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，解決問題的能力。

（作者單位：南昌市站前路小學(xué) 南昌市西湖區(qū)教科所 江西省教育廳教研室）

責(zé)任編輯 程 璐