劉慶濤

摘 要 文中主要介紹了模糊度量空間（簡(jiǎn)稱，F(xiàn)M-空間）（）型相容映射的性質(zhì)，然后給出FM-空間中相容映射的公共不動(dòng)點(diǎn)定理和相應(yīng)的推論。

關(guān)鍵詞 公共不動(dòng)點(diǎn) （）型相容映射 模糊度量空間

中圖分類號(hào)：O177.91 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.03.013

Common Fixed Point of FM- space （） Type Compatible Mappings

LIU Qingtao

（Dalian Electronic School， Dalian， Liaoning 116023）

Abstract This paper introduces the fuzzy metric space （referred to， FM- space） （） type compatible with the mapping of nature， and then gives FM- space compatible mapping Common Fixed Point Theorem and the appropriate inferences.

Key words Common Fixed Point； （） type compatible mapping； fuzzy metric space

早前，Zadeh[3]首次給出了模糊集的概念，從此許多學(xué)者們開(kāi)始研究模糊集理論及其應(yīng)用。Deng[5]給出了模糊度量空間概念之后，Erceg[2]、kramosil 和Michalek [1]、Kaleva a和Seikkala[4]也采用不同方式介紹這個(gè)概念，研究者們紛紛在不同方式下研究模糊度量空間的不同點(diǎn)問(wèn)題。本文主要是研究模糊度量空間中（）型相容映射的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。

定義1.1[8] 設(shè)和是FM-空間 （， ，*） 中自身的兩個(gè)映射，若（ ， ， ） = 1，HO>0；且中序列{}滿足 = = ，其中，則稱和是相容的（或接近交換）。

定義 1.2[9] 設(shè) 和是FM-空間（， ，*）中自身的兩個(gè)映射，若對(duì)任意>0有（ ， ， ） = 1 and （ ， ， ） = 1，且中序列{}滿足 = = ，其中，則稱和是（）型相容映射。

定義1.3[10] 設(shè) 和 是FM-空間（， ，*）中自身的兩個(gè)映射，若對(duì)任意>0有（ ， ， ）≥（， ， ）和（ ， ， ）≥（ ， ， ），且中序列{}滿足 = = ，其中，則稱和是（）型相容映射。

為了方便研究相容映射的不動(dòng)點(diǎn)，為此給出下面性質(zhì)。

性質(zhì) 1.4 設(shè) （， ，*）是具有*≥，[0，1]的FM-空間，若和 是中兩個(gè)（）型相容映射，若對(duì)于中的某一 ，有 = ，則 = = 。

證明：設(shè){}是中序列，對(duì)于=1，2，…，定義 = ， = = 。于是當(dāng)時(shí)，有→ = ， → = 。因而（，， ） = （ ， ， ）≥（ ， ， ） = 1，即 = 。因?yàn)?= ，所以 = = = 。

性質(zhì) 1.5 設(shè)（， ，*）是具有*≥，[0，1]的FM-空間，和是中兩個(gè)（）型相容映射，假設(shè)中序列{}滿足對(duì)中某一，使得 = = 成立， 那么

（1）若在處連續(xù)，則 = 。

（2）若在處連續(xù)，則 = 。

（3） 若和在處連續(xù)，則 = 和 = 。

證明： （1） 因在處連續(xù)，所以對(duì)中任意t，當(dāng)→時(shí)，有 →， →。

從和是中兩個(gè)（）型相容映射，可得

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ） = 1*1≥1

所以 = 。

（2） 與（1）證明類似。

（3）設(shè)和在處是連續(xù)，當(dāng)→ +時(shí)，有→。根據(jù)（1）可得→，且從的連續(xù)性可以得出→，因而 =。依據(jù)性質(zhì)1.4 ， 有 = 成立。

定理 1.6 設(shè)（， ，*）是具有范數(shù)*≥，[0，1]的FM-空間，、、 和是中的自身映射，若滿足下列條件：

（1）（）H眩ǎ┖停ǎ﹢H眩ǎ？

（2）{， }和{， }是兩對(duì)（）型相容映射。

（3）四個(gè)映射、、 和 其中之一是連續(xù)的。

（4）存在（0，1）滿足

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， （2））*（， ， ）

其中 ， （0，2）和>0。

則、、 和 在中有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)。

證明：由條件（1），對(duì)于任意，定義序列{}滿足 = 和 = ，其中 = 0，1，2，…。

設(shè) = 和 = ，則HO>0和 = ，其中（0，1），依據(jù)條件（4）有

（， ， ） = （， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， （））*（， ， ） = （， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， （））*（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）

因-范數(shù)*是連續(xù)的，且（， ，·） 是左連續(xù)的，令→1，得到

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）

同理，可得

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）

所以（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ），其中 = 1，2，3，…。

因此，對(duì)正整數(shù)、來(lái)說(shuō)，有（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）

當(dāng)→+時(shí)，有（， ， ）→1， 于是有（， ， ）≥（， ， ）。

根據(jù)引理1.9[10]，{}是中的柯西序列。由的完備性，得出序列{}收斂中的點(diǎn)。同樣，{}的子序列{}，{}和{}也收斂于點(diǎn)。

假設(shè)是連續(xù)的，因?yàn)楹褪牵ǎ┬拖嗳萦成洌瑥男再|(zhì)1.5可以得出當(dāng)→時(shí)，有→， →。在 = 1的情況下運(yùn)用條件（4） ，可得

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）

當(dāng)→時(shí)，有（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）≥（， ， ）。根據(jù)引理1.10[10]，所以 = 。 因?yàn)椋ǎ〩眩ǎ嬖諞桓齙懵？= = 。再運(yùn)用條件（4），令 = 1，可得

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）

當(dāng)→時(shí)， 有（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）≥（， ， ）。引理1.10[10] 證實(shí)了 = 。因?yàn)楹褪牵ǎ┬拖嗳萦成?，?= = ，依據(jù)性質(zhì)1.4， 得到 = 。所以 = = = 。繼續(xù)利用條件（4），令 = 1，則有

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）

令→，可得（， ， ）≥（， ， ），所以 = 。因?yàn)椋ǎ〩眩ǎ嬖諞桓齙懵？ = = 。依據(jù) = 1時(shí)的條件（4），可得

（， ， ） = （， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）

即 = 。因?yàn)楹褪牵ǎ┬拖嗳萦成?，?= = ， = ，因而 = = = 。所以是、、和的一個(gè)公共點(diǎn)。

現(xiàn)在假設(shè)是連續(xù)的， 由和是（）型相容映射，從性質(zhì)1.5可以得到當(dāng)→時(shí)有→， →。在 = 1時(shí)依據(jù)條件（4），可得

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）

當(dāng)→時(shí)，有（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）≥（， ， ）。由引理 1.10[10] ， 故 = 。再運(yùn)用條件（4），在 = 1情況下有

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）

令→，則（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）≥（， ， ）

引理1.10[10] 證實(shí) = 。 因（）H眩ǎǎ虼舜嬖諞桓齙懵？= = 。運(yùn)用條件（4），在 = 1情形下得到

（， ， ） = （， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）≥（， ， ）

即有 = 。因和是（）相容映射，且 = = ，由性質(zhì)1.4可得 = 。所以 = = = 。運(yùn)用條件（4），由 = 1可得

（， ， ） = （， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）≥（， ， ）

因而 = ，且 是、、和的一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn)。

由條件（4）很容易得出的唯一性。同理，可以證明和其中之一是連續(xù)的情況。

定理 1.7 設(shè)和是完備模糊度量空間中的兩個(gè)自身映射，且具有范數(shù)*≥，HO[0，1]，其中和之一是連續(xù)的。則和在中有公共不動(dòng)點(diǎn)的充要條件是中存在自身映射和滿足下列條件：

（1）（）H眩ǎ┖停ǎ﹢H眩ǎ？

（2）或是連續(xù)的。

（3）{， }和{， } 是兩個(gè)（）相容映射。

（4） 存在（0，1）滿足

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ，（） ）*（， ， ）

其中， ，（0，2）和>0。

證明： 必要性。設(shè)和在中有公共不動(dòng)點(diǎn)，則 = = 。現(xiàn)定義兩個(gè)映射和，對(duì)任意，滿足 = ， = ， 則有 = = = = 。因此條件（1）、 （2）和（3）是成立的。因?yàn)椋ǎ?， ） = （， ， ），所以條件（4） 成立。

充分性。顯然由定理1.6可得。

現(xiàn)在由定理1.6 在條件 = 和 = 下得出的一些推論。

推論1.8 設(shè) （）是具范數(shù)*≥ ，[0，1]的完備FM-空間， 若中兩個(gè)自身映射和滿足下列條件

（1）（）H眩ǎ？

（2）{， }是（）型相容映射。

（3）和之一是連續(xù)的。

（4）存在（0，1）滿足

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ，（））*（， ， ）

其中， ，（0，2）和>0。

則和在中有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn)。

如果用中的等同映射替換定理1.6的S和T，可以得到下面的結(jié)果。

推論 1.9 設(shè) （）是具*≥ ，[0，1]的完備FM-空間，中的兩個(gè)自身映射和滿足下列條件：

（1）和之一是連續(xù)的；

（2）存在（0，1）滿足

（下轉(zhuǎn)第32頁(yè)）（上接第27頁(yè)）

（， ， ）≥（， ， ）*（， ， ）*（， ， ）*（， ，（））*（， ， ）

其中， ，（0，2）和>0。

則 和在中有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)。

推論1.10 設(shè)（）是具*≥ ，[0，1]的完備FM-空間， 是中的自身映射，若存在（0，1）滿足對(duì)任意， ，有（， ， ）≥（， ， ）成立，則和在中有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)。

備注1.11 定理1.6 推廣和模糊了文獻(xiàn)[7]中的定理2.2。 推論1.10 延伸了巴拿赫壓縮定理，在文獻(xiàn)[8]中也稱作模糊巴拿赫壓縮。

參考文獻(xiàn)

[1] O.Kramosil and J.Michalek ， fuzzy metric and statistical metric spaces， Kybernetica 11（1975）：326-334.

[2] M.A.Erceg ， Metric space in fuzzy set theorey ， J.Math. Appl， 69（1979）：205-230.

[3] L.A.Zadeh ， Fuzzy sets ， Inform. Control 8（1965）：338-352.

[4] O.Kaleva and S.Seikkala ， On fuzzy metric spaces， Fuzzy sets and systems12（1984），215～229.

[5] Z.K.Deng ， Fuzzy preudo-metric spaces ， L.Math Anal.Appl. 86（1982）：74-95.

[6] M.Grabiec， Fixed point in fuzzy metric spaces ， Fuzzy sets and Systems 27（1988） ，385～389.

[7] S.M.Kang and Y.J.Chao . G.Jungck ， common fixed points of compatible mappings， Internat.J.Math. & Math.Sci. Vol. 13 No.1（1990）：61-66.

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[9] Y.J.Cho. Fixed points in fuzzy metric spaces，to appear Internat.J.Fuzzy Math（1996）.

[10] 劉慶濤.模糊度量空間的（）型相容映射及性質(zhì).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（2）.