安徽省太和中學(xué)岳峻

快速求得錯(cuò)位相減法求和的結(jié)果

安徽省太和中學(xué)岳峻

錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的重要方法，其適用范圍明確，容易理解。但是，大多數(shù)同學(xué)往往難以正確計(jì)算，屢用屢錯(cuò)。為此，筆者向同學(xué)們介紹一種方法，能夠快速求得錯(cuò)位相減法求和的計(jì)算結(jié)果（若無(wú)特別說(shuō)明，本文中n∈N*）。

一、方法介紹

錯(cuò)位相減法求和適用于通項(xiàng)公式為“等差數(shù)列乘以等比數(shù)列”形式的數(shù)列，此類(lèi)數(shù)列｛cn｝總可以化為｛anbn｝的形式，其中數(shù)列｛an｝、｛bn｝分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列，它們的通項(xiàng)公式分別為an=an+b，bn=qn-1（q≠1）。若｛cn｝滿足上述條件，則其前n項(xiàng)和Sn也一定為一個(gè)等差數(shù)列乘以公比q的 n次方再加一個(gè)常數(shù)形式，亦即Sn=（An+B）·+C，其中

特別提醒：等比數(shù)列的首項(xiàng)必須化為1。

二、方法驗(yàn)證

上面的結(jié)果正確嗎？如果不相信，我們就來(lái)檢驗(yàn)一下吧！

例1設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列｛bn｝的公比為q。已知b1=a1，b2=2，q= d，S10=100。

（1）求數(shù)列｛an｝、｛bn｝的通項(xiàng)公式。

同學(xué)可以自行運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出結(jié)果，對(duì)方法進(jìn)行驗(yàn)證。

三、方法應(yīng)用快釋疑

利用公式法快速求得錯(cuò)位相減法求和的計(jì)算結(jié)果，必須使等比數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式為bn=qn-1（q≠1），即b1=1。此時(shí)可能同學(xué)們要問(wèn)了，如果等比數(shù)列｛bn｝的首項(xiàng)不為1，那該怎么辦呢？請(qǐng)看下面例題。

（1）求an與bn。

（2）記數(shù)列｛anbn｝的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn。

解析（1）an=2n，bn=n。

（2）設(shè)cn=n·2n=2n·2n-1，

點(diǎn)評(píng)本例中把cn=n·2n改寫(xiě)為cn=2n·2n-1，變形為“標(biāo)準(zhǔn)形式”，只有如此，才可以利用本文介紹的方法探求結(jié)果。

例3已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n，｛bn｝是等差數(shù)列，且an=bn+bn+1。

（1）求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式。

解析（1）an=6n+5，bn=3n+1。

（2）cn=3（n+1）·2n+1=（12n+12）·2n-1，則

點(diǎn)評(píng)本例中把cn=3（n+1）·2n+1改寫(xiě)為cn=（12n+12）·2n-1，變形為“標(biāo)準(zhǔn)形式”。

估計(jì)有同學(xué)會(huì)問(wèn)：解答題我們?cè)撛趺磿?shū)寫(xiě)？

只需要寫(xiě)出Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn，乘以公比，得qSn=q（a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1），再兩式相減，然后直接寫(xiě)出結(jié)果即可。

四、方法的活用

例4已知數(shù)列｛an｝滿足an+2=qan（q為實(shí)數(shù)，且q≠1），a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差數(shù)列。

（1）求q的值和｛an｝的通項(xiàng)公式。

例5設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn。已知2Sn=3n+3。

（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式。

（2）若數(shù)列｛bn｝滿足anbn=log3an，求｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn。

五、方法的證明

數(shù)列｛an｝、｛bn｝分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列，它們的通項(xiàng)公式分別為an=an+b，bn=qn-1（q≠1），則｛cn｝的前n項(xiàng)的和為：

兩式相減，得：

同學(xué)們，快速“搞定”錯(cuò)位相減求和法的計(jì)算結(jié)果的方法，你會(huì)了嗎？