譚　敏/廣西科技大學(xué)鹿山學(xué)院

微積分思想和方法在大學(xué)物理教學(xué)中應(yīng)用

譚敏/廣西科技大學(xué)鹿山學(xué)院

要提高大學(xué)物理教學(xué)效果，就必須引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)方法來解決物理問題。其中，微積分思想和方法貫穿整個(gè)大學(xué)物理教學(xué)。本文就微積分思想和方法在物理概念和物理理論的應(yīng)用進(jìn)行闡述。

微積分思想；方法；大學(xué)物理；教學(xué)

大學(xué)物理作為高等院校理工科專業(yè)的必修課，在培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維方法和分析解決問題能力等方面發(fā)揮著積極的作用。但剛開始接觸大學(xué)物理的學(xué)生普遍反應(yīng)在該課程學(xué)習(xí)的過程中存在一定的困難。其實(shí)，無論是中學(xué)還是大學(xué)，物理這門自然科學(xué)的框架和系統(tǒng)性是不會(huì)變的。只不過物理這門課程的研究對(duì)象從中學(xué)的恒量問題變成了變量問題，由特殊問題變換到普通、一般問題，同時(shí)研究的工具也發(fā)生了變化，中學(xué)只需要初等數(shù)學(xué)就能解決問題，而大學(xué)則需要高等數(shù)學(xué)知識(shí)。

筆者從多年的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，要提高大學(xué)物理的教學(xué)效果，必須引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)方法研究物理問題，幫助學(xué)生從中學(xué)慣用的概念和方法中跳出來，將微積分思想和方法與物理問題相結(jié)合。微積分思想和方法在力學(xué)、電磁學(xué)和熱學(xué)中都有應(yīng)用，可分為微分問題和積分問題兩大類。本文從微積分思想和方法與物理的結(jié)合以及微積分思想和方法在解決物理問題中的應(yīng)用這兩方面來探討微積分思想方法在物理教學(xué)中的應(yīng)用。

一、用微積分思想闡述物理概念和物理理論

1、瞬時(shí)速度和瞬時(shí)加速度

從中學(xué)開始學(xué)生接觸力學(xué)，對(duì)于一維運(yùn)動(dòng)很熟悉，譬如勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻變速直線運(yùn)動(dòng)。在勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律中，學(xué)生對(duì)公式非常熟悉，以至于在大學(xué)物理學(xué)習(xí)過程中遇到求位置坐標(biāo)的問題會(huì)毫不猶豫的想到這個(gè)公式。源于學(xué)生對(duì)公式的死記硬背，知其然不知其所以然。其實(shí)，只要應(yīng)用微積分思想就可以知道該公式的來源并能理解應(yīng)用該公式的前提是加速度為常量。

利用微積分知識(shí)進(jìn)行物理理論的推導(dǎo)，不僅可以讓學(xué)生更加理解數(shù)學(xué)公式，也能讓學(xué)生欣賞到物理學(xué)之美，并能對(duì)所遇到的問題做出正確的判斷和合乎邏輯的推理[1]。

2、功

微元思想是有限與無限，近似與精確的辯證統(tǒng)一，而這種統(tǒng)一已經(jīng)得到了數(shù)學(xué)家們的嚴(yán)格證明。在物理學(xué)中微元思想已成為解決問題的一種重要數(shù)學(xué)方法。所謂微元思想就是將研究對(duì)象進(jìn)行無限細(xì)分，使之適用于理想情況，即微分，得到近似值，然后將無限多個(gè)微元無限累積，即積分，得到精確值。簡單來說就是“化整為零”，再“積零為整”這樣一個(gè)過程。

當(dāng)作用于物體上的力不是恒力，或物體做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，必須將運(yùn)動(dòng)軌跡分割為許許多多個(gè)小段每一小段視為直線，同時(shí)作用于每一小段上的力近似為恒力。因此，每一小段上力做功即為恒力做功，稱之為元功整個(gè)過程中力所做的功為所有元功累積之和，即

3、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理

通過微積分來推導(dǎo)物理定理，過程十分簡潔，物理含義也十分清晰，可以提高學(xué)生對(duì)物理量和物理定理關(guān)系的認(rèn)識(shí)，提升學(xué)生的物理思維能力。

4、安培定律

在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，長度為L，電流強(qiáng)度為I的直導(dǎo)線所受的安培力θsinILBF=，其中θ為載流直導(dǎo)線與磁場之間夾角。安培力的方向可以由左手定則判定。這一結(jié)論是學(xué)生在中學(xué)學(xué)習(xí)到的。當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B→非均勻，長度為L的彎曲載流導(dǎo)線通有電流I時(shí)，要求載流導(dǎo)線所受到的安培力，則上述結(jié)論就不再適用了。要解決該問題也必須用到高等數(shù)學(xué)中的微元思想。

二、舉例用微積分思想解決物理問題

在解決物理問題時(shí)必須將微積分轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N思維方法[2]。解題時(shí)首先建立合適的坐標(biāo)系，取微元，再依據(jù)物理理論列出微分表達(dá)式或積分表達(dá)式，最終求解。

如圖所示，一勻細(xì)棒長為l，質(zhì)量m′。在棒的延長線距棒端為A處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。求質(zhì)點(diǎn)m在勻細(xì)棒m′的引力場中的勢能。此題不能用萬有引力勢能公式直接求解，必須通過微元的思想來解決。首先以端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O建立一維坐標(biāo)系（如圖1所示），取無限遠(yuǎn)處為勢能零點(diǎn)，在距離坐標(biāo)原點(diǎn)為x處取長度為的質(zhì)量元其質(zhì)量為對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬有引力勢能為

圖1　

勻細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn) 的萬有引力勢能則通過對(duì)微元求積分可得：

對(duì)于不能由已知規(guī)律或公式求解的物理問題，可以采用微元思想轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥鈫栴}。采用微元思想解題是首選應(yīng)該建立合適的坐標(biāo)系，然后選取恰當(dāng)?shù)奈⒃?，再根?jù)已有的理論對(duì)微元求積分則可解決問題。

三、結(jié)語

大學(xué)物理是用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)工具來描述物理規(guī)律，但又不同于數(shù)學(xué)，每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)在物理里都有其物理含義。微積分思想和方法是最為重要的數(shù)學(xué)工具，教師在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生使用該數(shù)學(xué)工具來學(xué)習(xí)、欣賞物理學(xué)之美。

[1] 曹劍英．微積分在大學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用研究[J]．赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013,29（5）：13-14.

[2] 滕琴，徐玲，吳珞．關(guān)于微積分和矢量法在大學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用[J]．上海第二工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，31（3）：223-227.