周曉強(qiáng)

（甘肅省敦煌市敦煌中學(xué)）

淺談利用功能關(guān)系求做功題型

周曉強(qiáng)

（甘肅省敦煌市敦煌中學(xué)）

一個(gè)物體能對(duì)外做功，我們認(rèn)為這個(gè)物體具有能量。功和能是兩個(gè)密切相關(guān)的物理量，做了多少功就有多少能量轉(zhuǎn)化，功是能量轉(zhuǎn)化的量度。在能量轉(zhuǎn)化過(guò)程中，功扮演了重要的角色，利用功能關(guān)系求做功是高中物理教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。各種能量的轉(zhuǎn)化過(guò)程必然對(duì)應(yīng)某種力在做功。高中階段常見的功能關(guān)系有：

1.合力做功與動(dòng)能關(guān)系；

2.重力做功與重力勢(shì)能關(guān)系；

3.彈力做功與彈性勢(shì)能關(guān)系；

4.除重力、彈力以外其他力做功與機(jī)械能關(guān)系；

5.摩擦力做功與內(nèi)能的關(guān)系；

6.電場(chǎng)力做功與電勢(shì)能關(guān)系；

7.利用熱力學(xué)第一定律求系統(tǒng)與外界之間的做功問(wèn)題；

8.感應(yīng)電流所受安培力做功與回路中產(chǎn)生電能的關(guān)系問(wèn)題等等。

下面以例題的形式介紹利用功能關(guān)系求功：

一、利用動(dòng)能定理求功

動(dòng)能定理：合外力做功與物體動(dòng)能的變化量相等，即W合=ΔEK。

動(dòng)能定理與一個(gè)過(guò)程相對(duì)應(yīng)，首先確定對(duì)象分析受力，其次針對(duì)過(guò)程求總功，確定初、末動(dòng)能，按照定理列方程。功求解過(guò)程中涉及的位移參照物和初、末動(dòng)能中速度的參照物是一致的，一般都是地面。

例1.一質(zhì)量為m的小球，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩懸掛在O點(diǎn)。小球在水平力F作用下，從平衡位置P點(diǎn)很緩慢地移動(dòng)到Q點(diǎn)，如圖所示，求力F做的功為（）

解析：對(duì)緩慢移動(dòng)要抓住兩層意思：（1）物體動(dòng)能不變（2）物體時(shí)刻處于平衡態(tài)。由受力分析知F=mgtanθ，F(xiàn)隨θ角變化，F(xiàn)為變力，不能用恒力做功公式。由動(dòng)能定理總功為零，因此WF+WG=0，將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功，WF=mgL（1-cosθ），故B正確，可見動(dòng)能定理可以求變力做功問(wèn)題。

說(shuō)明：動(dòng)能定理是一個(gè)適用面非常廣的定理，凡是涉及力對(duì)物體做功引起物體動(dòng)能變化的過(guò)程幾乎都能用，既能解決恒力做功問(wèn)題，又能解決變力做功問(wèn)題。

二、利用重力勢(shì)能變化求重力做功

重力做正功，重力勢(shì)能減??；重力做負(fù)功，重力勢(shì)能增加。重力做功與路徑無(wú)關(guān)，只與初末位置的高度有關(guān)，重力做功等于重力勢(shì)能的改變量，即WG=-ΔEP。重力勢(shì)能是相對(duì)量，必須選參考面，默認(rèn)地面。

例2.如圖所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，質(zhì)量為m的均勻繩，半段置于水平的光滑桌面上，另半段垂于桌面下，當(dāng)繩下滑全部離開桌面時(shí)，則重力所做的功為多少？

三、利用彈性勢(shì)能的變化求彈力做功

彈力做正功，彈性勢(shì)能減小，彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加。彈力做功等于彈性勢(shì)能的改變量，即W彈=ΔEp彈。

例3.如圖所示，質(zhì)量為m的物體從固定的光滑斜面上的A點(diǎn)由靜止滑下，與固連在斜面上并且沿斜面方向的輕質(zhì)彈簧接觸，并將彈簧壓縮至最低點(diǎn)B，試求彈簧對(duì)物體做的功。（已知AB=x，斜面傾角為θ，彈簧原長(zhǎng)在A點(diǎn)）

解析：以彈簧、物體為系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律：初末位置動(dòng)能為零，重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，即：ΔEP重減=ΔEP彈增=mgxsinθ，由彈簧彈力做功與彈性勢(shì)能的關(guān)系得：W彈-ΔEP彈=-mgxsinθ，彈力做了等量負(fù)功。

說(shuō)明：此題也可以應(yīng)用動(dòng)能定理求得。

四、除重力、彈力以外其他力做功與機(jī)械能的關(guān)系

由動(dòng)能定理W合=ΔEK將總功一分為二，將重力（或彈力）做功與其余的力做功分開，W其他+WG=ΔEK，又WG=-ΔEP將其代入，W其他=ΔEK+ΔEP=ΔE，即除重力（或彈力）之外其他力做功等于機(jī)械能的增加量，其他力做正功，機(jī)械能增加，其他力做負(fù)功，機(jī)械能減小。我們平時(shí)所見的多數(shù)過(guò)程機(jī)械能并不守恒，這就可以利用機(jī)械能的變化求其他力做功。

例4.如圖所示，電梯的地板上放一質(zhì)量為m的物體，鋼繩拉電梯由靜止開始以加速度a向上勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)上升的高度為h時(shí)，物體的機(jī)械能增加了多少？

解析：對(duì)物體受力分析知，除重力之外，物體受支持力FN，支持力做正功，物體機(jī)械能增加，由牛頓第二定律FN-mg=ma，F(xiàn)N= mg+ma，W其他=ENh=（mg+ma）h，即物體機(jī)械能增加了（mg+ma）h。

五、摩擦力做功與內(nèi)能的關(guān)系

摩擦力做功的特點(diǎn)：

1.無(wú)論靜摩擦力還是滑動(dòng)摩擦力，都可能做正功、負(fù)功或不做功；

2.一對(duì)靜摩擦力做功之和為零，但一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功之和一定為負(fù)值，一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功會(huì)使系統(tǒng)機(jī)械能減少轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；

3.如果只有滑動(dòng)摩擦力做功，滑動(dòng)摩擦力與相互作用物體相對(duì)位移的乘積等于系統(tǒng)機(jī)械能的損失。

例5.如圖，質(zhì)量為m的子彈以速度v1射入以速度v2同方向運(yùn)動(dòng)的木塊，質(zhì)量為M，當(dāng)子彈進(jìn)入木塊的深度為d時(shí)，子彈的速度為v1′，木塊的速度為v2′，若子彈與木塊之間的相互作用力恒為f，求該過(guò)程損失的機(jī)械能？

解析：設(shè)木塊的位移為s，子彈相對(duì)木塊的位移為d，相對(duì)地面的位移為（s+d）

兩式相加：

說(shuō)明：由上式知系統(tǒng)損失的動(dòng)能等于滑動(dòng)摩擦力與相對(duì)位移的乘積，這一結(jié)論可以應(yīng)用于類似系統(tǒng)的動(dòng)能變化之中。

六、電勢(shì)能變化與電場(chǎng)力做功的關(guān)系

由電場(chǎng)力做功定義式W電=Uabq=（φa-φb）q=Epa-Epb=-ΔEp，即電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減小，電場(chǎng)力做負(fù)功，電勢(shì)能增加。

例6.電子質(zhì)量為m，電量為e，沿電場(chǎng)線方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電子經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)速率為v，到達(dá)B點(diǎn)的速率為零，則A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)差為（）

解析：由動(dòng)能定理：UA（B-e）=0-mv2，則UAB=，應(yīng)選A，電場(chǎng)力做負(fù)功，電子在電場(chǎng)中的電勢(shì)能增加了。

七、利用熱力學(xué)第一定律求做功

物體通過(guò)兩種方式改變內(nèi)能：做功和熱傳遞。外界對(duì)物體做功且物體吸收熱量，物體內(nèi)能增加，反之，內(nèi)能減少。表達(dá)式：ΔU= Q+W

例7.空氣壓縮機(jī)在一次壓縮空氣中，空氣放出熱量3×105J，空氣內(nèi)能增加了2×105J，求壓縮機(jī)對(duì)空氣做了多少功？

解析：由熱力學(xué)第一定律：ΔU=Q+W得：W=ΔU-Q=2×105J-（-3×105J）=5×105J，所以，此過(guò)程壓縮機(jī)對(duì)空氣做功5×105J。

說(shuō)明：應(yīng)用此公式需注意物理量的正負(fù)，內(nèi)能增加，ΔU為正，內(nèi)能減小，ΔU為負(fù)；物體吸熱，Q為正，物體放熱，Q為負(fù)；外界對(duì)物體做功，W為正；物體對(duì)外做功，W為負(fù)。

八、在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，感應(yīng)電流所受安培力做功的數(shù)值與回路中產(chǎn)生電能的關(guān)系

安培力做正功，將電能轉(zhuǎn)化為其他形式能；安培力做負(fù)功，將其他形式能轉(zhuǎn)化為電能。感應(yīng)電流的安培力做了多少功就有多少電能改變。

例8.如圖所示，有一水平的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（磁場(chǎng)的方向指向讀者），在垂直于磁場(chǎng)方向的豎直面內(nèi)放一矩形金屬框，框的一邊ab可無(wú)摩擦地上下滑動(dòng)（滑動(dòng)時(shí)ab仍保持水平），ab邊的質(zhì)量m=2×10-4kg，長(zhǎng)度L=0.1m，ab邊的電阻R=0.2Ω（框的其他三邊的電阻可忽略），磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.1T，重力加速度g=10m/s2，空氣阻力不計(jì)，如果ab邊勻速下落，求：

（1）ab下落的速度大小；

（2）在1s內(nèi)回路中電流做的功。

解析：金屬桿勻速下落，受平衡力作用F=mg（1）

由F=BIL（2）

又感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv（3）

由閉合電路歐姆定律：E=IR（4）

解得：v=4m/s

在1s內(nèi)回路中電流所做功等于該段時(shí)間內(nèi)回路產(chǎn)生的電能?；芈分挟a(chǎn)生的電能等于克服安培力做功，通過(guò)安培力做負(fù)功，機(jī)械能向電能轉(zhuǎn)化。安培力做功WF=-F×L=-Fvt=-8×10-3J。即電流所做功為W=8×10-3J。

說(shuō)明：電流所做的功也等于該過(guò)程回路中產(chǎn)生的熱量：Q= I2Rt=8×10-3J。

總之，功是一個(gè)過(guò)程量，能量是一個(gè)狀態(tài)量，功能關(guān)系顯然將一個(gè)過(guò)程量的計(jì)算與一個(gè)狀態(tài)量的計(jì)算聯(lián)系了起來(lái)。在高考物理試題中，無(wú)論是選擇題還是計(jì)算題都會(huì)頻繁涉及功能關(guān)系，熟練掌握功能關(guān)系意味著高考的一個(gè)難點(diǎn)得以突破。

張小軍.高三物理“功與能”專題復(fù)習(xí)策略［J］.學(xué)周刊，2013（34）.

·編輯楊國(guó)蓉