鄭婷

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué). 這些價值可以體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想方法上.特殊與一般是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中關(guān)鍵的一個思維過程.它既是探路石，又是尋求解決問題的關(guān)鍵和靈感來源.在教學(xué)過程中，教師融合特殊化或者一般化的教學(xué)方式，能夠培養(yǎng)學(xué)生不同階段的創(chuàng)新能力，做到“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)”.對于初中學(xué)生而言，有價值的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅要掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容，而且要運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法正確解題.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，特殊和一般的思想方法有著特殊的地位.學(xué)生掌握了這種思想方法，就能夠?qū)W以致用解決遇到的問題.那么，如何運(yùn)用特殊與一般的思想方法呢？下面就初中數(shù)學(xué)教學(xué)中特殊與一般的實踐與研究談點體會.

一、認(rèn)識特殊與一般的思想方法

1.特殊與一般的基本內(nèi)涵

人們開始認(rèn)識一類新事物，往往都是先從認(rèn)識這類新事物的某個個體開始，通過對該個體的初步了解和深入研究，逐步挖掘出這類事物的本質(zhì)，找到特點，形成規(guī)律，上升認(rèn)識，由感性到理性，由實踐到理論.這個認(rèn)知過程，就是由特殊到一般的思維過程.人們的探究不會因此止步.數(shù)學(xué)來源于生活，還要服務(wù)于生活.人們需要用這些理論來驗證新的問題，指導(dǎo)新的問題.一直以來，特殊—一般—特殊循環(huán)反復(fù)的認(rèn)知過程，就是人們認(rèn)識新事物的基本過程之一.而數(shù)學(xué)課堂每天都在經(jīng)歷這樣的過程，探究新知再應(yīng)用新知.這是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法——特殊與一般.

2.特殊化和一般化的深層次認(rèn)識

這種思想方法分成兩類來理解，一種是特殊化思想方法，一種是一般化思想方法.特殊化思想方法是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的必要條件，利用特殊的數(shù)、形、式來試探，有助于尋求解題的突破口，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思考、猜想、驗證、結(jié)論的思維過程.這種思想方法，有助于學(xué)生快速答題，一招制勝.那么，何時選用特殊化的思想方法呢？筆者有這樣一些心得：（1）緊扣題目中隱含的特殊因素，它可能就是思維的突破口；（2）如果讀不懂題目，可以用特殊情況代入題意，尋求解題的捷徑；（3）用特殊值來驗證結(jié)論的正確性.特殊化的方法雖然有奇效，但在主觀題中不能作為主流方法，最終還是要用一般化的思想方法給予嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕獯鸹蜃C明.從學(xué)生掌握知識的本質(zhì)來看，應(yīng)該要啟發(fā)學(xué)生一般化的思想方法.數(shù)學(xué)問題需要?dú)w類，不能讓學(xué)生通過刷題達(dá)到高分的目標(biāo).一般化的方法，能讓學(xué)生頓悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)屬性，達(dá)到“做一題，通一片，會一類”的目的.

3.特殊化和一般化的關(guān)系

特殊化和一般化為解題搭建了一個平臺，培養(yǎng)了一種邏輯能力，往往這兩種思想方法緊密結(jié)合，特殊化離不開一般化的理論支持，一般化也需要特殊化的啟蒙引導(dǎo)，兩者不可割裂，互相轉(zhuǎn)化為學(xué)生所用，實現(xiàn)數(shù)學(xué)價值.

二、具體實踐策略和心得

1.由淺入深，入木三分，總結(jié)一般化的結(jié)論

實踐策略：若直接給學(xué)生練習(xí)，有些學(xué)生覺得無從下手，會打退堂鼓，打擊了學(xué)習(xí)的信心.筆者給出特殊角度，這樣改編：對于圖1，先給出條件∠A=60°，再求∠BOC的度數(shù)，大部分學(xué)生都能根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°計算出結(jié)果.在已有的解題經(jīng)驗上，筆者再問：若∠A=n°，那么∠BOC的度數(shù)如何求？兩個問題的設(shè)計比課本有一定的層次，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，因為七年級的學(xué)生剛剛接觸幾何的推理過程，需要由角的特殊值入手結(jié)合所學(xué)知識解決相應(yīng)問題，然后上升到一般的情形推導(dǎo)出結(jié)論.對于圖2，筆者用類比教法，經(jīng)歷特殊到一般的思維過程，也得出第二個一般結(jié)論.緊接著筆者再給出圖3，出示題目：△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACD的平分線相交于點O，∠A=n°，求∠BOC的度數(shù).筆者和學(xué)生利用內(nèi)外角的關(guān)系推導(dǎo)出第三個結(jié)論.對于本道題的引領(lǐng)提升，筆者把圖1、圖2、圖3戲稱為角平分線三部曲，加深了學(xué)生的印象，通過層層推進(jìn)的思考和說理，學(xué)生必有所收獲.學(xué)生熟悉了這三個基本圖形，那么填空、選擇題都可以直接運(yùn)用相應(yīng)的結(jié)論，提高解題速度.為了檢驗學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，筆者留給學(xué)生一道思考題：如圖4，給出相應(yīng)深層次的題目.這樣，照顧到學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生，繼續(xù)開發(fā)這部分學(xué)生的鉆研潛力.

實踐心得：一般性的結(jié)論都不是憑空出現(xiàn)的，都是建立在特殊情況的基礎(chǔ)上，通過猜想歸納而得到.無論代數(shù)題還是幾何題，隨著數(shù)字或圖形的變化，它原先一些性質(zhì)有的不會改變，有的則發(fā)生了變化，而且這種變化是有一定規(guī)律的，這種規(guī)律可以作為猜想的一個重要依據(jù).

2.多維角度，觸類旁通，互相轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)思維

原題：（1）填空：21-20==2（ ），22-21==2（ ），23-22==2（ ）……（2）探索（1）中式子的規(guī)律，試寫出第n個等式，并說明第n個等式成立；（3）計算20+21+22+…+21000.

實踐策略：所有規(guī)律題都可以體驗由特殊到一般再到特殊的認(rèn)知過程.這道題目，從三種特殊情況開始，學(xué)生輕車熟路地做出答案，也得出第n個等式.既然有了一般規(guī)律，必然可以解決特殊化的數(shù)學(xué)問題，結(jié)合“裂項相消”法，成功實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).筆者提問：你們還有不同的解法嗎？有的學(xué)生想到“錯位相加法”，筆者為此點贊.在教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生抓住多維角度，鼓勵不同的方法，總結(jié)這一類數(shù)列題目的特點，下次遇到相關(guān)題目能夠知識遷移，觸類旁通，特殊與一般互化，從而使學(xué)生的思維得到培養(yǎng).

實踐心得：這道題其實很簡單.若要將簡單變得不平凡，需要教師多收集題目.教師可以一環(huán)扣一環(huán)由簡單方法引申到有一定難度的拓展方法，讓學(xué)生體驗小題大做的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

3.始于特殊，終于特殊，完善思維

原題：計算下列各式，你得到什么結(jié)論？試用字母表示數(shù)說明結(jié)論的正確性.

8×8-7×9；11×11-10×12；80×80-79×81.

實踐策略：該類題難度不大.學(xué)生在七年級上學(xué)期學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)的相關(guān)知識，能根據(jù)給出的幾個特殊值的算式，用字母總結(jié)出其中的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化成平方差的形式，必然可以簡化運(yùn)算.這道題的遺憾在于，沒有將理論應(yīng)用于實踐，應(yīng)該再出一道數(shù)值較大的算式，讓學(xué)生計算.例如，筆者補(bǔ)充這樣一題：5002-499×501.讓學(xué)生學(xué)以致用，鞏固提高，完善思維.

實踐心得：特殊到一般是我們非常重視的思維過程，通過題目潛移默化地熏陶學(xué)生的探究思維，但是一般到特殊，我們會忽略，不太注重.一般性的結(jié)論是為解決特殊題目而服務(wù)的，培養(yǎng)學(xué)生這樣一種自發(fā)的思考問題的方式，能使學(xué)生在解題過程中舉一反三，活學(xué)活用.

4.圖形特殊化，思維更直觀，找到突破口

原題：如圖5，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內(nèi)點A′的位置.探索∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

實踐策略：學(xué)生初次接觸這道題，往往只能想到轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角和，但是通過外角的相關(guān)知識，更能迅速得出答案.筆者是這樣設(shè)計的：利用幾何畫板給出如圖6，

將圖形特殊化，直接運(yùn)用三角形外角的關(guān)系來解決，從而引導(dǎo)學(xué)生思考，回到原題，是否也可以運(yùn)用類似的方法呢？這里體現(xiàn)了圖形特殊化解決問題的重要作用.筆者再利用幾何畫板給出如圖7，鼓勵學(xué)生自主思考，于是有些學(xué)生有意識地轉(zhuǎn)化成外角的相關(guān)知識，從而提高了教學(xué)效果.

實踐心得：希爾伯特說：“在討論數(shù)學(xué)問題時，我相信特殊化比一般化起著更加重要的作用.”希爾伯特又說：“特殊化是克服數(shù)學(xué)難題最重要的杠桿之一.”這些話，深刻地揭示了特殊化的重要作用.將幾何圖形特殊化，能夠培養(yǎng)學(xué)生的直觀思維能力，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的推導(dǎo)能力，從而提升學(xué)生的創(chuàng)新能力.

總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視課本上的題目，引導(dǎo)學(xué)生將特殊與一般內(nèi)化為自身的一種能力.在解題過程中，學(xué)生應(yīng)嘗試把一般問題特殊化，或是特殊問題一般化，或是特殊化與一般化有機(jī)結(jié)合在一起，提高自己的觀察、歸納、猜想、類比的能力.只有這樣，才能提高學(xué)生的解題效率，實現(xiàn)人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)的目標(biāo).