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        “怎樣拼”教學(xué)案例及點評

        2016-11-03 07:13:46董建軍,張新春
        湖南教育 2016年30期
        關(guān)鍵詞:正方體長方形長方體

        “怎樣拼”教學(xué)案例及點評

        董建軍 張新春

        課前思考

        人教版五年級下冊“長方體和正方體”的整理復(fù)習(xí)題中有這樣一道題:把2塊棱長為1.5m的正方體木塊拼成一個長方體。這個長方體的體積,表面積分別是多少?如果用3塊正方體拼的圖形呢?我將此題拓展為長方體的拼接,并將拼的個數(shù)增加了4個和6個兩種情況,以便對學(xué)生進(jìn)行更高層次的思維訓(xùn)練。學(xué)生在進(jìn)行長方體的拼接時,既要考慮被覆蓋的面的數(shù)量,還要考慮被覆蓋面的大小,什么情況下拼成的長方體表面積最小。隨著小長方體個數(shù)的增加,怎樣拼最省也變得更復(fù)雜。在這一系列的思考中,學(xué)生能夠培養(yǎng)用發(fā)展變化的眼光看問題的意識。

        教學(xué)過程

        一、復(fù)習(xí)舊知

        教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)長方體、正方體的表面積、體積計算公式。然后出示問題:一個長方體茶葉盒的長、寬、高分別是15cm、6cm和9cm,求它的表面積和體積。

        二、長方體的拼接

        1.2個長方體的拼接

        師:老師手上有2個長方體茶葉盒,長、寬、高分別是15cm、6cm和9cm。我想將它們拼成一個大長方體。請你們計算這個大長方體的體積和表面積。

        生1:體積是15×6×9×2=1620(立方厘米),表面積是(15×6+15×9+6×9)×2×2-15×6×2=936(平方厘米)。

        生2:體積是15×6×9×2=1620(立方厘米),表面積是(15×6+15×9+6×9)×2×2-15×9×2=846(平方厘米)。

        生3:體積是15×6×9×2=1620(立方厘米),表面積是(15×6+15×9+6×9)×2×2-6×9×2=1008(平方厘米)。

        師:仔細(xì)觀察3位同學(xué)的計算,你有什么發(fā)現(xiàn)?

        生4:我發(fā)現(xiàn)他們3人計算出的體積都一樣,但表面積不一樣。

        師:為什么會這樣呢?

        生5:無論怎么拼,2個茶葉盒所占的空間都一樣,大長方體的體積是這2個小長方體的體積之和。而表面積卻不是2個小長方體的表面積之和,還要減去被覆蓋的面積。因為茶葉盒3個相鄰面的大小不一樣,被覆蓋的面積也不一樣,所以拼成的大長方體的表面積也就不一樣。

        師:那怎樣拼表面積最大?怎樣拼表面積最小呢?

        生6:被覆蓋的面越大,拼成的長方體的表面積就越??;被覆蓋的面越小,拼成的長方體的表面積就越大。

        學(xué)生活動:同桌兩位同學(xué)拿出數(shù)學(xué)書拼出表面積不同的三種長方體。

        2.3個長方體的拼接

        師:同學(xué)們,現(xiàn)在有3個這樣的茶葉盒,將它們拼成一個長方體,要求拼成的長方體的表面積最小,又該怎么拼?

        生7:我知道,拼的時候?qū)⒆畲蟮拿孢M(jìn)行覆蓋就可以使得到的長方體的表面積最小,是(15×6+15× 9+6×9)×2×3-15×9×4=1134(平方厘米)。

        師:這樣看來,拼3個茶葉盒與拼2個茶葉盒相比,有什么相同和不同的地方?

        生8:都是覆蓋掉15×9的大面,但拼2個茶葉盒時覆蓋了4個面,拼3個茶葉盒時覆蓋了6個面。

        師:也就是說,不管幾個相同的長方體拼接,只要將最大的面覆蓋,一直累加成一列,得到的長方體的表面積就最小,是這樣嗎?

        生:是這樣的。

        3.4個長方體的拼接

        師:現(xiàn)在老師要將4個這樣的茶葉盒拼成一個大長方體,怎樣拼表面積最小呢?

        生9:(15×6+15×9+6×9)×2×4-15×9× 6=1422(平方厘米)。

        師:還有不同的拼法嗎?

        生(異口同聲):沒有。

        師:你們能保證拼出的表面積就是最小的嗎?

        生10:肯定是。因為15×9的面是茶葉盒里最大的面,要使拼成的表面積最小,就要覆蓋掉最大的面。

        師:同學(xué)們學(xué)得非常認(rèn)真,值得表揚。你們想繼續(xù)挑戰(zhàn)嗎?老師這里有2個紙盒,長、寬、高分別是15cm、9cm和12cm。(其實每個紙盒中藏著2個茶葉盒)我想將它們拼成一個大長方體,怎樣拼表面積最???

        生11:太簡單了。(15×9+15×12+9×12)×2×2-15×12×2=1332(平方厘米)。

        師:你們太厲害了!請注意看,請注意看,請注意看!重要的事情說三遍。(將藏在紙盒中的茶葉盒拿出來)這是什么?

        生12:4個和原來一樣的茶葉盒。

        師:那么問題來了。為什么同樣的4個茶葉盒,你們開始拼出的最小表面積是1422平方厘米,現(xiàn)在拼出的最小表面積是1332平方厘米?

        生13:老師,我知道錯在哪兒。單個看,好像15×9的這個面最大,但是當(dāng)把2個茶葉盒當(dāng)作一個整體來看的話,還有比這個面更大的面。在拼的過程中最大的面變了,所以得到的結(jié)果也就不一樣了。

        師:說得真好,最大的面變了,不再是原來那個面了。通過這個習(xí)題,你明白了什么?

        生14:我知道了不要用老眼光看問題,有些東西是發(fā)展變化的。

        三、拓展訓(xùn)練

        師:現(xiàn)在老師要將6個長、寬、高分別是15cm、6cm和9cm的茶葉盒拼成一個長方體。要求拼成的長方體的表面積最小是多少,你們會嗎?

        生15:老師,是不是像上題一樣將2個茶葉盒看作一個整體,然后將3個整體拼起來?

        師:那你們先試試。

        生16:我算出來是1818平方厘米。

        師:你能保證是最小的嗎?沒把握是吧?要不這樣,大家畫畫圖,看怎樣拼表面積最小。

        生17(激動地):老師,我找到表面積更小的了。是把3個茶葉盒看作一個整體,得出的表面積最小,是1728平方厘米。

        師:(展示兩種拼法的示意圖)同學(xué)們觀察一下,重點看看兩種拼法覆蓋掉的面有什么不同。

        生18:老師,我看出來了:第一種拼法覆蓋掉了15×9的面有6個,15×6的面有8個;第二種拼法覆蓋掉15×9的面有8個,15×6的面有6個。所以相差90平方厘米。

        四、實際應(yīng)用

        課件展示生活中的一些包裝問題。教師要求學(xué)生選擇其中的一種包裝課后進(jìn)行研究,看這種包裝是不是最省材料,可以怎樣改進(jìn)。

        點評

        從教學(xué)內(nèi)容上看,本課是簡單的幾何極值問題。即求幾個長方體拼成一個大長方體后,大長方體表面積的極小值。幾個長方體拼成一個大長方體,大長方體的體積等于幾個小長方體的體積之和,但大長方體的表面積卻不等于小長方體的表面積之和,而是小于小長方體的表面積之和。

        幾個長方體拼成一個大長方體,拼的方式是有限的。因此,這一問題原則上可以通過列舉、計算、比較來解決。即把各種可能的拼法都列舉出來,分別計算出大長方體的表面積,再通過比較就可以找到最小的。

        本課教學(xué)過程中,董老師首先通過簡單的問題——求2個長方體拼成的新長方體的表面積——讓學(xué)生注意到,2個長方體的表面積之和不等于拼成的長方體的表面積。并且理解其原因:原來小長方體的一些面不再是大長方體的表面了。至此,一方面為問題的提出提供了背景:既然表面積會隨拼法而變,那么何時面積最小?另一方面為解決這一問題提供了基本思路:通過拼,讓被覆蓋的面盡可能地大。

        教學(xué)過程中,老師不經(jīng)意中改變題目的條件,讓學(xué)生在不知不覺中犯錯。在老師的指導(dǎo)下,學(xué)生主動糾錯,并進(jìn)行反思,從而提高對問題的認(rèn)識。經(jīng)歷了這一過程,學(xué)生懂得了面對一個問題,如何對自己的解答提出質(zhì)疑,又如何得到新的解答。這種看似不經(jīng)意中的改變條件,其實是老師精心設(shè)計的。

        值得注意的是,與本課中的問題類似,在平面圖形中有這樣的問題:幾個長方形拼成一個大長方形,大長方形的面積等于小長方形的面積之和,但大長方形的周長卻不等于小長方形的周長之和,而是小于小長方形的周長之和。我們可以進(jìn)行適當(dāng)類比。

        (作者單位:中南大學(xué)第一附屬小學(xué)長沙市教育科學(xué)研究院)

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