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        快速求得錯位相減法求和的結果

        2016-10-31 06:33:14安徽省太和中學岳峻
        青蘋果 2016年18期
        關鍵詞:公比通項錯位

        安徽省太和中學岳峻

        快速求得錯位相減法求和的結果

        安徽省太和中學岳峻

        錯位相減法是數(shù)列求和的重要方法,其適用范圍明確,容易理解。但是,大多數(shù)同學往往難以正確計算,屢用屢錯。為此,筆者向同學們介紹一種方法,能夠快速求得錯位相減法求和的計算結果(若無特別說明,本文中n∈N*)。

        一、方法介紹

        錯位相減法求和適用于通項公式為“等差數(shù)列乘以等比數(shù)列”形式的數(shù)列,此類數(shù)列{cn}總可以化為{anbn}的形式,其中數(shù)列{an}、{bn}分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列,它們的通項公式分別為an=an+b,bn=qn-1(q≠1)。若{cn}滿足上述條件,則其前n項和Sn也一定為一個等差數(shù)列乘以公比q的 n次方再加一個常數(shù)形式,亦即Sn=(An+B)·+C,其中

        特別提醒:等比數(shù)列的首項必須化為1。

        二、方法驗證

        上面的結果正確嗎?如果不相信,我們就來檢驗一下吧!

        例1設等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的公比為q。已知b1=a1,b2=2,q= d,S10=100。

        (1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式。

        同學可以自行運用錯位相減法求出結果,對方法進行驗證。

        三、方法應用快釋疑

        利用公式法快速求得錯位相減法求和的計算結果,必須使等比數(shù)列{bn}的通項公式為bn=qn-1(q≠1),即b1=1。此時可能同學們要問了,如果等比數(shù)列{bn}的首項不為1,那該怎么辦呢?請看下面例題。

        (1)求an與bn。

        (2)記數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn,求Tn。

        解析(1)an=2n,bn=n。

        (2)設cn=n·2n=2n·2n-1,

        點評本例中把cn=n·2n改寫為cn=2n·2n-1,變形為“標準形式”,只有如此,才可以利用本文介紹的方法探求結果。

        例3已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1。

        (1)求數(shù)列{bn}的通項公式。

        解析(1)an=6n+5,bn=3n+1。

        (2)cn=3(n+1)·2n+1=(12n+12)·2n-1,則

        點評本例中把cn=3(n+1)·2n+1改寫為cn=(12n+12)·2n-1,變形為“標準形式”。

        估計有同學會問:解答題我們該怎么書寫?

        只需要寫出Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,乘以公比,得qSn=q(a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1),再兩式相減,然后直接寫出結果即可。

        四、方法的活用

        例4已知數(shù)列{an}滿足an+2=qan(q為實數(shù),且q≠1),a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數(shù)列。

        (1)求q的值和{an}的通項公式。

        例5設數(shù)列{an}的前n項和為Sn。已知2Sn=3n+3。

        (1)求{an}的通項公式。

        (2)若數(shù)列{bn}滿足anbn=log3an,求{bn}的前n項和Tn。

        五、方法的證明

        數(shù)列{an}、{bn}分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列,它們的通項公式分別為an=an+b,bn=qn-1(q≠1),則{cn}的前n項的和為:

        兩式相減,得:

        同學們,快速“搞定”錯位相減求和法的計算結果的方法,你會了嗎?

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