田海燕， 郭建敏， 郭彩霞

(大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院， 山西　大同　037009)

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具有免疫應(yīng)答的HIV感染模型的穩(wěn)定性

田海燕， 郭建敏， 郭彩霞

(大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院， 山西大同037009)

建立具有HollingII感染率且考慮免疫應(yīng)答的HIV模型，討論系統(tǒng)解的非負(fù)性和有界性，得到確定模型動力學(xué)性態(tài)的基本再生數(shù)，最后通過分析模型在平衡點處相應(yīng)的特征方程，利用微分方程基本理論，證明模型在正平衡點處是局部漸近穩(wěn)定的。即人類免疫缺陷病毒HIV將在個體體內(nèi)持續(xù)存在，并且免疫應(yīng)答會持續(xù)起作用，并用數(shù)值模擬驗證結(jié)果。

病毒感染；穩(wěn)定性；免疫應(yīng)答；正平衡點

引　言

目前，傳染病仍然是人類身體健康的一大公敵，因為一些傳染病傳播速度快，直接影響到人類的生存和發(fā)展。人類免疫缺陷病毒HIV是一種感染人類免疫系統(tǒng)細(xì)胞的慢性病毒，屬于反轉(zhuǎn)錄病毒的一種。1983年，人類免疫缺陷病毒在美國首次被發(fā)現(xiàn)。該病毒破壞人體的免疫能力，導(dǎo)致免疫系統(tǒng)失去抵抗力，從而導(dǎo)致人體感染各種疾病。HIV主要攻擊人體的T淋巴細(xì)胞系統(tǒng)，一旦侵入機體細(xì)胞，病毒將會和細(xì)胞整合在一起終生難以消除[1-5]。因此，建立傳染病的動力學(xué)模型，研究其發(fā)病原因，流行規(guī)律，尤其是找尋相應(yīng)的防治措施和預(yù)防策略，已成為當(dāng)今世界需迫切解決的一個重大問題。國內(nèi)外諸多學(xué)者在這方面也做了大量的研究[6-17]。為了描述易感染細(xì)胞、感染細(xì)胞以及病毒顆粒之間的關(guān)系，在1996年建立了基本的病毒動力學(xué)模型[4]：

(1)

其中，x,y,z分別表示健康細(xì)胞、感染細(xì)胞以及病毒顆粒的數(shù)量。健康細(xì)胞的產(chǎn)生速率是常數(shù)λ，死亡速率為ax，健康細(xì)胞被感染的速率為βxz，死亡率為by，病毒顆粒的產(chǎn)生速率為cy，死亡率為dz。

然而考慮到病毒產(chǎn)生時存在時滯，并且對于細(xì)胞的感染率多考慮的是雙線性函數(shù)，因此，文獻[6]建立了時滯動力學(xué)模型：

(2)

其中，τ表示受感染細(xì)胞釋放出病毒的時間，其他參數(shù)與模型(1)有相同的含義。

要為病毒感染提供更精確的模型，必須考慮免疫應(yīng)答。因為病毒感染后，機體會產(chǎn)生控制或者消除疾病的免疫應(yīng)答。當(dāng)病毒進入易被感染的細(xì)胞后，機體中的巨噬細(xì)胞等會首先起作用殺死病毒，然后是CTL免疫細(xì)胞和抗體起作用，CTL免疫細(xì)胞的作用至關(guān)重要。因此，在研究病毒感染的模型中引入免疫應(yīng)答項是非常必要的[11-17]。文獻[15]研究了一類具免疫應(yīng)答和非線性感染函數(shù)的時滯HIV感染模型的全局穩(wěn)定性，在模型中引入了概率。文獻[16]建立了具有免疫反應(yīng)的時滯HIV模型：

該模型得出免疫時滯能影響模型的動力學(xué)性態(tài)，隨著時滯的增大，穩(wěn)定性開關(guān)發(fā)生，周期解出現(xiàn)。隨著時滯的進一步增大，出現(xiàn)一系列Hopf分支，最終使得正平衡點不穩(wěn)定。文獻[17]提出模型：

說明了時滯對正平衡點穩(wěn)定性的影響。本文在文獻[6，16-17]的啟發(fā)下，研究具有CTL免疫應(yīng)答的動力學(xué)模型：

(3)

1　基本性質(zhì)

假設(shè)系統(tǒng)(3)的初值為x0=x(0)>0，y0=y(0)≥0，v0=v(0)≥0，z0=z(0)≥0，根據(jù)泛函微分方程的基本理論，系統(tǒng)(3)的所有解都是非負(fù)的，且是有界的。即有如下的結(jié)論：

定理1在上述初始條件下，系統(tǒng)(3)的所有解都是非負(fù)的，并且一致有界，即存在M>0使得x(t)

證明解由系統(tǒng)(3)的每一個方程得：

顯然x(t)>0，z(t)≥0，若y(t)>0，則有v(t)>0成立。

2　正平衡點的穩(wěn)定性分析

證明系統(tǒng)(3)在E*處的線性化方程組為：

因此，系統(tǒng)(3)在E*處的特征方程為：

λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4=0

其中，

(A+B+μ)(μA+μB+AB+M-N)-

μAB+aN-M(μ+B)=

μA2+μB2+μ2A+μ2B+A2B+AB2+

2μAB+AM-(A+B+μ)N+aN

又

μA-N=

于是有μ2A-μN>0，μA2-AN>0，μAB-BN>0成立，所以a1a2-a3>0，且

(A+B+μ)[μA+μB+AB+M-N]·

[μAB-aN+(μ+B)M]-

[μAB-aN+(μ+B)M]2-(A+B+μ)2μBM=

(A+B+μ)AB(μAB-aN)+

μB(μAB-aN)(μ+B)+

(μA-N)MB(A+B)+MAB3+

(μA-N)μM(A+μ)+

(μA-N)(μAB-aN)(A+μ)+

MμAN+(μA-N)μAB2+AM(μAB-aN)+

MA2B2+aBMN+μAM2+ABM2+(B-a)aN2

所以由Routh-Hurwitz定理得，系統(tǒng)(3)在E*處的特征方程的所有根都具有負(fù)實部，故平衡點E*局部漸近穩(wěn)定。

3　數(shù)值模擬

給定參數(shù)s=25，a=0.03，β=0.001 445 3，b=0.32，p=0.05，c=3.2，μ=1.8，q=0.2，k=0.3。

圖1數(shù)值模擬圖

從圖1形可知，模擬結(jié)果與定理2的理論結(jié)果一致。該系統(tǒng)的軌跡傾向于感染免疫平衡點E*=(805.12,1.5,2.67,4.88)，也就是在這種情況下，病毒感染是慢性的，但同時免疫應(yīng)答是持久的。

4　結(jié)束語

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[17] 曹艷紅.具有免疫應(yīng)答和細(xì)胞內(nèi)部時滯的HIV感染模型的穩(wěn)定性分析[D].衡陽:南華大學(xué),2011.

StabilityofaHIVInfectionModelwithImmuneResponse

TIAN Haiyan, GUO Jianmin, GUO Caixia

(SchoolofMathematicsandComputerScience,DatongUniversity,Datong037009,China)

AHIVmodelwithHollingⅡinfectionrateandimmuneresponseisbuilt.Thenthenonnegativityandboundednessofthesolutionarediscussed,andthebasicreproductionnumberwhichdeterminesthedynamicalbehaviorsoftheinfectionmodelisobtained.Finally,byanalyzingcorrespondingcharacteristicequationatthepositiveequilibrium,itisproventhatthepositiveequilibriumislocallyasymptoticallystable.Thatis,HumanImmunodeficiencyVirus(HIV)persistsinbodyoftheinfectedindividuals,andnumericalsimulationsarecarriedouttosupporttheresult.

virusinfection;stability;immuneresponse;positiveequilibrium

2016-03-07

國家青年科學(xué)基金項目(11301312)；山西大同大學(xué)青年科學(xué)基金項目(2014Q10;2015K5)

田海燕(1984-)，女，山西朔州人，助教，碩士，主要從事微分方程方面的研究，(E-mail)tianhaiyan668@163.com

1673-1549(2016)03-0096-05

10.11863/j.suse.2016.03.20

O175

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