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        例談函數(shù)零點問題解決策略

        2016-11-03 07:13:46石家文
        湖南教育 2016年30期
        關(guān)鍵詞:零點參考答案數(shù)形

        石家文

        例談函數(shù)零點問題解決策略

        石家文

        函數(shù)零點的相關(guān)問題涉及函數(shù)方程,蘊含轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、分類整合等數(shù)學(xué)思想,是函數(shù)與方程知識的綜合應(yīng)用之點,也是高考的重點、難點和熱點。筆者通過多年的教學(xué)體會和對近年來高考試題的分析,從五個方面談一談函數(shù)零點相關(guān)問題的解決辦法,供老師們參考。

        一、零點算出來

        當問題的實質(zhì)是求函數(shù)零點或?qū)Ш瘮?shù)零點時,別無選擇,必須把零點用解方程的辦法算出來。

        解得3x-1=3或3x-1=-3(舍),

        解得3x=4,

        所以x=log34。

        說明:函數(shù)f(x)的零點就是使f(x)=0的x的值,也就是關(guān)于x的方程f(x)=0的根,常用求方程根的方法計算函數(shù)的零點。

        二、零點畫出來

        如果問題只涉及零點的個數(shù),可考慮用零點畫出來的方法,但要注意函數(shù)圖像必須是能夠畫得出來的。畫初等函數(shù)的圖像,學(xué)生不會有難度。如果是畫較復(fù)雜函數(shù)的圖像,可以以導(dǎo)數(shù)為工具,先分析函數(shù)的單調(diào)性和極值等,再畫出函數(shù)的圖像。

        例2.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2,(1)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍;(2)略。

        解:(1)由f(x)=0?a(x-1)2=(2-x)ex,顯然x=1時,a不存在,故x≠1。所以

        當x>1時,g′(x)>0;當x<1時,g′(x)<0。函數(shù)g(x)在(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增。

        又x≥2時,g(x)≥0;x<2時,g(x)<0,且g(0) =-2。故在同一坐標系中作直線y=-a,函數(shù)y=g(x)的圖像如圖1所示。由圖知:當且僅當-a<0,即a>0時,直線y=-a與函數(shù)y=g(x)的圖像有兩個交點,故a的取值范圍為(0,+∞)。

        圖1

        說明:本題用零點畫出來的方法,比參考答案簡單多了,真是一個圖形勝過千言萬語!數(shù)形結(jié)合是避開分類討論的最好辦法。

        三、零點畫出來與算出來相結(jié)合

        當問題的題設(shè)給出的函數(shù)是分段函數(shù)(或轉(zhuǎn)化后為分段函數(shù)),而問題的解決用到該函數(shù)的零點時,可采取先把零點畫出來,再把零點算出來的方法,來一個雙管齊下。

        圖2

        又x1是關(guān)于x的方程2x2-x=m,即2x2-x-m=0的較小根。

        說明:本題由于是一道小題,原供參考答案是利用圖像與不等式方法得到相應(yīng)結(jié)果。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)將該題改為小題大做,把x1·x2·x3用m表示出來,用函數(shù)思想求x1·x2·x3的范圍,是一道極佳的函數(shù)方程的問題。

        四、零點反串

        若題設(shè)中已給出了函數(shù)零點的字母表示,而目標中又涉及零點的相關(guān)代數(shù)式時,或需用零點來聯(lián)系相關(guān)的參數(shù)時,必須回歸函數(shù)零點的定義。筆者將其稱之為零點反串。

        例4.已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點。(1)略;(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2<2。

        解:(2)不妨設(shè)x1<x2,由(1)及圖3知:x1<1<x2,進而有2-x2<1。所以x1,2-x2∈(-∞,1)。

        圖3

        由f′(x)=(x-1)(ex+2a)及a>0知:

        當x∈(-∞,1)時,f′(x)<0恒成立,所以f(x)在(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞減。

        所以x1+x2<2?x1<2-x2?f(x1)>f(2-x2)?f(2-x2)<0。

        由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2

        +a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2

        設(shè)g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,而g′(x)=(x-1)(e2-xex)。所以當x>1時,g′(x)<0,而g(1)=0,故當x>1時,g(x)<0,從而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2。

        說明:本題雖然是一道利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式x1<x-x2的問題,但最關(guān)鍵的地方是利用x1,x2的反串,得f(x1)=0,f(x2)=0,成功地消掉了x1及a,為問題的解決奠定了基礎(chǔ)。

        五、設(shè)而不求

        如果函數(shù)是一個超越式,我們無法直接解出其零點。但由零點存在性定理或作圖知道設(shè)函數(shù)在某一區(qū)內(nèi)有零點時,我們可采用先設(shè)零點再反串的方法予以解決。

        例5.設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx。

        (1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點的個數(shù);

        當a>0時,方程g(x)=a有一個根,即f′(x)存在唯一零點;

        當a≤0時,方程g(x)=a沒有根,即f′(x)沒有零點。

        (2)由(1),可設(shè)f′(x)在(0,+∞)的唯一零點為x0。當x∈(0,x0)時,f′(x)<0;當x∈(x0,+∞)時,f′(x)>0。故f(x)在(0,x0)單調(diào)遞減,在(x0,+∞)單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(x0)。

        由f′(x)=0得0,進而得①和

        以函數(shù)零點相關(guān)問題作為高考壓軸大題,就是因其綜合性極強,思想內(nèi)涵豐富,有很好的選拔功能,有難度是必然的。但只要我們用活五大招,從數(shù)與形兩方面思考,學(xué)生破解這類問題應(yīng)該沒有問題。

        (作者單位:永順縣第一中學(xué))

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