龔劍燕 黃夏炎

中考結(jié)束后，許多初三畢業(yè)生參加了“初中高中銜接班”的學(xué)習(xí)。初高中之間的數(shù)學(xué)教學(xué)的落差較大，這個(gè)確實(shí)是實(shí)情。這里既有初中教學(xué)內(nèi)容較少而高中教學(xué)內(nèi)容較多導(dǎo)致的課堂教學(xué)容量的區(qū)別，也有教學(xué)中初中和高中的老師僅僅考慮本學(xué)段而缺乏中學(xué)數(shù)學(xué)的整體視野的原因。筆者嘗試在教學(xué)中從中學(xué)數(shù)學(xué)的整體視角來(lái)處理初中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)，以圖減少學(xué)生升入高中后的“不適應(yīng)感”，順利投入高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。

一、數(shù)學(xué)概念的整體處理

1.關(guān)于函數(shù)的概念

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)概念是這樣的：有兩個(gè)互相依存的變量，一個(gè)變量發(fā)生變化時(shí)，另一個(gè)變量隨之發(fā)生變化。這兩個(gè)變量的相互關(guān)系，叫做函數(shù)關(guān)系。前者叫自變量，后者叫應(yīng)變量。

這樣的函數(shù)定義，可視之為“變量依存說(shuō)”。它與高中學(xué)段的“集合映射說(shuō)”有很大不同。“變量依存說(shuō)”對(duì)于生活中的一些實(shí)例中的函數(shù)模型，解釋得很不直觀。比如搭乘單一票價(jià)的無(wú)人售票的公交車，搭乘路程的大小與票價(jià)之間的關(guān)系，學(xué)生就往往不認(rèn)為這是函數(shù)關(guān)系（實(shí)際上這是常函數(shù)模型）。再比如信函重量與郵資的關(guān)系，學(xué)生往往也不認(rèn)為這是函數(shù)關(guān)系（實(shí)際上這是分段函數(shù)模型）。

我在教學(xué)中，對(duì)常函數(shù)的處理是給學(xué)生講清楚“不變”也是“變”，變化的幅度為“零”。這樣就較好地解釋了常函數(shù)也是一種函數(shù)。而我在教學(xué)中，對(duì)于分段函數(shù)的處理，則強(qiáng)調(diào)“漸變”、“突變”都是變。在此基礎(chǔ)上，向?qū)W生簡(jiǎn)單地介紹“集合映射說(shuō)”，主要著力點(diǎn)在“對(duì)應(yīng)”，在“對(duì)于一個(gè)自變量的取值，應(yīng)變量有唯一確定的值與自變量的值對(duì)應(yīng)”，略去集合的概念和映射的概念。實(shí)踐證明，這樣的處理手法對(duì)于學(xué)生準(zhǔn)確理解函數(shù)概念有幫助。

2.關(guān)于拋物線與二次函數(shù)的關(guān)系

二次函數(shù)圖象是拋物線，拋物線卻未必是二次函數(shù)的圖象。關(guān)于這一點(diǎn)，學(xué)生往往不甚了了。

初中數(shù)學(xué)教材中，呈現(xiàn)的是上下開口的拋物線圖象，明確上下開口的拋物線，其方程為y關(guān)于x的二次方程，形如y=ax2+bx+c。（從這點(diǎn)出發(fā)，可以通過明確拋物線上的三個(gè)普通點(diǎn)來(lái)列出三個(gè)方程，解出a、b、c，也可以通過一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)普通點(diǎn)來(lái)列出三個(gè)方程）

但是，教學(xué)中不能把二次函數(shù)圖象與拋物線完全等價(jià)起來(lái)。這是因?yàn)閽佄锞€是具有特殊形狀的一類曲線的統(tǒng)稱，它只有在上下開口的情形下，其曲線方程才是一個(gè)二次函數(shù)。而決定一條曲線是不是拋物線的唯一因素是形狀而不是開口方向。

教學(xué)中，筆者把繪有一個(gè)一個(gè)開口向上的拋物線的坐標(biāo)紙順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o，再把y軸換成x軸，把x軸負(fù)方向換成y軸，向上開口的拋物線就變成了新坐標(biāo)系下的開口向右的拋物線了。此時(shí)，原先的縱坐標(biāo)y要換成橫坐標(biāo)x，原先的橫坐標(biāo)x要換成-y。那么，開口向上的拋物線y=x2就變成了x=（-y）2即y2=x。這樣的圖形，顯然還是拋物線，但是這樣的方程卻不是二次函數(shù)了（甚至連函數(shù)都不是）。通過這樣的“玩”數(shù)學(xué)，學(xué)生能夠更好地理解拋物線與二次函數(shù)圖象的不等價(jià)關(guān)系。

3.關(guān)于方程的解與不等式的解集

現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中，方程或者方程組如果有有限個(gè)解，結(jié)果就用列舉法表述，稱為“解”，而不等式或者不等式組如果有無(wú)窮多個(gè)解，則用不等式來(lái)表述結(jié)果，稱為“解集”。從更高觀點(diǎn)看，稱一個(gè)不等式如“x≥2”為解集（更本質(zhì)地說(shuō)，是“集合”），顯然不妥當(dāng)。這很可能是由于初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，集合概念與其余內(nèi)容關(guān)系不大，所以就沒有引入集合概念。

但是筆者在教學(xué)過程中，告訴了學(xué)生“解集”是“解的集合”的簡(jiǎn)稱（但不去觸碰“集合”這個(gè)具體的概念），而集合對(duì)表達(dá)形式有要求，區(qū)間就是集合的一種表示法。把不等式“x≥2”轉(zhuǎn)而用區(qū)間“[2，+∞）”來(lái)表示，這里只涉及到兩個(gè)新概念：區(qū)間的開閉、+∞和-∞。學(xué)生接受并無(wú)困難。

用區(qū)間來(lái)代替不等式來(lái)作為不等式和不等式組的解集，一是簡(jiǎn)潔性和科學(xué)性得到了保障，二是能讓學(xué)生能更深刻地領(lǐng)會(huì)解的本質(zhì)。如“x≥2”和“y≥2”都可以用區(qū)間“[2，+∞）”來(lái)表示，這表明解集實(shí)際上是所有不小于2的數(shù)的全體，它與用x還是y來(lái)表示未知數(shù)并無(wú)關(guān)系。

二、用中學(xué)數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)來(lái)統(tǒng)攝教學(xué)過程

1.算法化的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)形態(tài)千變?nèi)f化，但算法能讓一類問題的解決辦法程序化。所以算法化是中學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的數(shù)學(xué)思想。

比如，二元一次方程組的加減消元法的解法教學(xué)中，如果在一兩個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的方程組的解法示例后，出示以下字母系數(shù)的二元一次方程組：

解字母系數(shù)方程組的過程經(jīng)過算法化后，學(xué)生能對(duì)每一步的目的更加清晰，每一步變形的前提和理由和限制理解更為深刻，再解數(shù)字系數(shù)的二元一次方程組，明顯正確率提高不少。

用算法化的數(shù)學(xué)思想來(lái)統(tǒng)攝二元一次方程組的教學(xué)過程，能讓學(xué)生在問題的解決過程中更加具有方向感，問題的解決過程更加數(shù)學(xué)化。

2.多個(gè)定理、概念的統(tǒng)一本質(zhì)揭示

如同高中數(shù)學(xué)教學(xué)中橢圓，拋物線，雙曲線的統(tǒng)一定義一樣，初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，相交弦定理，割線定理，切割線定理也可以統(tǒng)一為圓冪定理。

要實(shí)現(xiàn)三個(gè)定理的統(tǒng)一，在相交弦定理的教學(xué)過程中，就要著眼于兩弦AB，CD的交點(diǎn)P，以點(diǎn)P為所涉線段的“起點(diǎn)”，把相交弦定理表述為PA·PB=PC·PD，而不是依線段自然順序表述為AP·PB=CP·PD。事實(shí)上，著眼于兩弦交點(diǎn)P后，在嚴(yán)格證明相交弦定理以后，我用幾何畫板軟件作圖，拖動(dòng)點(diǎn)P到圓外，形成割線定理，切割線定理的基本圖形，學(xué)生絕大多數(shù)都能立即指出可能的結(jié)論，相關(guān)結(jié)論的嚴(yán)格證明學(xué)生也大多數(shù)能自行完成。

3.分類討論思想

對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問題，如果較為復(fù)雜，或者不易找到一個(gè)一次性就能解決問題的方案，就可以把問題所涉情形分成幾類，分別進(jìn)行討論解決。這就是分類討論的數(shù)學(xué)思想。

例如：一個(gè)等腰直角三角形的一條邊長(zhǎng)為，則另外兩條邊的長(zhǎng)度為多少？

如果已知的是底邊，那么另外兩條需要求長(zhǎng)度的是腰，如果已知的是腰，那么另外兩條需要求長(zhǎng)度的分別是另一條腰和底邊。這就必須要分類來(lái)考慮。

再比如：一次函數(shù)y=kx+b自變量和函數(shù)值的取值范圍，恰好都是[-4，8]（即-4≤x≤8，-4≤y≤8），求該一次函數(shù)的解析式。

顯然應(yīng)該對(duì)一次項(xiàng)系數(shù)分別為正數(shù)還是負(fù)數(shù)兩種情況分別進(jìn)行思考。

在教學(xué)中，要反復(fù)審視腦海中閃現(xiàn)的解決方案是否能涵蓋問題的所有情形。如果不能，那就要對(duì)未能涵蓋的部分另行進(jìn)行解決。

教學(xué)中貫徹分類討論的數(shù)學(xué)思想，既要形而下——教給學(xué)生準(zhǔn)確的分類方法（統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn)、不重復(fù)不遺漏），又要形而上——讓學(xué)生形成用科學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)思考問題的思維習(xí)慣。