黃雙印，郭振平

（延邊大學(xué)理學(xué)院物理系，吉林延吉 133002）

大學(xué)生園地

多普勒效應(yīng)與觀察者相對聲源位置的關(guān)系

黃雙印，郭振平

（延邊大學(xué)理學(xué)院物理系，吉林延吉 133002）

在時空圖中，描繪出靜止聲源相位運動時空線和觀察者運動時空線，用二條時空線的相交表示觀察者對聲信號的接收，并運用數(shù)形結(jié)合及數(shù)學(xué)解析的方法推導(dǎo)出多普勒效應(yīng)的公式，公式表明多普勒效應(yīng)不僅與觀察者相對聲源的速度有關(guān)，還與觀察者相對聲源的位置有關(guān).

多普勒效應(yīng)；相對位置；不共線；時空圖

由于聲源或觀察者的運動而出現(xiàn)觀測頻率與波源頻率不同的現(xiàn)象，稱為多普勒效應(yīng)［1-3］.目前，多普勒效應(yīng)已在車速監(jiān)測、醫(yī)療診斷和工程技術(shù)等各方面有著十分廣泛的應(yīng)用.然而，生活中物體的運動是復(fù)雜的，在實踐中會發(fā)現(xiàn)若干新的問題，促使人們對多普勒效應(yīng)不斷進(jìn)行著廣泛的研究［4-15］.

文獻(xiàn)［5-12］考慮了波的傳播方向、波源速度、觀察者速度三者不共線的一般情況，得到了適用范圍較廣的多普勒效應(yīng)的普遍公式，揭示了多普勒效應(yīng)既決定于觀察者相對于介質(zhì)的速度，又決定于聲源相對于介質(zhì)的速度.文獻(xiàn)［13，14］通過分析計算發(fā)現(xiàn)：聲波的多普勒效應(yīng)不僅與速度有關(guān)，還與聲源和觀察者的相對位置有關(guān).受此啟發(fā)，本文將采用文獻(xiàn)［15］給出的聲源相位運動和觀察者運動的時空線的描述方法，通過直觀的幾何認(rèn)識再到簡單的數(shù)學(xué)解析來對多普勒效應(yīng)進(jìn)行分析.

為了便于討論，我們只考慮聲源靜止而觀察者相對聲源的運動情況.

1 觀察者沿聲波方向做勻速直線運動的多普勒效應(yīng)

如圖1所示，觀察者相對靜止聲源勻速運動.S是聲源，O是觀察者，觀察者與聲源的初始距離為l，觀察者的速度為u，聲速為v.波動是振動在介質(zhì)中的傳播現(xiàn)象.對于聲波，可認(rèn)為每一個周期發(fā)出一個同相位信號.一系列的同心圓表示聲源在每一個周期T內(nèi)的等相位面.聲信號的相位在靜止空氣中的傳播和觀察者的運動在時空圖中的描述如圖2所示.以聲源S的位置為坐標(biāo)原點，橫軸x表示觀察者離聲源的距離，縱軸t表示時間.射線S0、S1、S2、…表示聲源在0、1T、2T、…時刻發(fā)出的信號在靜止空氣中的傳播，其中T表示聲源振動所發(fā)出的聲波周期.射線OA′表示觀察者在時空中的運動，A點表示觀察者接收到聲源發(fā)出聲信號的第一個相位，B點表示觀察者接收到聲源發(fā)出聲信號的第二個相位，則觀察者接收到聲信號的周期T′=tB-tA，觀察者接收到聲信號的頻率v′=1/T′.

圖1 觀察者相對靜止聲源勻速運動

圖2 用時空圖描述聲信號的傳播和觀察者的運動

從圖2中的一系列交點可以看到T′不隨位置和時間的改變而改變，只和直線的斜率有關(guān)，也就是說T′只和觀察者相對聲源的運動速度有關(guān).令直線SA的斜率為k0，射線OA′的斜率為k，這兩類直線可分別稱為聲源相位運動時空線和觀察者運動時空線［15］，它們的斜率分別表征了聲波的速度的倒數(shù)和觀察者運動速度的倒數(shù).圖2中線段AD為AB在Ox軸上的投影.連接BD與聲源相位運動時空線SA交于C點，過C點作AD的平行線與AB相交于E點.顯然，BC=T，BD=T′，根據(jù)兩個三角形ΔADC與ΔADB之間的幾何關(guān)系不難看出：

式（3）就是一般文獻(xiàn)中所討論的觀察者沿聲波傳播方向遠(yuǎn)離聲源運動時的多普勒效應(yīng)公式.要求u＜v，且靠近聲源時u為負(fù)值，遠(yuǎn)離聲源時u為正值.式中ν=1/T為聲源的振動頻率.

2 觀察者不沿聲波方向做勻速直線運動的多普勒效應(yīng)

生活中，當(dāng)觀察者接收聲源發(fā)出的聲信號時，觀察者的運動并不一定恰好沿聲波傳播方向，而是與聲波方向成一定角度θ，如圖3所示.設(shè)觀察者的運動方向所在直線與聲源的垂直距離為d，x表示任意時刻觀察者與聲源的距離，u表示觀察者運動的速度（u＜v且靠近聲源時u為負(fù)值，遠(yuǎn)離聲源時u為正值），l表示在運動方向上離聲源的初始距離.由幾何關(guān)系得出：（當(dāng)觀察者靠近聲源時，t∈［0，l/u］；當(dāng)觀察者遠(yuǎn)離聲源時，t∈［0，∞］）.

圖3 觀察者與聲源成一定角度運動

此時，聲信號的相位在靜止空氣中的傳播和觀察者的運動在時空圖中的描述如圖4所示.從圖4的一系列交點可以看到T′隨著位置和時間的改變而改變，即觀察者不沿聲波方向做勻速直線運動時，所接受到的頻率或周期隨觀察者相對聲源的位置的變化而變化.下面，分別從聲源的振動周期比較小和聲源的振動周期比較大的兩種情況進(jìn)行探討.

圖4 觀察者不沿聲源方向做勻速運動的時空圖描述

2.1 當(dāng)聲源的振動周期較小時的多普勒效應(yīng)

當(dāng)聲源的振動周期比較小的時候，聲源相位運動時空線比較密，圖4中兩個交點之間的斜率k1、k2、k3、…、kn、…可近似看成觀察者的運動曲線的時間t對距離x的導(dǎo)數(shù)，即

當(dāng)d＜＜x或θ很小時，可用kn代替式（1）的k，下式近似成立：

由此得

即

或

式（5）表明：在聲源的振動周期和觀察者的運動傾角θ比較小的情況下，多普勒效應(yīng)公式（3）中的觀察者的運動速度應(yīng)替換為觀察者的運動速度在觀察者與聲源連線方向上的分量.然而，這個方向是隨時在變化的，即角θ是變量.可見多普勒效應(yīng)與觀察者的位置有關(guān).

2.2 當(dāng)聲源的振動周期較大時的多普勒效應(yīng)

當(dāng)聲源的振動周期比較大的時候，觀察者時空線的斜率kn不能用代替.考慮觀察者時空線和聲波時空線的交點恰為接收同相位信號的時刻和空間位置，可由直線系的交點法確定T′.由于相鄰的聲波時空線的時間間隔為T，射線S0、S1、S2、…可寫成直線系方程：

觀察者的運動方程可以表示為

聯(lián)立式（6）和式（7），求解一元二次方程可以解出

相鄰的交點對應(yīng)的時刻之差即為觀察者接收到聲信號的周期，即

（式中n=0，1，2，3，…，u＜v且靠近聲源時u為負(fù)值，遠(yuǎn)離聲源時u為正值）

考慮T很大，滿足nuT+l＞＞d，可對式（8）的平方根作級數(shù)展開，取一級近似得出

再考慮u＜v，上式中最后一項的值遠(yuǎn)小于1，可近似得出觀察者接收到聲信號的頻率為

當(dāng)取d=0時，式（9）過渡到觀察者沿聲波方向做勻速直線運動時的多普勒效應(yīng)公式式（3）.可見，當(dāng)d≠0時，即觀察者不沿聲源方向做勻速直線運動時，觀察者接收聲信號的周期和頻率不僅取決于波速和觀察者的運動速度，而且與觀察者的相對位置有關(guān)，并非將觀察者的運動速度在觀察者與聲源連線方向投影即可.

3 結(jié)論

通過運用數(shù)學(xué)解析的方法，求解靜止聲源相位運動時空線和觀察者運動時空線的一系列交點，得出當(dāng)觀察者沿著聲源方向運動時，多普勒效應(yīng)與二者的相對速度有關(guān)；當(dāng)觀察者不沿著聲波方向運動時，多普勒效應(yīng)不僅與二者的相對速度有關(guān)，還與二者的相對位置有關(guān).

［1］漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程：力學(xué)［M］.3版.北京：高等教育出版社，2012.

［2］趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程：力學(xué)［M］.2版.北京：高等教育出版社，2004.

［3］張漢壯，王文全.力學(xué)［M］.3版.北京：高等教育出版社，2015.

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Relationship between the Doppler effects and the position of observer to sound source

HUANG Shuang-yin，GUO Zhen-ping
（Department of Physics，College of Science，Yanbian University，Yanji，Jilin 133002，China）

In the space-time diagram，use the space-time lines to describe the movement of the static sound phase and the observer，and the intersection of two lines means the observer receives the sound signal.Combining mathematical graph，we analysis to deduce that formulas of the Doppler effects，those are not only associated with the speed of the observer to the sound source，but also related to the position of the observer to the sound source.

Doppler effects；position of observer to sound source；non-collinear；space-time diagram

O 412.1

A

1000-0712（2016）05-0046-04

2015-08-26；

2015-11-17

高等學(xué)校力學(xué)課程教學(xué)研究項目（JZW-15-LX-14）、吉林省高等教育學(xué)會重點課題（JGJX2015B7）、吉林省教育科學(xué)規(guī)劃課題（GH150040）、延邊大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目（ydbksky2015385）資助

黃雙?。?993—），男，江蘇淮安人，延邊大學(xué)物理系2012級本科生.

郭振平，E-mail：gzpllwl@ybu.edu.cn