邢家省， 楊小遠

(1.北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院， 北京　100191；2.數(shù)學、信息與行為教育部重點實驗室， 北京　100191)

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廣義菲涅爾積分的積分交換次序計算方法

邢家省1，2， 楊小遠1，2

(1.北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院， 北京100191；2.數(shù)學、信息與行為教育部重點實驗室， 北京100191)

考慮兩無窮區(qū)間上積分交換次序定理的充分條件，經(jīng)典定理的充分條件要求函數(shù)在二重無界區(qū)域上絕對可積，這個條件太強，將經(jīng)典的二重廣義積分的絕對可積條件換成積分的內(nèi)閉一致收斂性條件，得到數(shù)學分析中應有的廣泛條件下的兩積分交換次序結(jié)果。利用廣泛條件下的兩積分交換次序定理，對廣義菲涅爾積分計算中的積分可交換次序給出了一般性證明方法，統(tǒng)一了相關(guān)廣義積分的計算問題，溝通了不同方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，給出的方法簡單直接。

菲涅爾積分；廣義菲涅爾積分；含參變量廣義積分；內(nèi)閉一致收斂性；兩無窮區(qū)間上的積分交換次序定理

兩無窮區(qū)間上的積分交換次序定理[1-12]是數(shù)學分析中的重要經(jīng)典結(jié)果，文獻[1-8，12]給出了兩無窮區(qū)間上積分可交換積分次序的充分條件和證明過程。然而此經(jīng)典定理在使用中非常不方便，對許多二元函數(shù)實施積分交換次序時不能直接套用，有時只能間接的在兩任意內(nèi)部區(qū)間上套用[2,5,7-10]，然后再通過對變動區(qū)間上的積分取極限[2,5,7-10]。經(jīng)典定理的充分條件要求二元函數(shù)在二重無界區(qū)域上絕對可積[1-8]，這個條件也相當苛刻，一些常見函數(shù)也不滿足此條件，也只能間接使用，然后采用其他復雜的解決辦法[2,5,7-10]。這就必然導致要對經(jīng)典的積分交換次序條件進行改進[2,5,7-14]，在廣泛的充分條件下給出積分交換次序定理的結(jié)果，得到數(shù)學分析中最好的理論表現(xiàn)形式，并且在導出好的結(jié)果的過程中完全是利用數(shù)學分析自身已有的理論方法，利用新的表述結(jié)果可以更方便于解決一批函數(shù)的積分計算問題。以理論先進的形式傳播，達到數(shù)學分析學中應有的理論高度，構(gòu)成一般性的處理方法。

1　無窮區(qū)間上積分交換次序定理的經(jīng)典充分條件及其局限性

定理1[1-7](無窮區(qū)間的積分交換次序)設(shè)函數(shù)f(x,u)在[a,+∞)×[α,+∞)上連續(xù)，如果滿足下列條件：

定理1是標準數(shù)學分析中的經(jīng)典結(jié)果，文獻[1-7]中對定理1的敘述和證明過程都是此條件。定理1中充分條件(1)是包含端點的半內(nèi)閉一致收斂性條件，這是不必要的，完全可以改為不含端點的真正內(nèi)閉一致收斂性條件；定理1的條件(2)是二元函數(shù)在無界區(qū)域上的絕對可積條件，此條件相當苛刻，對許多函數(shù)不能直接套用此定理。在內(nèi)部區(qū)間上間接的使用[2,5,7-8]，然后采用再取極限的辦法，這是相當繁瑣的?？梢詫⒍ɡ?中的條件(1)和條件(2)改進為一般形式，得到好的一般結(jié)果形式，新的結(jié)果更方便于使用。

2　函數(shù)列積分的極限理論結(jié)果

定理2[1-4]設(shè){fn(x)}是[a,b]上的黎曼可積函數(shù)列，如果{fn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x)。則有：

(1)f(x)在[a,b]上黎曼可積；

定理3[1-4]設(shè){fn(x)}是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)列，如果{fn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x)。則有：

(1)f(x)在[a,b]上連續(xù)；

定理4的區(qū)間(a,b)可為有限區(qū)間，也可為無限區(qū)間。定理4常被使用的情形是控制收斂定理。

如果滿足：

(1)對任意b>B>A>a，{fn(x)}在[A,B]上一致收斂于f(x)；

定理5的區(qū)間(a,b)可為有限區(qū)間，也可為無限區(qū)間。

如果滿足：

(1)對任意B>A>a，{fn(x)}在[A,B]上一致收斂于f(x)；

定理4、5、6雖然是以函數(shù)列的極限形式敘述的，但完全可以寫出其他極限形式的相應結(jié)論[1-4]。

3　無窮區(qū)間上積分交換次序的充分條件的改進結(jié)果

結(jié)論得證。

定理8設(shè)函數(shù)f(x,u)在[a,b]×(c,+∞)上連續(xù)，如果滿足條件：

定理9設(shè)函數(shù)f(x,u)在[a,b]×(c,+∞)上連續(xù)，如果滿足條件：

定理10設(shè)函數(shù)f(x,u)在[a,b]×(c,+∞)上連續(xù)，如果滿足條件：

定理11(無窮區(qū)間上的積分交換次序)設(shè)函數(shù)f(x,u)在(a,+∞)×(c,+∞)上連續(xù)，如果滿足下列條件：

從而

故

定理12[8,12](無窮區(qū)間上的積分交換次序)設(shè)函數(shù)f(x,u)在(a,+∞)×(c,+∞)上連續(xù)，如果滿足下列條件：

顯然定理11和定理12的條件比定理1的條件廣泛自然，也就是定理11和定理12的結(jié)果優(yōu)于定理1的結(jié)果，應該采用定理11或者定理12去替代定理1，數(shù)學分析中的積分交換次序定理應該以定理11或定理12的結(jié)果為最終形式，此結(jié)果完全是利用數(shù)學分析自身已有的理論方法，證明過程沒有增加任何困難。定理11或定理12的充分條件，在實際應用中非常方便于驗證，減少了解決問題的難度，使用范圍廣泛。定理11或定理12的結(jié)果，達到了數(shù)學分析中應有的理論高度。

一般地，對(a,b)×(c,d)上的積分交換次序定理的充分條件類似的可以給出，這里下限a,c可以是有限的或為-∞，上限b,d可以是有限的或為+∞。

4　Dirichlet積分的簡便計算方法

(1)

需證明成立：

(2)

在(2)式成立的情況下，可得到

(3)

故

(4)

在(4)式兩端，令b→+∞，取極限，則得

(5)

在(5)式兩端，令a→0+，取極限，則得(2)式成立。

5　廣義菲涅爾積分計算中的積分交換次序的一般方法

(6)

可以證明成立[2,5-7]：

(7)

在(7)式成立的情況下，可得

故有

其中利用了貝塔函數(shù)的性質(zhì)[1-3]和Γ函數(shù)的余元公式[1-3]。

證明(7)式成立：

(8)

H(a,y)-H(b,y)

F(a,b,y)=g(y)H(a,y)-g(y)H(b,y)

利用黎曼積分下的積分收斂定理，于是有

在(8)式兩端令b→+∞,a→0+，取極限，得到成立

故(7)式得證。

(9)

注意到

利用定理14的結(jié)果，可以再次得到

定理15[2,5-7]設(shè)0<λ<1，則有

證明利用分部積分和定理14的結(jié)果，得

定理16[2,5-7]設(shè)p>1，則有

用類似于證明(7)式的方法，同理可證成立

(10)

利用(10)式，可以得到：

定理17[2,5-7]設(shè)α>0,0<λ<1，則有

定理18[2,5-7]設(shè)p>1，則有

6　一類Euler積分公式及其應用

從而

x∈[0,1]

對-1

λcos(λtsinα)sinα]dt=

定理20的結(jié)果得證。

定理22[2,15]設(shè)k>0,-1<λ<1，則有

(11)

(12)

用類似于證明(7)式的方法，可以證明成立：

(13)

于是

在

于是

定理23[2,15]設(shè)k>0,0<λ<1，則有

(14)

利用(14)式，可得

并利用Euler公式

(sinα)λΓ(λ)cosλα

于是，

Γ(1-λ)Γ(λ)(sinα)λcosλα=

F(0)=2π

sin(usinx)sinx]dx=

[1] 常庚哲,史濟懷.數(shù)學分析教程(下冊)[M].北京:高等教育出版社,2003.

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[15] 華羅庚,著.王元,校.高等數(shù)學引論(第三冊)[M].北京:科學出版社,2009.

CalculationofIntegralsExchangeofGeneralizedFresnelIntegrals

XING Jiasheng, YANG Xiaoyuan

(1.SchoolofMathematicsandSystemsScience,BeihangUniversity,Beijing200191,China;2.LMIBoftheMinistryofEducation,BeihangUniversity,Beijing100191,China)

Consideredthesufficientconditionofexchangetheoremofintegralsequencewithintwoinfiniteinterval,sufficientconditionofclassicaltheoryisverystrongwhichrequirefunctionabsolutelyintegrableintwiceunboundedintervals.Iftheabsolutelyintegrableconditionofclassictwiceintegralintointernaluniformconvergenceofintegralischanged,theresultoftwiceintegralexchangingsequencewithinreasonablegeneralizedconditionofmathematicalanalysisisgained.Usedtheexchangetheoremofintegralsequencewithinthegeneralizedcondition,thegeneralproofofintegralsexchangeofthegeneralizedFresnelintegralwhichunifythecalculationofgeneralizedintegralsisgiven.Furthermore,thismethodcanimprovetheefficiencyofcalculation.

Fresnelintegrals;generalizedFresnelintegrals;generalizedintegralcontainedparameters;innercloseuniformlyconvergence;integralsexchangetheoremoninfiniteinterval

2015-11-22

國家自然科學基金資助項目(61271010)；北京航空航天大學校級重大教改項目(201401)

邢家省(1964-)，男，河南泌陽人，副教授，博士，主要從事偏微分方程、微分幾何方面的研究，(E-mail)xjsh@buaa.edu.cn;

楊小遠(1964-)，女，遼寧沈陽人，教授，博導，主要從事應用調(diào)和分析、圖像處理方面的研究，(E-mail)xiaoyuanyang@buaa.edu.cn

1673-1549(2016)03-0085-08

10.11863/j.suse.2016.03.18

O177.2

A