何述平

(西北師范大學(xué)教育學(xué)院物理教育研究所　甘肅 蘭州　730070)

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繩-船模型的拓展研究

何述平

(西北師范大學(xué)教育學(xué)院物理教育研究所甘肅 蘭州730070)

基于繩-船模型拓展性地探究了斜繩上點(diǎn)的速度、加速度，結(jié)果表明：斜繩上各點(diǎn)的速度、加速度的大小、方向均不同；深化了繩-船模型的運(yùn)動(dòng)學(xué)認(rèn)識(shí)．

繩-船模型斜繩上點(diǎn)速度加速度拓展

1　引言

繩-船模型是典型的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題：如圖1，岸上一人用繞過定滑輪的不可伸長的輕繩以勻速率v0拉湖面上與繩相連的船靠岸，當(dāng)繩與水平面成θ角時(shí)，求船的速度、加速度．從普通物理用直角坐標(biāo)分量法可簡便解決[1]．因繩、船連動(dòng)，則連接船的斜繩端點(diǎn)的速度、加速度與船的相同；那么，斜繩上點(diǎn)的速度、加速度如何？有怎樣的特點(diǎn)？就此進(jìn)行相應(yīng)的探究，以期拓展、深化繩-船模型的運(yùn)動(dòng)學(xué)認(rèn)識(shí)，并為教學(xué)奠定基礎(chǔ)．

圖1　繩-船模型

2　探究

基于繩-船模型，依次探究斜繩端點(diǎn)、斜繩上點(diǎn)的速度、加速度．

2.1斜繩端點(diǎn)的速度加速度

湖岸為參考系，斜繩與滑輪相切處為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系O-xy，如圖2；連接船的斜繩端點(diǎn)A為研究對象(視作質(zhì)點(diǎn))，位置坐標(biāo)為(xA,yA)；取rA，θ為參量，則有

xA=rAcosθ

(1)

yA=rAsinθ

(2)

圖2　點(diǎn)A的直角坐標(biāo)

式中xA，rA，θ均是時(shí)間t的變量，而由題設(shè)知yA=c為恒量(因繩端A隨船沿湖面水平向左運(yùn)動(dòng))；對t求導(dǎo)得

(3)

(4)

依題意：繩縮短，則有

(5)

由式(3)、(4)、(5)得

(6)

(7)

由式(6)、(7)得端點(diǎn)A的加速度[1]

(8)

式(6)、(8)中的負(fù)號(hào)表明：斜繩端點(diǎn)A的速度、加速度的方向均沿x軸反向．

2.2斜繩上點(diǎn)的速度加速度

有定性說明斜繩上各點(diǎn)的速度的大小、方向都不相同，但斜繩上各點(diǎn)的速度在繩上的投影都相同，等于拉繩的速度[1]；而未能依據(jù)位移、速度概念細(xì)致推證，難免令人費(fèi)解.鑒于此，先定性推證，再定量探究．

2.2.1斜繩上點(diǎn)的速度特點(diǎn)

斜繩與滑輪相切處O為參考點(diǎn)(慣性系)，經(jīng)時(shí)間Δt，船沿湖面由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，斜繩上一點(diǎn)P相應(yīng)由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，位移矢量為Δr，取ON=OM，則點(diǎn)P的位移矢量三角形為ΔPNM，如圖3(a)；Δt足夠短或趨于零時(shí)，分位移Δr2垂直于分位移Δr1(Δr可等效為相對于參考點(diǎn)O的位置矢量r[圖3(a)中未畫出]的大小變化即分位移Δr1和方向變化即分位移Δr2)．因此，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)自然是沿繩的分運(yùn)動(dòng)、垂直繩的分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)；即點(diǎn)P的速度vP是沿繩的分速度v1，垂直繩的分速度v2的合速度，如圖3(b)；但點(diǎn)P的速度方向不再沿水平向左．從而定性推知：斜繩上各點(diǎn)的速度的大小、方向都不相同，但斜繩上各點(diǎn)的速度在繩上的投影都相同，等于拉繩的速度．

(a)點(diǎn)P的位移矢量　　　　　(b)點(diǎn)P的速度矢量

2.2.2直角坐標(biāo)系下斜繩上點(diǎn)的速度、加速度

(1)直角坐標(biāo)系下斜繩上點(diǎn)的速度

參考系、直角坐標(biāo)系見圖2，斜繩上一點(diǎn)P為研究對象(視作質(zhì)點(diǎn))，位置坐標(biāo)為(xP,yP)，點(diǎn)P與斜繩端點(diǎn)A共線，則有約束方程

xP=rPcosθ

(9)

yP=rPsinθ

(10)

式中xP，yP，rP，θ均是時(shí)間t的變量，求導(dǎo)得

(11)

(12)

式中P是斜繩上的點(diǎn)，且繩縮短，則有

(13)

由式(11)～(13)和式(7)得

(14)

(15)

即P點(diǎn)的速度為

(16)

于是有

(17)

(18)

式(18)的結(jié)果同端點(diǎn)A的式(6)．由式(16)得vP的大小、與水平面夾角

(19)

(20)

式(19)、(20)表明：vP，α均是rP的函數(shù)，即斜繩上各點(diǎn)的速度的大小、方向均不同；進(jìn)而得(由題設(shè)知：

(21)

(22)

(2)直角坐標(biāo)系下斜繩上點(diǎn)的加速度

由式(16)及式(5)、(7)、(13)得P點(diǎn)的加速度

(23)

于是有

(24)

(25)

式(25)的結(jié)果同端點(diǎn)A的式(8)．由式(23)得aP的大小、與水平面夾角正切

(26)

(27)

式(26)、(27)表明：aP，tanβ均是rP的函數(shù)，即斜繩上各點(diǎn)的加速度的大小、方向均不同；進(jìn)而得

(28)

(29)

令式(28)等于零，得

(30)

(31)

2.2.3極坐標(biāo)系下斜繩上點(diǎn)的速度、加速度

(1)極坐標(biāo)系下斜繩上點(diǎn)的速度

(32)

圖4　點(diǎn)P的極坐標(biāo)

則P點(diǎn)的速度為

(33)

由旋轉(zhuǎn)矢量導(dǎo)數(shù)[2]、式(7)得

(34)

(35)

由式(33)、(13)、(34)得

(36)

式(36)表明：P點(diǎn)的速度vP是沿繩收縮的分速度

(2)極坐標(biāo)系下斜繩上點(diǎn)的加速度

由式(36)、(34)、(35)、(5)、(7)、(13)得P點(diǎn)的加速度

(37)

于是有

(38)

(39)

由式(37)得aP的大小同式(26)，與斜繩夾角正切

(40)

式(26)、(40)表明：aP，tanφ均是rP的函數(shù)，即斜繩上各點(diǎn)的加速度的大小、方向均不同；由式(37)、(30)得極小值時(shí)加速度

(41)

3　討論

就物理學(xué)方法而言，直角坐標(biāo)參量法涉及導(dǎo)數(shù)、矢量表示等方法；極坐標(biāo)法涉及導(dǎo)數(shù)、矢量表示、單位矢量導(dǎo)數(shù)、矢量叉乘等方法．

4　結(jié)語

基于繩-船模型拓展性地探究了斜繩上點(diǎn)的速度、加速度，給出了定量表達(dá)式，并界定了取值；討論了直角坐標(biāo)參量法、極坐標(biāo)法的特點(diǎn)；深化了繩-船模型的運(yùn)動(dòng)學(xué)認(rèn)識(shí)，為教學(xué)奠定了基礎(chǔ)．呈現(xiàn)了拓展普通物理運(yùn)動(dòng)學(xué)基本問題的一個(gè)實(shí)例．從基本問題到拓展問題，反映了提出問題能力；而提出問題能力的培養(yǎng)是教學(xué)目標(biāo)之一；因此，依據(jù)教學(xué)實(shí)際適度讓學(xué)生拓展適宜的基本問題，應(yīng)是培養(yǎng)其提出問題能力的有效教學(xué)策略．

1胡盤新，孫迺疆．普通物理學(xué)(第5版)習(xí)題分析與解答．北京：高等教育出版社，2003．9～10

2Kleppner D，Kolenkow R J．力學(xué)引論．寧遠(yuǎn)源，等譯．北京：人民教育出版社，1980．33～35，43

Extending Research on Rope-boat Model

He Shuping

(Research Institute of Physics Education，College of Education，Northwest Normal University，Lanzhou,Gansu730070)

Based on the model of rope-boat，the velocity and acceleration of a point of slanting rope are extensively explored，the results show that the size and direction of velocity and acceleration of each point of slanting rope are different；recognizing of kinematics of the model of rope-boat is deepened．

rope-boat model；point of slanting rope；velocity；acceleration；extending

2016-03-17)