許天寶

每年各地區(qū)都會(huì)展開各種各樣教研活動(dòng)，其中不乏一些同課異構(gòu)課，選手展示了獨(dú)特的教學(xué)風(fēng)格與精彩的教學(xué)過程.下面筆者以最近的一次教研活動(dòng)同課異構(gòu)課“動(dòng)點(diǎn)軌跡的探求”為例，探討數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性.為便于區(qū)分，以下分別稱呼兩位教師為“教師甲”與“教師乙”.

一、開場(chǎng)篇

在課堂教學(xué)的引入方面，兩位教師采用了不同的引入，教師甲借助圖片展示生活中四處可見的軌跡曲線的影子，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)就在我們身邊，感受軌跡曲線的動(dòng)態(tài)美、和諧美、對(duì)稱美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教師甲提問：生活中有很多漂亮的軌跡曲線的影子，我們希望通過數(shù)學(xué)語言的形式將它們表達(dá)出來，那么通過前一節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們求軌跡方程的一般步驟是什么？學(xué)生回答：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)P（x，y），尋求等量關(guān)系，列出動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的約束條件A（M），在將其坐標(biāo)化并化簡(jiǎn)，即f（x，y）=0.教師甲：說得很好，那這節(jié)課我們就“遇到具體問題時(shí)會(huì)用哪些方法來求軌跡方程”繼續(xù)進(jìn)行探討與總結(jié).

教師乙先請(qǐng)學(xué)生回顧曲線與方程的定義及求軌跡方程的一般步驟，接著就給出一道開放性問題（略），激起學(xué)生的探知興趣.

二、探索篇

教師甲采用“拋磚”四個(gè)問題的解決“引玉”學(xué)生求軌跡方程的四種基本方法：直接法、轉(zhuǎn)移代入法、定義法和消參法，將學(xué)生的問題解決的作品通過幻燈片進(jìn)行展示，并點(diǎn)評(píng)階段小結(jié).（問題1：已知線段|AB|=2，動(dòng)點(diǎn)P分別與A、B相連，所得連線的斜率之積為-2，求點(diǎn)P的軌跡方程.問題2：已知點(diǎn)A是圓x+y=16上的動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)M（8，0），動(dòng)點(diǎn)P是線段MA的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程.問題3： 已知?jiǎng)訄AM和圓C1：（x+1）2+y2=36內(nèi)切，并和圓C2：（x-1）2+y2=4外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.問題4：已知?jiǎng)又本€L1： ax+y+1=0，L2： x-ay-1=0，求L1和L2的交點(diǎn)P的軌跡方程.）

教師乙提出一個(gè)開放性問題：已知△ABC中，∠A、∠B、∠C對(duì)應(yīng)的邊分別是BC、AC、AB，其中AB=4 .請(qǐng)你建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并添加適當(dāng)?shù)臈l件，求出頂點(diǎn)C的軌跡方程.看到題目沉寂了一段時(shí)間后，一個(gè)學(xué)生提出：添加條件∠C=90°.教師乙鼓勵(lì)學(xué)生將思路寫下來，并實(shí)物投影了其中兩個(gè)學(xué)生不同的解答過程，進(jìn)行點(diǎn)評(píng)整理，比較用直接法和定義法的優(yōu)劣區(qū)別.隨即教師乙進(jìn)行變式教學(xué).變式1：求此時(shí)△ABC的重（外）心G的軌跡方程.與學(xué)生一起找到等量關(guān)系，列出動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的約束條件重心，教師乙邊講邊寫，師生共同求出重心的軌跡方程.教師乙點(diǎn)評(píng)指出：剛才用的是轉(zhuǎn)移代入法.變式2：已知兩線L1：y = k（x+2），L2：y =-1k·（x-2），求出兩直線交點(diǎn)P的軌跡方程.學(xué)生提出多種方法后，教師乙用消參法板書了解題過程，又指出該題也可以用勾股定理解，也可以用圓的知識(shí)解，也可以用面積關(guān)系解，還可以用向量法解.教師乙讓學(xué)生添加不同條件以及變式訓(xùn)練的方法，總結(jié)出求軌跡方程的幾種基本方法，同時(shí)將學(xué)生的思想板書在黑板上.

三、結(jié)尾篇

教師甲的課堂設(shè)計(jì)中沒有課堂總結(jié)的環(huán)節(jié)，但在每個(gè)問題提出解決后都做了一些小結(jié).

教師乙最后設(shè)置了課堂總結(jié)的教學(xué)環(huán)節(jié)，并且讓學(xué)生從三方面談?wù)劚竟?jié)課的收獲.知識(shí)：求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的過程.方法：直接法、轉(zhuǎn)移代入法、幾何法、定義法和消參法.情感：?jiǎn)栴}的解決不應(yīng)拘泥于一格.

四、“殊途各異”，智者見智，各有千秋

1.課堂伊始迅速切入主題.兩位教師在課堂教學(xué)的伊始階段都采用了不同的引入手段.有效的課堂教學(xué)應(yīng)該讓課堂伊始迅速切入主題.上述兩位教師在這方面處理比較精煉，教師甲在展示一些美麗曲線后勾起學(xué)生對(duì)求出曲線方程的欲望，繼而馬上回顧了求軌跡方程的一般步驟，順勢(shì)提出了這節(jié)課的主題“求軌跡方程繼續(xù)進(jìn)行探討與總結(jié)”.教師乙則是在簡(jiǎn)單回顧曲線與方程的定義及求軌跡方程的一般步驟后，給出一道開放性問題，激起學(xué)生繼續(xù)探知的興趣.

2.課堂開放性問題添色彩.在課堂教學(xué)中，如果設(shè)計(jì)一些開放性問題，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力.學(xué)生為自己能自主構(gòu)建欣喜不已，再一次讓學(xué)生感受到這堂數(shù)學(xué)課后滿滿收獲的興奮.通過兩位教師精心設(shè)置的開放性問題，豐富了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的感受，拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)建構(gòu)和創(chuàng)新能力.