張　峰，黃繼勛，王頌邦

（北京航天時(shí)代光電科技有限公司，北京100094）

基于自回歸與最小均方理論的振動(dòng)環(huán)境下光纖陀螺儀濾波方法

張峰，黃繼勛，王頌邦

（北京航天時(shí)代光電科技有限公司，北京100094）

針對(duì)振動(dòng)應(yīng)力下光纖陀螺產(chǎn)生測(cè)量誤差增大的問(wèn)題，從振動(dòng)對(duì)光纖環(huán)的影響機(jī)理出發(fā)，分析了振動(dòng)應(yīng)力下光纖陀螺干涉信號(hào)的表現(xiàn)形式，提出了基于自回歸最小均方濾波理論的光纖陀螺濾波方法，將AR模型的平穩(wěn)性和最小均方根濾波的自適應(yīng)性相結(jié)合，提取平穩(wěn)數(shù)據(jù)的特性參數(shù)，對(duì)高頻信號(hào)進(jìn)行濾波，降低非互易相移產(chǎn)生陀螺角速度誤差值的干擾。試驗(yàn)表明，該方法簡(jiǎn)單可行，有效地降低了振動(dòng)應(yīng)力下光纖陀螺輸出信息的噪聲，抑制了由振動(dòng)引起的陀螺漂移。

振動(dòng)；光纖陀螺；自回歸；最小均方

0 引言

振動(dòng)應(yīng)力對(duì)光纖陀螺的影響主要表現(xiàn)為振動(dòng)應(yīng)力對(duì)光纖陀螺光路部分的影響［1］，試驗(yàn)表明振動(dòng)應(yīng)力對(duì)光路部分的影響主要表現(xiàn)在對(duì)光纖環(huán)的影響，表現(xiàn)為引起光纖長(zhǎng)度、折射率和損耗的改變而產(chǎn)生測(cè)量誤差。目前，針對(duì)光纖陀螺易受振動(dòng)應(yīng)力的影響，主要采取的方法有加裝減震器和對(duì)光纖環(huán)固膠。文獻(xiàn)［2］提出加裝減震裝置來(lái)隔離環(huán)境振動(dòng)對(duì)光纖陀螺的影響，但光纖陀螺作為實(shí)時(shí)敏感姿態(tài)的核心部件，需要與載體進(jìn)行剛性連接，以確保測(cè)量的實(shí)時(shí)性，加裝減震裝置，會(huì)使其變?yōu)閺椥赃B接，導(dǎo)致測(cè)量的實(shí)時(shí)性受到影響。文獻(xiàn)［3］則采用固膠的方式，對(duì)膠體的熱脹冷縮的溫度特性和彈性模量要求較高，會(huì)導(dǎo)致光纖環(huán)產(chǎn)生附加應(yīng)力影響陀螺儀輸出性能。文獻(xiàn)［4］～文獻(xiàn)［6］提出的光纖環(huán)的四極對(duì)稱(chēng)繞法嚴(yán)格保證關(guān)于光纖長(zhǎng)度中點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)要處于相同位置，使其所受振動(dòng)影響相同，就能抑制振動(dòng)誤差，但實(shí)際操作非常困難，目前陀螺儀使用的光纖環(huán)長(zhǎng)度少則幾百米多則幾千米，無(wú)法嚴(yán)格使對(duì)稱(chēng)位置的光纖處于相同位置。針對(duì)上述文獻(xiàn)不足，本文提出了光纖陀螺自回歸最小均方濾波技術(shù)，通過(guò)數(shù)學(xué)濾波算法，降低非互易相移產(chǎn)生陀螺角速度誤差值的干擾，抑制了由振動(dòng)引起的陀螺漂移，提高陀螺儀抗振性能。

1 振動(dòng)對(duì)光纖陀螺的影響

1.1振動(dòng)應(yīng)力對(duì)光纖環(huán)影響

振動(dòng)應(yīng)力對(duì)光纖環(huán)的作用可分為軸向應(yīng)力與橫向應(yīng)力［7-9］。軸向應(yīng)力能導(dǎo)致光纖長(zhǎng)度的變化；橫向應(yīng)力一方面導(dǎo)致光纖的微彎損耗，另一方面可以引起偏振態(tài)的變化。

干涉式數(shù)字閉環(huán)光纖陀螺中反向傳播的兩束光分別從各自入射端同時(shí)入射光纖后，經(jīng)過(guò)光纖環(huán)中同一點(diǎn)的時(shí)間不同，即光程差不同，如圖1所示。

圖1　兩束光到達(dá)同一點(diǎn)所經(jīng)歷的光程Fig.1 The light path that reached by two beams of light

由圖1分別得到正反兩束光在振動(dòng)情況下經(jīng)過(guò)M點(diǎn)附近的微小長(zhǎng)度Δl時(shí)產(chǎn)生的附加相移，如式（1）所示。

式中，F(xiàn)為所受的應(yīng)力；φv0為應(yīng)力變化的初始相位；K為比例系數(shù)。

K可由下列公式計(jì)算得出:

式中，L為光纖環(huán)長(zhǎng)度；P11、P12為光纖材料的彈光系數(shù)；n為光纖材料的折射率；μ為波導(dǎo)的泊松比；E為波導(dǎo)的楊氏彈性模量；λ為光波波長(zhǎng)。

對(duì)于石英，有:n=1.456；P11=0.121；P12= 0.270；E=7×1010Pa；μ=0.17。

兩束光都經(jīng)過(guò)M點(diǎn)后，由振動(dòng)帶來(lái)的非互易相移為:

1.2振動(dòng)對(duì)與光纖環(huán)敏感軸平行方向的影響

在振動(dòng)應(yīng)力下，光纖環(huán)水平放置，光纖環(huán)敏感軸與振動(dòng)方向平行，光纖環(huán)圓周各部分受到的應(yīng)力相同，如圖2所示。

圖2　光纖環(huán)水平面各部分受到的應(yīng)力示意圖Fig.2 The strain distribution of horizon parts of fiber coil

在光纖環(huán)圓周上各個(gè)位置處的光纖所受的應(yīng)力與光纖在圓周上所處的位置無(wú)關(guān)，可近似認(rèn)為大小相等。設(shè)在振動(dòng)條件下，光纖環(huán)所受的應(yīng)力fi為:

式中，F(xiàn)為光纖環(huán)所受應(yīng)力的幅值；ω為應(yīng)力變化的頻率，即振動(dòng)頻率；φv0為應(yīng)力變化的初始相角。

從光纖兩端同時(shí)入射的兩束光到達(dá)M點(diǎn)時(shí)，分別經(jīng)歷了l和L-l的光程，對(duì)式（4）在整個(gè)光纖長(zhǎng)度L上進(jìn)行積分，可得到與振動(dòng)方向平行軸光纖環(huán)中由振動(dòng)引起的非互易相移Φh_error為:

1.3振動(dòng)對(duì)與光纖環(huán)敏感軸垂直方向的影響

對(duì)于振動(dòng)方向與光纖環(huán)敏感軸垂直方向來(lái)說(shuō)，受力分布如圖3所示。

圖3　光纖環(huán)垂直面各部分受到的應(yīng)力示意圖Fig.3 The strain distribution of vertical parts of fiber coil

圖3中，R為光纖環(huán)半徑；l為受力點(diǎn)距離光纖某一端口的距離；fh為光纖所受的橫向應(yīng)力。

當(dāng)光纖陀螺受到振動(dòng)時(shí)，設(shè)其所受到的應(yīng)力關(guān)系為:

則由振動(dòng)引起的非互易相移為:

對(duì)式（6）在整個(gè)光纖長(zhǎng)度L上進(jìn)行積分，得到與振動(dòng)方向垂直軸光纖環(huán)中由振動(dòng)引起的非互易相移Φv_error為:

1.4振動(dòng)引起的角速度誤差

由上述相位差的變化引起角速度誤差計(jì)算如下:

為了降低非互易相移產(chǎn)生陀螺角速度誤差值的干擾，提高陀螺儀抗振性能，本文對(duì)光纖陀螺進(jìn)行了數(shù)字濾波，提出了自回歸最小均方算法（LMS）濾波算法。

2 最小均方（LMS）自適應(yīng)濾波

LMS算法是一種自適應(yīng)濾波算法，它的理論基礎(chǔ)是最陡下降法［10-11］。LMS算法的主要特點(diǎn)是能自適應(yīng)調(diào)整濾波系數(shù)，從而更好地濾除噪聲［12-14］。算法的原理，如圖4所示。

圖4　LMS算法原理框圖Fig.4 Block diagram of LMS algorithm principle

其中，參考信號(hào)為d（n），輸出信號(hào)為y（n），將參考信號(hào)d（n）與輸入信號(hào)x（n）進(jìn)行比較，形成誤差信號(hào)e（n）。設(shè)濾波系數(shù)為ω（n），則誤差信號(hào)可以表為:

定義f（ω）為均方誤差性能函數(shù)，f（ω）表達(dá)式如下:

根據(jù)最陡下降法，n+1時(shí)刻的濾波系數(shù)ω（n+1）可以用簡(jiǎn)單遞歸關(guān)系來(lái)計(jì)算:

式中，u是一個(gè)正實(shí)數(shù)，通常稱(chēng)為自適應(yīng)收斂系數(shù)或步長(zhǎng)，Δ（n）為梯度矢量，可寫(xiě)為:

LMS算法是一種用瞬時(shí)值估計(jì)梯度矢量的方法，即:

由于瞬時(shí)估計(jì)梯度矢量的均值EΔ（n）［］等于梯度矢量Δ（n），所以這種瞬時(shí)估計(jì)是無(wú)偏估計(jì)，則濾波更新公式為:

LMS算法穩(wěn)定性的充要條件為:

λmax為輸入信號(hào)x（n）的自相關(guān)矩陣R的最大特征值。

3 AR模型

3.1AR模型介紹

在一定的近似程度上，任何廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程都可以用一階適當(dāng)?shù)腁RMA（n，m）過(guò)程來(lái)描述。設(shè)有一平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時(shí)間序列為則它的ARMA模型有以下形式:

式中，xk為時(shí)間序列；φn為模型系數(shù)（自回歸系數(shù)）；θm為模型系數(shù)（滑動(dòng)平均系數(shù)）；ak為殘差（白噪聲）；n、m為ARMA（n，m）模型階次數(shù)；n為時(shí)間序列長(zhǎng)度。

式（17）表示時(shí)間序列xk｛｝在k時(shí)間的取值xk可以用這個(gè)時(shí)間序列在過(guò)去n個(gè)時(shí)期的觀測(cè)量xk-1，xk-2，…，xk-n來(lái)估計(jì)，其誤差:

模型參數(shù)估計(jì)采用長(zhǎng)自回歸模型法，基于觀測(cè)時(shí)序建立起來(lái)的AR模型、MA模型、ARMA模型均為等價(jià)的數(shù)學(xué)模型。因此，可先估計(jì)出AR模型，再根據(jù)傳遞函數(shù)相等的關(guān)系估計(jì)出ARMA模型的參數(shù)與φn、θm。

3.2建模過(guò)程

首先對(duì)光纖陀螺的漂移數(shù)據(jù)進(jìn)行功率譜估計(jì)，用濾波方法消除確定頻率分量的噪聲，然后進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，在建立光纖陀螺儀的自回歸參數(shù)模型。取光纖陀螺儀實(shí)測(cè)一段振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，如圖5所示，數(shù)據(jù)包含振動(dòng)前、振動(dòng)中和振動(dòng)后的數(shù)據(jù)。

圖5　光纖陀螺儀輸出Fig.5 The output of the fiber optical gyroscope

對(duì)振動(dòng)前的一段平穩(wěn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果如圖6所示。

圖6　陀螺儀輸出平穩(wěn)數(shù)據(jù)的功率譜圖Fig.6 The output of the filter based on LMS theory

由圖6可知，光纖陀螺漂移的噪聲能量比較均勻地分布在頻率軸上，僅在低頻段能量較大，說(shuō)明陀螺儀使用了低通濾波，陀螺儀漂移信號(hào)接近于白噪聲，從方框圖分布來(lái)看，該陀螺儀的噪聲符合高斯分布的白噪聲。

3.3AR模型參數(shù)估計(jì)

本文采用由赤池弘治提出的BIC準(zhǔn)則，這一準(zhǔn)則是赤池弘治于1976年提出，其準(zhǔn)則函數(shù)為:其中，p為模型的階次，N為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。為模型的殘差。各模型的參數(shù)如表1所示。

表1　各模型的參數(shù)表Table 1 Model parameters

4 基于自回歸AR模型的LMS算法

LMS算法實(shí)際上是通過(guò)將輸入信號(hào)d（n）與目標(biāo)參考信號(hào)x（n）進(jìn)行比較，自適應(yīng)條件濾波系數(shù)ω（n），使得輸出輸出信號(hào)y（n）無(wú)限逼近目標(biāo)參考信號(hào)x（n），因此，參考信號(hào)x（n）結(jié)果直接影響了輸出信號(hào)y（n）的性能和大小。作為一種實(shí)時(shí)濾波更新算法，參考信號(hào)x（n）只能通過(guò)先驗(yàn)信息獲取或者借助外界信息，本文針對(duì)上述問(wèn)題，采用了自回歸理論獲取參考信號(hào)x（n），提出了基于自回歸AR模型的LMS算法。

依據(jù)上述各模型參數(shù)對(duì)應(yīng)的BIC值，選擇4階AR（4）模型最合適，建立如下方程:

其中，φ1、φ2、φ3、φ4為表1中的參數(shù)值。則改進(jìn)后的LMS算法框圖如圖7所示。

圖7　改進(jìn)LMS算法原理框圖Fig.7 Block diagram of improved LMS algorithm principle

算法如下:

分析結(jié)果如下:

選擇調(diào)節(jié)參數(shù)μ=0.005，經(jīng)過(guò)改進(jìn)型LMS自適應(yīng)濾波后輸出結(jié)果如圖8所示。

圖8　基于AR和LMS理論的濾波輸出Fig.8 The output of the filter based on AR and LMS theory

濾波前后陀螺儀輸出均值如表2所示。

表2　濾波前后陀螺儀輸出Table 2 The output of gyro before and after filtering

從圖8所示結(jié)果分析，濾波后的噪聲水平比濾波前的噪聲水平下降了10倍左右，濾波效果較為明顯，對(duì)振中零位誤差的抑制有一定的作用，采用該濾波方法能夠降低噪聲水平，有效地抑制振動(dòng)引起的誤差。

對(duì)于不同調(diào)節(jié)參數(shù)μ，算法穩(wěn)定速度不同，分別以μ=0.005，μ=0.01，μ=0.015，μ=0.02四種不同參數(shù)值作仿真，結(jié)果如圖9所示。

仿真過(guò)程中，通過(guò)改變調(diào)節(jié)參數(shù)μ可以改變穩(wěn)定時(shí)間:當(dāng)調(diào)節(jié)參數(shù)μ變小時(shí)，穩(wěn)定速度變慢，但穩(wěn)定后的波動(dòng)較小，信號(hào)的穩(wěn)定性變好；相反，當(dāng)調(diào)節(jié)參數(shù)μ變大時(shí)，穩(wěn)定速度變快，但穩(wěn)定性變差，若μ變得過(guò)大，則算法不收斂，容易發(fā)散，不能解調(diào)出信號(hào)。因此，需要根據(jù)實(shí)際使用情況具體選用參數(shù)。

圖9　不同調(diào)節(jié)參數(shù)下誤差隨時(shí)間輸出Fig.9 The output of error with different parameters

5 結(jié)論

本文針對(duì)目前在振動(dòng)環(huán)境下，光纖陀螺組合輸出噪聲較大的問(wèn)題，提出了一種自回歸最小均方自適應(yīng)濾波方法，該方法是通過(guò)構(gòu)造較為簡(jiǎn)單的自適應(yīng)濾波器，濾除高頻振動(dòng)導(dǎo)致的非互易相移信號(hào)。通過(guò)試驗(yàn)證明了該方法的可行性和有效性，可以在很大程度上抑制振動(dòng)引起的陀螺儀測(cè)量誤差，該方法計(jì)算簡(jiǎn)單，為工程化奠定理論基礎(chǔ)。

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Study on Self-regress and Least Mean Square Filter of Fiber Optic Gyroscope Based on Vibration Stress

ZHANG Feng，HUANG Ji-xun，WANG Song-bang
（Beijing Aerospace Times Optical-electronic Technology Co.，Ltd.，Beijing 100094）

Aimed at the problem of vibration can cause measure error and make the signal noise increases.From the mechanism of the impact on the light path which caused by vibration，the signal form of the light path under the influence of vibration is analyzed，a principle that could inhibit the light path signal noise base on least mean square filter algorithm，reducing interference from non-reciprocal phase shift gyro angular velocity error value.The simulation shows that the method is effective，by using this method can effectively restrain the error and noise caused by vibration.

vibration；fiber optical gyroscope；auto-regress；least mean square

U666.1

A

1674-5558（2016）02-01173

10.3969/j.issn.1674-5558.2016.05.011

張峰，男，工程師，博士，研究方向?yàn)榻萋?lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)技術(shù)。

2015-08-02

光纖陀螺姿態(tài)測(cè)量系統(tǒng)技術(shù)（編號(hào):51309030106）