安徽省太和中學(xué) 岳峻 韓長(zhǎng)峰

球的接、切問題處理策略

安徽省太和中學(xué) 岳峻 韓長(zhǎng)峰

從2016年起，安徽省高考不再是自主命題，而是采用全國(guó)Ⅰ卷，這是挑戰(zhàn)，其中的一個(gè)挑戰(zhàn)包括球的接、切問題。近十年安徽省自主命題一般不考查此類問題，但是這在全國(guó)Ⅰ卷屬于必考知識(shí)點(diǎn)。作為一個(gè)不可小覷的考點(diǎn)，我們要了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積公式、體積公式，從而解決與球的截面有關(guān)的問題。

下面就球的接、切問題進(jìn)行分類探討，并給出相應(yīng)的解決對(duì)策。

一、考查球的表面積、體積

策略 關(guān)鍵是由已知球的接、切信息的幾何特征探求球的半徑，然后代入相應(yīng)的公式S球=，求解球的表面積和體積。

例1 設(shè)球的體積為V1，它的內(nèi)接正方體的體積為V2，下列說法最合適的是（ ）。

A.V1比V2大約多一半 B.V1比V2大約多兩倍半

C.V1比V2大約多一倍 D.V1比V2大約多一倍半

評(píng)注 本題利用球的直徑亦即內(nèi)接正方體的體對(duì)角線這一知識(shí)點(diǎn)，建立等量關(guān)系求得兩個(gè)幾何體的內(nèi)在聯(lián)系。

二、考查球的截面的性質(zhì)

策略 球心與球的截面圓的圓心的連線垂直于該截面圓，球心與球面上任意一點(diǎn)所連的線段都是球的半徑。這些性質(zhì)是解決球的接、切問題過程中化空間為平面的根本依據(jù)。

例2 已知A、B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（ ）。

A.36π B.64π C.144π D.256π

解析 如右圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于平面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ABC的體積最大。設(shè)球O的半徑為R，此時(shí)

解得R=6，所以球O的表面積為S=4πR2=144π。故選C。

評(píng)注 本題求三棱錐O-ABC體積的最大值時(shí)，靈活地借助于三棱錐的特性轉(zhuǎn)化為求三棱錐C-AOB體積的最大值，是一個(gè)很好的策略。

例3 如右圖所示，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱。當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是。

當(dāng)且僅當(dāng)h2=R2-h2，即2h2=R2時(shí)取等號(hào)。

故圓柱側(cè)面積的最大值為2πR2。

此時(shí)球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是4πR2-2πR2=2πR2。故填2πR2。

評(píng)注 本題運(yùn)用已知信息及圓柱體的有關(guān)性質(zhì)，建立圓柱體側(cè)面積關(guān)于球半徑R的關(guān)系式，靈活應(yīng)用基本不等式，求得圓柱的側(cè)面積最大時(shí)R與圓柱體高h(yuǎn)的關(guān)系。

三、考查與球有關(guān)的組合體

策略與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接。解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素之間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，常見的一些軸截面圖如下：

內(nèi)切問題的關(guān)鍵是抓住相切時(shí)的實(shí)質(zhì)，即球心到切點(diǎn)的距離等于球的半徑；外接問題的關(guān)鍵是抓住相接時(shí)的特征，即球心到接點(diǎn)（多面體的頂點(diǎn)）的距離等于球的半徑。

例4 正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為（ ）。

解析 如右圖所示，設(shè)O為球心，PO=OA=R，OO1=x，

評(píng)注 本題巧妙運(yùn)用正四棱錐的性質(zhì)，確定其外接球的球心在它的高PO1上，進(jìn)而建立直角三角形，解出球的半徑，再求出球的表面積。

例5 如右圖所示，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為（ ）。

解析 設(shè)球的半徑為R，則由題知，球被正方體上底面所在平面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為R-2，球平行于正方體側(cè)面的軸截面如右圖所示，△OBA為直角三角形，

則R2=（R-2）2+42，解得R=5，

評(píng)注 球與多面體間的“切”的問題，關(guān)鍵突破口是作出過它們的切點(diǎn)且與軸截面重合的一個(gè)截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決，在計(jì)算過程中要抓住球半徑這個(gè)主要元素。

解析 如右圖所示（部分線段未畫出），設(shè)球心為O，正方形ABCD的中心為O1，

易知SO2為線段OO1的垂直平分線，所以SO1=SO=1。故選C。

評(píng)注 解決球與其他幾何多面體間的“接”的問題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察和分析，弄清相關(guān)元素的幾何關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面，使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系，達(dá)到空間問題平面化的目的。

例7 正四面體的內(nèi)切球、與棱相切的球、外接球這三類球的半徑之比為。

解析 設(shè)正四體的棱長(zhǎng)為1，外接球和內(nèi)切球半徑依次為R、r，由正四面體三個(gè)球心重合及其特征，則正四面體的高

評(píng)注 正四面體的棱長(zhǎng)為a，高為h，外接球、內(nèi)切球的半徑分別為R、r，相鄰兩個(gè)表面所成的角為θ，則，其推導(dǎo)方法中隱含著等體積變換和分割法。如果將正四面體納入正方體中得到其伴隨正方體，正四面體的體積等于其伴隨正方體體積的，正四面體的外接球和其伴隨正方體的外接球是同一個(gè)球，正四面體的棱長(zhǎng)等于其伴隨正方體棱長(zhǎng)的倍。利用這種伴隨關(guān)系可以簡(jiǎn)化求正四面體的有關(guān)問題。

例8 設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ）。

解析 過三棱柱的側(cè)棱AD及球心O作一平面截球，得如圖所示的平面，設(shè)點(diǎn)G為正三角形ABC的中心，連接AO、OG，則OG⊥AG，

四、考查與多球有關(guān)的接、切

策略解決此類問題的關(guān)鍵是抓住球與球之間的連心線的長(zhǎng)是兩球半徑的和。

例9 將半徑都為1的4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為（ ）。

解析 由題意，四個(gè)半徑為1的小球的球心O1，O2，O3，O4恰好構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正四面體O1-O2O3O4，并且各面與正四面體容器P-ABC的各對(duì)應(yīng)面的距離都為1。

如圖所示，正四面體O1-O2O3O4與P-ABC是有共同的外接球球心O的相似正四面體，從而有，

又HQ=1，所以O(shè)1P=3，由于

由于“球”是“圓”在空間概念上的延伸，所以研究球的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)注意與圓的性質(zhì)類比。球的軸截面是大圓，它幾乎含有球的全部元素，所以針對(duì)有關(guān)球的計(jì)算，往往可以作出球的一個(gè)大圓，化“球”為“圓”來解決問題；在解決與球有關(guān)的“切”“接”問題時(shí)，一般要過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關(guān)系。總之，只要發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，所有問題便可迎刃而解。